Номер 412, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Прямоугольник. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 412, страница 106.

412. Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Для того чтобы разрезать прямоугольник 8х4 см на четыре части и сложить из них квадрат, необходимо выполнить следующие шаги: сначала определить размеры будущего квадрата, а затем описать способ разрезания.

1. Определение параметров квадрата
Площадь является инвариантом при разрезании и пересборке фигуры. Найдем площадь исходного прямоугольника:
$S_{прямоугольника} = 8 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$.
Следовательно, площадь квадрата, который мы хотим получить, также должна быть равна 32 см². Если сторона квадрата равна $a$, то его площадь $S_{квадрата} = a^2$. Отсюда находим длину стороны квадрата:
$a = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Описание разрезов
Чтобы получить четыре части, из которых можно сложить квадрат, прямоугольник нужно разрезать определенным образом. Для наглядности обозначим вершины прямоугольника: A — левый нижний угол, B — правый нижний, C — правый верхний и D — левый верхний. Длинные стороны — AB и DC (8 см), короткие — AD и BC (4 см).

1. Находим середину нижней длинной стороны AB и обозначаем ее точкой P.
2. Находим середину верхней длинной стороны DC и обозначаем ее точкой M.
3. Делаем первый разрез по прямой линии от левого верхнего угла D до точки P (середина нижней стороны).
4. Делаем второй разрез по прямой линии от точки M (середина верхней стороны) до правого нижнего угла B.
5. Делаем третий разрез, соединяя точки M и P.

В результате этих трех разрезов прямоугольник будет разделен на четыре одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных равнобедренных треугольника. Катеты каждого из этих треугольников будут равны 4 см, а гипотенуза — $4\sqrt{2}$ см.

3. Сборка квадрата
Полученные четыре треугольника можно сложить в квадрат. Для этого их нужно расположить так, чтобы их прямые углы сошлись в одной точке в центре фигуры. Гипотенузы треугольников при этом образуют внешний контур. Так как все гипотенузы равны $4\sqrt{2}$ см, а углы при гипотенузах у каждого треугольника составляют 45°, при их сложении попарно внешние углы фигуры станут равны 45° + 45° = 90°. В итоге получится квадрат со стороной $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: Прямоугольник нужно разрезать следующим образом: найти середины его длинных сторон (верхней и нижней). Затем провести три разреза: 1) от левого верхнего угла до середины нижней стороны; 2) от середины верхней стороны до правого нижнего угла; 3) между серединами длинных сторон. В результате получатся четыре одинаковых прямоугольных треугольника, из которых можно сложить квадрат.