Страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

$12 \text{ см}$. Найдите длину соседней стороны прямоугольника.

399. Одна сторона прямоугольника равна $8 \text{ см}$, а соседняя — в $4$ раза больше. Найдите периметр прямоугольника.

Для решения задачи сначала найдем длину второй, соседней стороны прямоугольника. Затем, зная длины обеих сторон, вычислим его периметр.

1. Найдем длину соседней стороны.
Пусть одна сторона прямоугольника равна $a = 8$ см. По условию, соседняя сторона $b$ в 4 раза больше. Значит, чтобы найти ее длину, нужно 8 см умножить на 4:
$b = 8 \text{ см} \cdot 4 = 32 \text{ см}$

2. Найдем периметр прямоугольника.
Периметр прямоугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Он вычисляется по формуле:
$P = 2 \cdot (a + b)$
Подставим в формулу найденные значения длин сторон $a$ и $b$:
$P = 2 \cdot (8 \text{ см} + 32 \text{ см}) = 2 \cdot 40 \text{ см} = 80 \text{ см}$

Ответ: 80 см.

400. На рисунке 151 изображён план земельного участка, который необходимо оградить забором (размеры даны в метрах). Какой длины забор надо построить? Есть ли на рисунке лишние данные?

Рис. 151

$12$

$7$

$25$

$20$

$12$

$27$

Какой длины забор надо построить?

Длина забора равна периметру земельного участка. Участок представляет собой многоугольник, все стороны которого параллельны осям координат (ортогональный многоугольник).

Периметр такого многоугольника можно найти, сложив длины всех его сторон. Для замкнутого ортогонального многоугольника сумма длин всех горизонтальных участков равна удвоенной его максимальной ширине, а сумма длин всех вертикальных участков равна удвоенной его максимальной высоте, но это верно только для фигур без "впадин" вовнутрь. В нашем случае фигура имеет сложную форму, поэтому воспользуемся свойством, что сумма длин векторов сторон, направленных в одну сторону, равна сумме длин векторов сторон, направленных в противоположную сторону.

Обозначим все стороны, направленные вправо и влево (горизонтальные), и все стороны, направленные вверх и вниз (вертикальные). Из рисунка видно, что есть одна сторона, направленная влево (нижняя), её длина $27$ м. Также есть стороны, направленные вправо: верхняя левая ($12$ м), верхняя правая ($7$ м) и внутренняя горизонтальная сторона, длина которой неизвестна. Сумма длин всех сторон, направленных вправо, должна быть равна сумме длин всех сторон, направленных влево. Таким образом, общая длина всех горизонтальных участков забора равна $2 \times 27 = 54$ м.

Аналогично для вертикальных сторон. Есть стороны, направленные вверх: левая сторона ($25$ м) и внутренняя правая вертикальная сторона ($20$ м). Сумма их длин равна $25 + 20 = 45$ м. Эта сумма должна быть равна сумме длин всех сторон, направленных вниз (внешняя правая нижняя сторона и внутренняя левая вертикальная сторона). Таким образом, общая длина всех вертикальных участков забора равна $2 \times 45 = 90$ м.

Периметр участка равен сумме длин всех горизонтальных и всех вертикальных сторон:

$P = (\text{сумма длин горизонтальных сторон}) + (\text{сумма длин вертикальных сторон})$

$P = (2 \times 27) + (2 \times (25 + 20)) = 54 + 2 \times 45 = 54 + 90 = 144$ м.

Ответ: надо построить забор длиной 144 метра.

Есть ли на рисунке лишние данные?

Да, для нахождения периметра на рисунке есть лишние данные.

Как было показано выше, для вычисления периметра мы использовали формулу $P = 2 \times (\text{сумма длин сторон, направленных влево}) + 2 \times (\text{сумма длин сторон, направленных вверх})$.

Для этого нам понадобились следующие размеры:

• Длина нижней стороны, направленной влево: $27$ м.
• Длина левой стороны, направленной вверх: $25$ м.
• Длина внутренней правой вертикальной стороны, направленной вверх: $20$ м.

Размеры, которые не были использованы для расчета периметра:

• Длина верхней левой горизонтальной стороны: $12$ м.
• Длина верхней правой горизонтальной стороны: $7$ м.
• Длина правой нижней вертикальной стороны: $12$ м.

Эти три размера являются лишними (избыточными) данными для решения задачи по нахождению длины забора. Они необходимы для полного определения формы участка, но не для вычисления его периметра.

Ответ: да, на рисунке есть лишние данные: 12 м (верхняя левая сторона), 7 м (верхняя правая сторона) и 12 м (нижняя правая сторона).

401. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см, имеют равные периметры. Найдите неизвестную сторону прямоугольника.

Для того чтобы найти неизвестную сторону прямоугольника, сначала необходимо вычислить периметр квадрата.

1. Вычисление периметра квадрата.
Периметр квадрата ($P_{квадрата}$) находится по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны.
По условию задачи, сторона квадрата равна 12 см.
$P_{квадрата} = 4 \times 12 = 48$ см.

2. Нахождение неизвестной стороны прямоугольника.
В условии сказано, что периметры квадрата и прямоугольника равны. Значит, периметр прямоугольника ($P_{прямоугольника}$) также равен 48 см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(b + c)$, где $b$ и $c$ — длины его смежных сторон.
Одна из сторон прямоугольника известна и равна 8 см. Пусть $b = 8$ см. Вторую, неизвестную сторону, обозначим как $c$.
Подставим известные значения в формулу периметра прямоугольника:
$48 = 2(8 + c)$
Чтобы найти сумму сторон, разделим обе части уравнения на 2:
$8 + c = 48 / 2$
$8 + c = 24$
Теперь найдем неизвестную сторону $c$:
$c = 24 - 8$
$c = 16$ см.

Ответ: неизвестная сторона прямоугольника равна 16 см.

402. Два равных прямоугольника приложили друг к другу так, что их большие стороны совпали. В результате этого образовался квадрат, периметр которого равен 432 см. Найдите периметр прямоугольника.

Пусть у исходного прямоугольника большая сторона (длина) равна $l$, а меньшая сторона (ширина) равна $w$.

Два таких прямоугольника приложили друг к другу так, что их большие стороны ($l$) совпали. В результате получилась новая фигура. Одна сторона этой фигуры равна длине исходного прямоугольника $l$, а другая сторона равна сумме ширин двух прямоугольников, то есть $w + w = 2w$.

По условию, эта новая фигура — квадрат. У квадрата все стороны равны, значит, $l = 2w$.

Периметр квадрата ($P_{кв}$) равен 432 см. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \times a$, где $a$ — его сторона.

Найдем сторону квадрата:
$a = P_{кв} \div 4 = 432 \div 4 = 108$ см.

Стороны получившегося квадрата равны $l$ и $2w$. Следовательно, мы можем найти размеры исходного прямоугольника:

Большая сторона прямоугольника: $l = a = 108$ см.
Сумма ширин двух прямоугольников: $2w = a = 108$ см.
Отсюда находим меньшую сторону (ширину) одного прямоугольника: $w = 108 \div 2 = 54$ см.

Итак, размеры исходного прямоугольника: длина 108 см и ширина 54 см.

Теперь найдем периметр прямоугольника ($P_{пр}$) по формуле $P_{пр} = 2 \times (l + w)$:
$P_{пр} = 2 \times (108 + 54) = 2 \times 162 = 324$ см.

Ответ: 324 см.

403. Прямоугольник, соседние стороны которого равны 42 см и 14 см, и квадрат имеют равные периметры. Найдите сторону квадрата.

Сначала найдем периметр прямоугольника. Периметр прямоугольника ($P_{прям}$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — его соседние стороны.

Подставим известные значения сторон прямоугольника: $a = 42$ см и $b = 14$ см.

$P_{прям} = 2 \times (42 + 14) = 2 \times 56 = 112$ см.

По условию задачи, периметр квадрата равен периметру прямоугольника. Следовательно, периметр квадрата ($P_{кв}$) также равен 112 см.

$P_{кв} = 112$ см.

Периметр квадрата находится по формуле $P_{кв} = 4s$, где $s$ — длина его стороны. Чтобы найти сторону квадрата, нужно его периметр разделить на 4:

$s = \frac{P_{кв}}{4} = \frac{112}{4} = 28$ см.

Ответ: 28 см.

404. Парк имеет форму прямоугольника, соседние стороны которого равны 460 м и 240 м. Вокруг парка установлен забор, на расстоянии 2 м от забора вдоль него внутри парка проложена беговая дорожка, также имеющая форму прямоугольника. Петя придерживается здорового образа жизни, он каждое утро до начала уроков бегает по этой дорожке, дважды обегая парк. Какое расстояние пробегает Петя?

Для решения задачи сначала найдем размеры прямоугольника, который образует беговая дорожка.

Парк имеет форму прямоугольника со сторонами $a_{парка} = 460$ м и $b_{парка} = 240$ м.

Беговая дорожка проложена внутри парка на расстоянии 2 м от забора. Это означает, что длина и ширина прямоугольника, образованного дорожкой, будут меньше длины и ширины парка. Отступ в 2 метра нужно учесть с двух противоположных сторон для каждой из сторон прямоугольника.

Найдем длину беговой дорожки:
$a_{дорожки} = a_{парка} - 2 \cdot 2 = 460 - 4 = 456$ м.

Найдем ширину беговой дорожки:
$b_{дорожки} = b_{парка} - 2 \cdot 2 = 240 - 4 = 236$ м.

Теперь вычислим длину одного круга по дорожке, которая равна ее периметру. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$.

$P_{дорожки} = 2 \cdot (456 + 236) = 2 \cdot 692 = 1384$ м.

По условию, Петя обегает парк по дорожке дважды. Чтобы найти общее расстояние, которое он пробегает, нужно умножить длину одного круга на два.

$S_{общее} = P_{дорожки} \cdot 2 = 1384 \cdot 2 = 2768$ м.

Ответ: 2768 м.

405. В спортивном зале надо разместить разными цветами баскетбольную и волейбольную площадки, имеющие форму прямоугольников. Соседние стороны баскетбольной площадки равны 26 м и 14 м, а волейбольной — 18 м и 9 м. Чтобы провести линию длиной 1 м, надо взять 50 г краски. Сколько краски потребуется, чтобы обвести линиями контуры обеих площадок?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо последовательно выполнить несколько шагов: найти периметр каждой площадки, затем вычислить их общую длину и, наконец, рассчитать необходимое количество краски.

1. Находим периметр баскетбольной площадки

Баскетбольная площадка имеет форму прямоугольника со сторонами 26 м и 14 м. Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2 \times (a + b)$, где $a$ и $b$ – длины его соседних сторон.

$P_{баскетбол} = 2 \times (26 + 14) = 2 \times 40 = 80$ м.

2. Находим периметр волейбольной площадки

Волейбольная площадка также является прямоугольником со сторонами 18 м и 9 м. Вычислим её периметр по той же формуле.

$P_{волейбол} = 2 \times (18 + 9) = 2 \times 27 = 54$ м.

3. Находим общую длину линий для разметки

Общая длина контуров равна сумме периметров обеих площадок.

$L_{общая} = P_{баскетбол} + P_{волейбол} = 80 \text{ м} + 54 \text{ м} = 134$ м.

4. Рассчитываем общее количество краски

Согласно условию, для проведения линии длиной 1 м требуется 50 г краски. Чтобы найти, сколько краски понадобится для разметки 134 м, нужно умножить общую длину на расход краски.

$134 \text{ м} \times 50 \text{ г/м} = 6700$ г.

Это количество можно также выразить в килограммах: $6700 \text{ г} = 6 \text{ кг } 700 \text{ г}$.

Ответ: чтобы обвести линиями контуры обеих площадок, потребуется 6700 г краски.