Номер 411, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 16. Прямоугольник. Упражнения - номер 411, страница 106.

Условие.

411. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?

Решение.

Решение 2.

Это классическая задача на геометрическое разрезание. Чтобы из одного квадрата получить два новых, их общая площадь должна сохраниться. При этом, поскольку исходный квадрат разрезается на четыре равные (то есть конгруэнтные) части, то и два получившихся квадрата также должны быть равными между собой.

Пусть сторона исходного квадрата равна $L$, тогда его площадь составляет $S_{исх} = L^2$.

Эта площадь будет разделена между двумя новыми квадратами, поэтому площадь каждого из них будет равна $S_{нов} = S_{исх} / 2 = L^2/2$.

Следовательно, сторона каждого из двух новых квадратов будет равна $a = \sqrt{L^2/2} = L/\sqrt{2}$.

Способ разрезания исходного квадрата заключается в следующем:

1. Найдите центр исходного квадрата и середины каждой из его четырех сторон.
2. Первый разрез представляет собой ломаную линию, которая начинается в середине одной стороны (например, верхней), идет до центра квадрата, а затем поворачивает под прямым углом и продолжается до середины смежной стороны (например, правой).
3. Второй разрез — это такая же ломаная линия, которая соединяет середины двух оставшихся сторон (в нашем примере — левой и нижней) через центр квадрата.

Эти два разреза, имеющие форму "ступенчатого креста", делят исходный квадрат на четыре полностью одинаковые части. Каждая часть представляет собой неправильный пятиугольник.

Полученные четыре части можно затем перекомпоновать, чтобы сложить два квадрата. Для сборки каждого нового квадрата используются две из этих частей. Их нужно приложить друг к другу определенным образом, чтобы сформировать квадрат со стороной $L/\sqrt{2}$.

Ответ: Квадрат необходимо разрезать двумя ломаными линиями, проходящими через его центр. Первая линия соединяет середину одной стороны с центром, а затем центр с серединой смежной стороны. Вторая линия аналогичным образом соединяет середины двух других сторон через центр. Из полученных четырех равных частей можно сложить два новых квадрата.