Номер 393, страница 101 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Треугольник и его виды. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 393, страница 101.

393. Каждый ученик гимназии изучает по крайней мере один из двух иностранных языков. Английский язык изучают 328 учеников, французский язык — 246 учеников, а английский и французский одновременно — 109 учеников. Сколько всего учеников учится в гимназии?

Для решения этой задачи используем принцип включений-исключений для множеств. Пусть $A$ — это множество учеников, изучающих английский язык, а $F$ — множество учеников, изучающих французский язык.

Из условия нам известны следующие данные:

• Количество учеников, изучающих английский язык: $|A| = 328$.
• Количество учеников, изучающих французский язык: $|F| = 246$.
• Количество учеников, изучающих оба языка одновременно (то есть, состоящих в пересечении множеств $A$ и $F$): $|A \cap F| = 109$.

Поскольку по условию каждый ученик гимназии изучает по крайней мере один из двух языков, общее количество учеников в гимназии равно количеству элементов в объединении множеств $A$ и $F$, то есть $|A \cup F|$.

Формула для нахождения числа элементов в объединении двух множеств выглядит так:

$|A \cup F| = |A| + |F| - |A \cap F|$

Смысл формулы в том, что когда мы складываем количество учеников, изучающих английский ($|A|$), и количество учеников, изучающих французский ($|F|$), мы дважды учитываем тех, кто изучает оба языка. Поэтому, чтобы получить общее число уникальных учеников, мы должны вычесть количество учеников, изучающих оба языка ($|A \cap F|$), один раз.

Подставим известные значения в формулу:

$|A \cup F| = 328 + 246 - 109$

Выполним вычисления:

1. Сначала сложим общее число изучающих английский и французский:

$328 + 246 = 574$

2. Теперь из полученной суммы вычтем число учеников, посчитанных дважды:

$574 - 109 = 465$

Таким образом, всего в гимназии учится 465 учеников.

Ответ: 465