Страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

411. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?

Это классическая задача на геометрическое разрезание. Чтобы из одного квадрата получить два новых, их общая площадь должна сохраниться. При этом, поскольку исходный квадрат разрезается на четыре равные (то есть конгруэнтные) части, то и два получившихся квадрата также должны быть равными между собой.

Пусть сторона исходного квадрата равна $L$, тогда его площадь составляет $S_{исх} = L^2$.

Эта площадь будет разделена между двумя новыми квадратами, поэтому площадь каждого из них будет равна $S_{нов} = S_{исх} / 2 = L^2/2$.

Следовательно, сторона каждого из двух новых квадратов будет равна $a = \sqrt{L^2/2} = L/\sqrt{2}$.

Способ разрезания исходного квадрата заключается в следующем:

1. Найдите центр исходного квадрата и середины каждой из его четырех сторон.
2. Первый разрез представляет собой ломаную линию, которая начинается в середине одной стороны (например, верхней), идет до центра квадрата, а затем поворачивает под прямым углом и продолжается до середины смежной стороны (например, правой).
3. Второй разрез — это такая же ломаная линия, которая соединяет середины двух оставшихся сторон (в нашем примере — левой и нижней) через центр квадрата.

Эти два разреза, имеющие форму "ступенчатого креста", делят исходный квадрат на четыре полностью одинаковые части. Каждая часть представляет собой неправильный пятиугольник.

Полученные четыре части можно затем перекомпоновать, чтобы сложить два квадрата. Для сборки каждого нового квадрата используются две из этих частей. Их нужно приложить друг к другу определенным образом, чтобы сформировать квадрат со стороной $L/\sqrt{2}$.

Ответ: Квадрат необходимо разрезать двумя ломаными линиями, проходящими через его центр. Первая линия соединяет середину одной стороны с центром, а затем центр с серединой смежной стороны. Вторая линия аналогичным образом соединяет середины двух других сторон через центр. Из полученных четырех равных частей можно сложить два новых квадрата.

412. Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Для того чтобы разрезать прямоугольник 8х4 см на четыре части и сложить из них квадрат, необходимо выполнить следующие шаги: сначала определить размеры будущего квадрата, а затем описать способ разрезания.

1. Определение параметров квадрата
Площадь является инвариантом при разрезании и пересборке фигуры. Найдем площадь исходного прямоугольника:
$S_{прямоугольника} = 8 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$.
Следовательно, площадь квадрата, который мы хотим получить, также должна быть равна 32 см². Если сторона квадрата равна $a$, то его площадь $S_{квадрата} = a^2$. Отсюда находим длину стороны квадрата:
$a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Описание разрезов
Чтобы получить четыре части, из которых можно сложить квадрат, прямоугольник нужно разрезать определенным образом. Для наглядности обозначим вершины прямоугольника: A — левый нижний угол, B — правый нижний, C — правый верхний и D — левый верхний. Длинные стороны — AB и DC (8 см), короткие — AD и BC (4 см).

1. Находим середину нижней длинной стороны AB и обозначаем ее точкой P.
2. Находим середину верхней длинной стороны DC и обозначаем ее точкой M.
3. Делаем первый разрез по прямой линии от левого верхнего угла D до точки P (середина нижней стороны).
4. Делаем второй разрез по прямой линии от точки M (середина верхней стороны) до правого нижнего угла B.
5. Делаем третий разрез, соединяя точки M и P.

В результате этих трех разрезов прямоугольник будет разделен на четыре одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных равнобедренных треугольника. Катеты каждого из этих треугольников будут равны 4 см, а гипотенуза — $4\sqrt{2}$ см.

3. Сборка квадрата
Полученные четыре треугольника можно сложить в квадрат. Для этого их нужно расположить так, чтобы их прямые углы сошлись в одной точке в центре фигуры. Гипотенузы треугольников при этом образуют внешний контур. Так как все гипотенузы равны $4\sqrt{2}$ см, а углы при гипотенузах у каждого треугольника составляют 45°, при их сложении попарно внешние углы фигуры станут равны 45° + 45° = 90°. В итоге получится квадрат со стороной $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: Прямоугольник нужно разрезать следующим образом: найти середины его длинных сторон (верхней и нижней). Затем провести три разреза: 1) от левого верхнего угла до середины нижней стороны; 2) от середины верхней стороны до правого нижнего угла; 3) между серединами длинных сторон. В результате получатся четыре одинаковых прямоугольных треугольника, из которых можно сложить квадрат.

413. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?

Для того чтобы разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, из которых можно сложить новый треугольник, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выполнение разреза:
Пусть у нас есть квадрат $ABCD$. Нужно найти середину любой из его сторон, например, стороны $AB$. Обозначим эту точку как $M$.
Далее следует провести один прямой разрез от этой точки $M$ до одной из двух противоположных вершин квадрата, то есть до вершины $C$ или $D$. Выберем вершину $C$.
В результате этого разреза квадрат будет разделен на две фигуры:

• Прямоугольный треугольник $MBC$.
• Прямоугольную трапецию $AMCD$.

2. Сборка нового треугольника:
Теперь необходимо перекомпоновать эти две части. Возьмём треугольник $MBC$ и приложим его к трапеции $AMCD$ следующим образом: сторону $BC$ треугольника (длина которой равна стороне квадрата $a$) совместим со стороной $AD$ трапеции (которая также равна $a$). При этом вершина $B$ треугольника должна совпасть с вершиной $A$ трапеции, а вершина $C$ треугольника — с вершиной $D$ трапеции.

В качестве альтернативного, более строгого объяснения, можно повернуть треугольник $MBC$ на $180^\circ$ вокруг его вершины $M$ (середины стороны $AB$).
При таком повороте:

• Вершина $B$ перейдёт в вершину $A$.
• Вершина $C$ перейдёт в новую точку, которую назовём $C'$.
• Треугольник $MBC$ превратится в равный ему треугольник $MAC'$.

Теперь приставим этот новый треугольник $MAC'$ к трапеции $AMCD$ по их общей стороне $AM$.

Результат:
В получившейся фигуре рассмотрим угол при вершине $A$. Он будет состоять из двух углов: $\angle DAM$ трапеции и $\angle MAC'$ повёрнутого треугольника.

• Угол $\angle DAM$ равен $90^\circ$, так как это угол при вершине $A$ исходного квадрата.
• Угол $\angle MAC'$ равен углу $\angle MBC$ исходного треугольника, который также равен $90^\circ$ (угол при вершине $B$ квадрата).

Следовательно, суммарный угол $\angle DAC'$ будет равен $\angle DAM + \angle MAC' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Это означает, что точки $D$, $A$ и $C'$ лежат на одной прямой. Таким образом, мы получаем новую фигуру — треугольник $\triangle DCC'$ с вершинами в точках $D$, $C$ и $C'$.
Площадь этого треугольника будет равна площади исходного квадрата, что подтверждает правильность сборки. Основание нового треугольника $DC'$ равно $DA + AC' = a + a = 2a$, а высота из вершины $C$ равна стороне квадрата $a$. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot a = a^2$.

Ответ:
Квадрат нужно разрезать по прямой линии, соединяющей середину одной из его сторон с одной из двух противоположных вершин.

414. Проведите прямую $MK$, луч $PS$ и отрезок $AB$ так, чтобы луч $PS$ пересекал отрезок $AB$ и прямую $MK$, а прямая $MK$ не пересекала отрезок $AB$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить последовательное построение геометрических фигур, которое будет удовлетворять всем перечисленным условиям. Разберем построение по шагам.

Сначала выполним условие, что прямая МК не пересекает отрезок АВ. Это означает, что у прямой и отрезка не должно быть общих точек. Самый простой способ этого добиться — расположить отрезок AB целиком в одной из полуплоскостей, на которые прямая MK делит всю плоскость. Например, можно начертить горизонтальную прямую MK, а отрезок AB начертить в любом месте выше этой прямой.

Далее нужно выполнить два других условия одновременно: луч PS должен пересекать отрезок АВ и прямую МК. У луча есть начальная точка P, и он продолжается бесконечно в одном направлении. Так как отрезок AB и прямая MK не пересекаются, луч PS должен пройти через них последовательно. Это возможно только в том случае, если начальная точка луча (точка P) не находится в области между прямой MK и отрезком AB. Если бы точка P находилась между ними, то луч, выходящий из нее, мог бы пересечь либо отрезок AB, либо прямую MK, но не обе фигуры сразу. Следовательно, точка P должна располагаться либо со стороны отрезка AB (еще дальше от прямой MK), либо со стороны прямой MK (по другую сторону от отрезка AB).

Таким образом, один из возможных вариантов построения выглядит так:

1. Провести прямую MK.
2. Начертить отрезок АВ так, чтобы он целиком лежал по одну сторону от прямой МК (например, выше нее).
3. Выбрать начальную точку луча P в той же полуплоскости, но "за" отрезком АВ (то есть еще выше).
4. Провести из точки P луч PS, направив его так, чтобы он последовательно пересек сначала отрезок АВ, а затем прямую МК.

Ниже представлен схематический рисунок, иллюстрирующий один из возможных вариантов решения.

На этом рисунке синяя прямая MK не пересекает зеленый отрезок АВ. Красный луч PS, начинающийся в точке P, пересекает и отрезок AB, и прямую MK. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Для выполнения условий задачи необходимо расположить прямую МК и отрезок АВ так, чтобы они не имели общих точек (например, отрезок находится полностью в одной полуплоскости относительно прямой). Затем следует провести луч PS так, чтобы он пересекал и прямую, и отрезок. Этого можно достичь, если расположить начало луча (точку P) не между прямой и отрезком, а с внешней стороны от одной из фигур, и направить луч так, чтобы он последовательно их пересекал, как показано на рисунке.

415. От городского дома, в котором проживает семья Петровых, до их дачи можно доехать на автобусе, или на электропоезде, или на маршрутном такси. В таблице указано время, которое надо затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Каким видом транспорта при этом надо воспользоваться?

Вид транспорта Время на дорогу от дома до остановки транспорта Время на проезд в транспорте Время на дорогу от остановки транспорта до дачи

Автобус 10 мин 1 ч 15 мин 5 мин

Электропоезд 8 мин 56 мин 10 мин

Маршрутное такси 7 мин 1 ч 5 мин 8 мин

Чтобы найти наименьшее время, которое потребуется на дорогу, нужно рассчитать общее время поездки для каждого вида транспорта. Общее время складывается из времени на дорогу до остановки, времени в пути на транспорте и времени от остановки до дачи. Для удобства сравнения переведем все временные интервалы в минуты.

Автобус
Время на поездку в транспорте составляет 1 час 15 минут. Переведем это время в минуты: $1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 75 \text{ мин}$.
Теперь сложим все три временных отрезка: $10 \text{ мин} + 75 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 90 \text{ минут}$.

Электропоезд
Сложим все три временных отрезка: $8 \text{ мин} + 56 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 74 \text{ минуты}$.

Маршрутное такси
Время на поездку в транспорте составляет 1 час 5 минут. Переведем это время в минуты: $1 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 5 \text{ мин} = 65 \text{ мин}$.
Теперь сложим все три временных отрезка: $7 \text{ мин} + 65 \text{ мин} + 8 \text{ мин} = 80 \text{ минут}$.

Теперь сравним общее время в пути для каждого вида транспорта:
- Автобус: 90 минут
- Электропоезд: 74 минуты
- Маршрутное такси: 80 минут
Сравнивая полученные результаты, $74 < 80 < 90$, приходим к выводу, что самый быстрый способ добраться до дачи — на электропоезде.

Какое наименьшее время потребуется на дорогу?
Наименьшее время, которое потребуется на дорогу, составляет 74 минуты, что равно 1 часу 14 минутам.
Ответ: 74 минуты.

Каким видом транспорта при этом надо воспользоваться?
Чтобы потратить наименьшее время на дорогу, нужно воспользоваться электропоездом.
Ответ: Электропоездом.

416. Найдите сумму корней уравнений:

1) $(x - 18) - 73 = 39$ и $24 + (y - 52) = 81$;

2) $(65 - x) + 14 = 51$ и $(y + 16) + 37 = 284$.

1) Для того чтобы найти сумму корней, необходимо сначала решить каждое уравнение по отдельности.

Решим первое уравнение: $(x - 18) - 73 = 39$.

В этом уравнении $(x-18)$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x - 18 = 39 + 73$

$x - 18 = 112$

Теперь найдем $x$, которое также является уменьшаемым:

$x = 112 + 18$

$x = 130$

Теперь решим второе уравнение: $24 + (y - 52) = 81$.

В этом уравнении $(y-52)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$y - 52 = 81 - 24$

$y - 52 = 57$

Теперь найдем $y$, которое является уменьшаемым:

$y = 57 + 52$

$y = 109$

Теперь, когда мы нашли корни обоих уравнений ($x=130$ и $y=109$), найдем их сумму:

$x + y = 130 + 109 = 239$

Ответ: 239

2) Аналогично первому пункту, решим каждое уравнение отдельно.

Решим первое уравнение: $(65 - x) + 14 = 51$.

Выражение $(65-x)$ является неизвестным слагаемым. Найдем его:

$65 - x = 51 - 14$

$65 - x = 37$

Теперь $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x = 65 - 37$

$x = 28$

Теперь решим второе уравнение: $(y + 16) + 37 = 284$.

Выражение $(y+16)$ является неизвестным слагаемым. Найдем его:

$y + 16 = 284 - 37$

$y + 16 = 247$

Теперь $y$ является неизвестным слагаемым. Найдем его:

$y = 247 - 16$

$y = 231$

Теперь, когда мы нашли корни обоих уравнений ($x=28$ и $y=231$), найдем их сумму:

$x + y = 28 + 231 = 259$

Ответ: 259

417. Вася Ленивцев решил задачу 403 следующим образом: $42 + 14 = 56 \text{ (см)}$; сторона квадрата равна $56 : 4 = 14 \text{ (см)}$. Найдите и исправьте ошибку в этом решении.

Ошибка в решении Васи Ленивцева заключается в его логике. В первом действии ($42 + 14 = 56$) он использует число 14, которое является искомым ответом (длиной стороны квадрата), чтобы вычислить промежуточное значение — периметр. Правильное решение не может использовать сам ответ для его нахождения. Это логическая ошибка, по сути, "подгонка под ответ".

Чтобы исправить ошибку, нужно предположить, каким было условие задачи. Наиболее вероятно, оно звучало так: "Периметр квадрата на 42 см больше его стороны". В таком случае задачу следует решать с помощью уравнения.

Исправленное решение:

Пусть сторона квадрата равна $a$ см. Тогда его периметр $P$ равен $4a$ см.

По условию, периметр на 42 см больше стороны. Это можно записать в виде уравнения:

$P = a + 42$

Заменим $P$ на $4a$:

$4a = a + 42$

Теперь решим это уравнение:

$4a - a = 42$
$3a = 42$
$a = 42 : 3$
$a = 14$ (см)

Таким образом, сторона квадрата действительно равна 14 см, но этот результат должен быть получен путем решения уравнения, а не подстановкой ответа в начало вычислений.

Ответ: Ошибка в том, что для вычисления периметра ($42+14=56$) был использован сам ответ (14 см). Правильное решение — составить и решить уравнение $4a = a + 42$, где $a$ — сторона квадрата. Решив уравнение, получаем, что сторона квадрата равна 14 см.

418. Как с помощью пятилитрового бидона и трёхлитровой банки набрать на берегу реки 4 л воды?

Это классическая задача на переливание, которую можно решить несколькими способами. Приведём два наиболее распространённых варианта решения.

Способ 1

Этот способ начинается с наполнения большего сосуда — пятилитрового бидона.

1. Наполнить пятилитровый бидон водой из реки. В бидоне теперь $5$ литров, в банке $0$ литров.
2. Из бидона наполнить трёхлитровую банку. В бидоне останется $5 - 3 = 2$ литра, а в банке будет $3$ литра.
3. Вылить всю воду из трёхлитровой банки. Теперь в бидоне $2$ литра, а банка пуста.
4. Перелить $2$ литра воды из бидона в пустую банку. Бидон станет пустым, а в банке будет $2$ литра.
5. Снова наполнить пятилитровый бидон водой из реки. Теперь в бидоне $5$ литров, а в банке по-прежнему $2$ литра.
6. Долить воду из бидона в банку доверху. Поскольку в банке уже есть $2$ литра, в неё поместится ещё $3 - 2 = 1$ литр.
7. После того как мы перельём $1$ литр из бидона в банку, в бидоне останется $5 - 1 = 4$ литра.

Ответ: Задача решена, в пятилитровом бидоне находится ровно 4 литра воды.

Способ 2

Этот способ начинается с наполнения меньшего сосуда — трёхлитровой банки.

1. Наполнить трёхлитровую банку водой из реки. В банке $3$ литра, в бидоне $0$ литров.
2. Перелить все $3$ литра из банки в пятилитровый бидон. В бидоне теперь $3$ литра, а банка пуста.
3. Снова наполнить трёхлитровую банку водой. Теперь в бидоне $3$ литра и в банке $3$ литра.
4. Долить воду из банки в бидон, пока он не наполнится. В бидон, где уже есть $3$ литра, поместится ещё $5 - 3 = 2$ литра.
5. После переливания $2$ литров в бидоне будет $5$ литров, а в банке останется $3 - 2 = 1$ литр.
6. Полностью вылить воду из пятилитрового бидона. Бидон теперь пуст, а в банке остался $1$ литр.
7. Перелить $1$ литр из банки в пустой бидон. Теперь в бидоне $1$ литр, а банка пуста.
8. Наполнить трёхлитровую банку водой. В бидоне $1$ литр, в банке $3$ литра.
9. Перелить все $3$ литра из банки в бидон. В бидоне станет $1 + 3 = 4$ литра.

Ответ: Задача решена, в пятилитровом бидоне находится ровно 4 литра воды.