Страница 101 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

389. Запишите все углы, изображённые на рисунке 147, и укажите вид каждого угла.

Рис. 147

Распознанные углы:

$\angle ABM$

$\angle MBK$

$\angle KBC$

$\angle ABC$

$\angle ABK$

$\angle MBC$

На рисунке 147 изображены следующие углы с общей вершиной в точке B. Определим вид каждого из них.

Угол $ \angle ABM $
Этот угол по построению больше прямого угла ($90^\circ$), но меньше развёрнутого угла ($180^\circ$).
Ответ: тупой.

Угол $ \angle MBK $
Этот угол визуально меньше прямого угла ($90^\circ$).
Ответ: острый.

Угол $ \angle KBC $
Этот угол также визуально меньше прямого угла ($90^\circ$).
Ответ: острый.

Угол $ \angle ABK $
Данный угол состоит из двух углов: $ \angle ABM $ и $ \angle MBK $. Его величина равна их сумме: $ \angle ABK = \angle ABM + \angle MBK $. Так как угол $ \angle ABM $ является тупым (больше $90^\circ$), то и угол $ \angle ABK $ будет тупым.
Ответ: тупой.

Угол $ \angle MBC $
Данный угол состоит из двух углов: $ \angle MBK $ и $ \angle KBC $. Также он является смежным с углом $ \angle ABM $. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Поскольку $ \angle ABM $ — тупой, то смежный с ним угол $ \angle MBC = 180^\circ - \angle ABM $ будет острым (меньше $90^\circ$).
Ответ: острый.

Угол $ \angle ABC $
Стороны этого угла, лучи BA и BC, лежат на одной прямой AC. Такой угол равен $180^\circ$.
Ответ: развёрнутый.

390. Миша делал домашнее задание по математике с 16 ч 48 мин до 17 ч 16 мин, а Дима — с 17 ч 53 мин до 18 ч 20 мин. Кто из мальчиков дольше делал задание и на сколько минут?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно выполнить следующие действия: сначала найти, сколько времени потратил на домашнее задание каждый мальчик, а затем сравнить полученные значения.

1. Вычислим время, которое потратил на задание Миша.

Миша делал задание с 16 ч 48 мин до 17 ч 16 мин. Чтобы найти затраченное время, вычтем из времени окончания время начала:

$17 \text{ ч } 16 \text{ мин } - 16 \text{ ч } 48 \text{ мин }$

Так как из 16 минут нельзя вычесть 48 минут, представим 17 ч 16 мин в другом виде. Для этого "займём" 1 час (который равен 60 минутам) из 17 часов и прибавим его к минутам:

$17 \text{ ч } 16 \text{ мин } = 16 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 16 \text{ мин } = 16 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 16 \text{ мин } = 16 \text{ ч } 76 \text{ мин }$

Теперь произведем вычитание:

$16 \text{ ч } 76 \text{ мин } - 16 \text{ ч } 48 \text{ мин } = (76 - 48) \text{ мин } = 28 \text{ мин }$

Таким образом, Миша выполнял задание 28 минут.

2. Вычислим время, которое потратил на задание Дима.

Дима делал задание с 17 ч 53 мин до 18 ч 20 мин. Вычислим затраченное время аналогично:

$18 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 17 \text{ ч } 53 \text{ мин }$

Так как 20 минут меньше 53 минут, снова "займём" 1 час (60 минут):

$18 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 17 \text{ ч } + 1 \text{ ч } + 20 \text{ мин } = 17 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 20 \text{ мин } = 17 \text{ ч } 80 \text{ мин }$

Теперь произведем вычитание:

$17 \text{ ч } 80 \text{ мин } - 17 \text{ ч } 53 \text{ мин } = (80 - 53) \text{ мин } = 27 \text{ мин }$

Таким образом, Дима выполнял задание 27 минут.

3. Сравним время и ответим на вопрос задачи.

Миша делал задание 28 минут, а Дима — 27 минут. Сравним эти два значения:

$28 \text{ мин } > 27 \text{ мин }$

Следовательно, Миша делал задание дольше. Теперь найдем, на сколько минут дольше, вычтя из большего времени меньшее:

$28 \text{ мин } - 27 \text{ мин } = 1 \text{ мин }$

Ответ: Миша делал задание дольше Димы на 1 минуту.

391. Решите уравнение:

1) $429 + m = 2106$;

2) $348 - k = 154$;

3) $(m + 326) - 569 = 674$;

4) $5084 - (k - 299) = 568$.

В уравнении $429 + m = 2106$ переменная $m$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$m = 2106 - 429$

$m = 1677$

Проверим решение, подставив найденное значение $m$ в исходное уравнение:

$429 + 1677 = 2106$

$2106 = 2106$

Решение верно.

Ответ: 1677

В уравнении $348 - k = 154$ переменная $k$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$k = 348 - 154$

$k = 194$

Проверим решение, подставив найденное значение $k$ в исходное уравнение:

$348 - 194 = 154$

$154 = 154$

Решение верно.

Ответ: 194

В уравнении $(m + 326) - 569 = 674$ выражение в скобках $(m + 326)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$m + 326 = 674 + 569$

$m + 326 = 1243$

Теперь мы получили уравнение, в котором $m$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$m = 1243 - 326$

$m = 917$

Проверим решение:

$(917 + 326) - 569 = 1243 - 569 = 674$

$674 = 674$

Решение верно.

Ответ: 917

В уравнении $5084 - (k - 299) = 568$ выражение в скобках $(k - 299)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$k - 299 = 5084 - 568$

$k - 299 = 4516$

Теперь мы получили уравнение, в котором $k$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти его, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$k = 4516 + 299$

$k = 4815$

Проверим решение:

$5084 - (4815 - 299) = 5084 - 4516 = 568$

$568 = 568$

Решение верно.

Ответ: 4815

392. Вместо звёздочек поставьте цифры так, чтобы действие было выполнено правильно:

1) $\begin{array}{r} *47*8 \\ + 2**3* \\ \hline 100000 \end{array}$

2) $\begin{array}{r} _1****0 \\ - \quad 4567* \\ \hline 55555 \end{array}$

1)

Рассмотрим пример на сложение в столбик, где звёздочками обозначены неизвестные цифры:
*47*8
+ 2**3*
-------
100000

Будем восстанавливать цифры, двигаясь справа налево, от разряда единиц к старшим разрядам.
1. Разряд единиц: Сумма $8$ и неизвестной цифры оканчивается на $0$. Это означает, что их сумма равна $10$. Неизвестная цифра равна $10 - 8 = 2$. Записываем $0$ в сумме и переносим $1$ в следующий разряд.
2. Разряд десятков: Сумма неизвестной цифры, $3$, и $1$ (перенос) оканчивается на $0$. Следовательно, их сумма равна $10$. Неизвестная цифра равна $10 - 3 - 1 = 6$. Переносим $1$ в следующий разряд.
3. Разряд сотен: Сумма $7$, неизвестной цифры, и $1$ (перенос) оканчивается на $0$. Их сумма равна $10$. Неизвестная цифра равна $10 - 7 - 1 = 2$. Переносим $1$ в следующий разряд.
4. Разряд тысяч: Сумма $4$, неизвестной цифры, и $1$ (перенос) оканчивается на $0$. Их сумма равна $10$. Неизвестная цифра равна $10 - 4 - 1 = 5$. Переносим $1$ в следующий разряд.
5. Разряд десятков тысяч: Сумма неизвестной цифры, $2$, и $1$ (перенос) равна $10$ (так как итоговая сумма — 100000). Неизвестная цифра равна $10 - 2 - 1 = 7$.

Подставляя найденные цифры, получаем решённый пример:
74768
+ 25232
-------
100000

Ответ:
74768
+ 25232
--------
100000

2)

Рассмотрим пример на вычитание в столбик:
1****0
- 4567*
--------
55555

Для решения этой задачи удобно использовать обратную операцию — сложение. Сумма разности и вычитаемого должна быть равна уменьшаемому:
55555
+ 4567*
--------
1****0

Выполним сложение поразрядно, начиная справа налево:
1. Разряд единиц: $5 + *$ оканчивается на $0$. Значит, сумма равна $10$, а неизвестная цифра — $10 - 5 = 5$. Переносим $1$ в следующий разряд.
2. Разряд десятков: $1 (перенос) + 5 + 7 = 13$. Значит, цифра в разряде десятков уменьшаемого равна $3$. Переносим $1$ в следующий разряд.
3. Разряд сотен: $1 (перенос) + 5 + 6 = 12$. Значит, цифра в разряде сотен уменьшаемого равна $2$. Переносим $1$ в следующий разряд.
4. Разряд тысяч: $1 (перенос) + 5 + 5 = 11$. Значит, цифра в разряде тысяч уменьшаемого равна $1$. Переносим $1$ в следующий разряд.
5. Разряд десятков тысяч: $1 (перенос) + 5 + 4 = 10$. Значит, цифра в разряде десятков тысяч уменьшаемого равна $0$. $1$ переносится в старший разряд, что совпадает с первой цифрой уменьшаемого.

Таким образом, мы восстановили все цифры. Уменьшаемое — 101230, вычитаемое — 45675. Запишем исходный пример:
101230
- 45675
--------
55555

Ответ:
101230
- 45675
--------
55555

393. Каждый ученик гимназии изучает по крайней мере один из двух иностранных языков. Английский язык изучают 328 учеников, французский язык — 246 учеников, а английский и французский одновременно — 109 учеников. Сколько всего учеников учится в гимназии?

Для решения этой задачи используем принцип включений-исключений для множеств. Пусть $A$ — это множество учеников, изучающих английский язык, а $F$ — множество учеников, изучающих французский язык.

Из условия нам известны следующие данные:

• Количество учеников, изучающих английский язык: $|A| = 328$.
• Количество учеников, изучающих французский язык: $|F| = 246$.
• Количество учеников, изучающих оба языка одновременно (то есть, состоящих в пересечении множеств $A$ и $F$): $|A \cap F| = 109$.

Поскольку по условию каждый ученик гимназии изучает по крайней мере один из двух языков, общее количество учеников в гимназии равно количеству элементов в объединении множеств $A$ и $F$, то есть $|A \cup F|$.

Формула для нахождения числа элементов в объединении двух множеств выглядит так:

$|A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F|$

Смысл формулы в том, что когда мы складываем количество учеников, изучающих английский ($|A|$), и количество учеников, изучающих французский ($|F|$), мы дважды учитываем тех, кто изучает оба языка. Поэтому, чтобы получить общее число уникальных учеников, мы должны вычесть количество учеников, изучающих оба языка ($|A \cap F|$), один раз.

Подставим известные значения в формулу:

$|A \cup F| = 328 + 246 - 109$

Выполним вычисления:

1. Сначала сложим общее число изучающих английский и французский:

$328 + 246 = 574$

2. Теперь из полученной суммы вычтем число учеников, посчитанных дважды:

$574 - 109 = 465$

Таким образом, всего в гимназии учится 465 учеников.

Ответ: 465