Номер 413, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Прямоугольник. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 413, страница 106.

413. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?

Для того чтобы разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, из которых можно сложить новый треугольник, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выполнение разреза:
Пусть у нас есть квадрат $ABCD$. Нужно найти середину любой из его сторон, например, стороны $AB$. Обозначим эту точку как $M$.
Далее следует провести один прямой разрез от этой точки $M$ до одной из двух противоположных вершин квадрата, то есть до вершины $C$ или $D$. Выберем вершину $C$.
В результате этого разреза квадрат будет разделен на две фигуры:

• Прямоугольный треугольник $MBC$.
• Прямоугольную трапецию $AMCD$.

2. Сборка нового треугольника:
Теперь необходимо перекомпоновать эти две части. Возьмём треугольник $MBC$ и приложим его к трапеции $AMCD$ следующим образом: сторону $BC$ треугольника (длина которой равна стороне квадрата $a$) совместим со стороной $AD$ трапеции (которая также равна $a$). При этом вершина $B$ треугольника должна совпасть с вершиной $A$ трапеции, а вершина $C$ треугольника — с вершиной $D$ трапеции.

В качестве альтернативного, более строгого объяснения, можно повернуть треугольник $MBC$ на $180^\circ$ вокруг его вершины $M$ (середины стороны $AB$).
При таком повороте:

• Вершина $B$ перейдёт в вершину $A$.
• Вершина $C$ перейдёт в новую точку, которую назовём $C'$.
• Треугольник $MBC$ превратится в равный ему треугольник $MAC'$.

Теперь приставим этот новый треугольник $MAC'$ к трапеции $AMCD$ по их общей стороне $AM$.

Результат:
В получившейся фигуре рассмотрим угол при вершине $A$. Он будет состоять из двух углов: $\angle DAM$ трапеции и $\angle MAC'$ повёрнутого треугольника.

• Угол $\angle DAM$ равен $90^\circ$, так как это угол при вершине $A$ исходного квадрата.
• Угол $\angle MAC'$ равен углу $\angle MBC$ исходного треугольника, который также равен $90^\circ$ (угол при вершине $B$ квадрата).

Следовательно, суммарный угол $\angle DAC'$ будет равен $\angle DAM + \angle MAC' = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Это означает, что точки $D$, $A$ и $C'$ лежат на одной прямой. Таким образом, мы получаем новую фигуру — треугольник $\triangle DCC'$ с вершинами в точках $D$, $C$ и $C'$.
Площадь этого треугольника будет равна площади исходного квадрата, что подтверждает правильность сборки. Основание нового треугольника $DC'$ равно $DA + AC' = a + a = 2a$, а высота из вершины $C$ равна стороне квадрата $a$. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot a = a^2$.

Ответ:
Квадрат нужно разрезать по прямой линии, соединяющей середину одной из его сторон с одной из двух противоположных вершин.