Номер 400, страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Параграф 16. Прямоугольник. Упражнения - номер 400, страница 104.

Условие.

400. На рисунке 151 изображён план земельного участка, который необходимо оградить забором (размеры даны в метрах). Какой длины забор надо построить? Есть ли на рисунке лишние данные?

Рис. 151

$12$

$7$

$25$

$20$

$12$

$27$

Решение.

Решение 2.

Какой длины забор надо построить?

Длина забора равна периметру земельного участка. Участок представляет собой многоугольник, все стороны которого параллельны осям координат (ортогональный многоугольник).

Периметр такого многоугольника можно найти, сложив длины всех его сторон. Для замкнутого ортогонального многоугольника сумма длин всех горизонтальных участков равна удвоенной его максимальной ширине, а сумма длин всех вертикальных участков равна удвоенной его максимальной высоте, но это верно только для фигур без "впадин" вовнутрь. В нашем случае фигура имеет сложную форму, поэтому воспользуемся свойством, что сумма длин векторов сторон, направленных в одну сторону, равна сумме длин векторов сторон, направленных в противоположную сторону.

Обозначим все стороны, направленные вправо и влево (горизонтальные), и все стороны, направленные вверх и вниз (вертикальные). Из рисунка видно, что есть одна сторона, направленная влево (нижняя), её длина $27$ м. Также есть стороны, направленные вправо: верхняя левая ($12$ м), верхняя правая ($7$ м) и внутренняя горизонтальная сторона, длина которой неизвестна. Сумма длин всех сторон, направленных вправо, должна быть равна сумме длин всех сторон, направленных влево. Таким образом, общая длина всех горизонтальных участков забора равна $2 \times 27 = 54$ м.

Аналогично для вертикальных сторон. Есть стороны, направленные вверх: левая сторона ($25$ м) и внутренняя правая вертикальная сторона ($20$ м). Сумма их длин равна $25 + 20 = 45$ м. Эта сумма должна быть равна сумме длин всех сторон, направленных вниз (внешняя правая нижняя сторона и внутренняя левая вертикальная сторона). Таким образом, общая длина всех вертикальных участков забора равна $2 \times 45 = 90$ м.

Периметр участка равен сумме длин всех горизонтальных и всех вертикальных сторон:

$P = (\text{сумма длин горизонтальных сторон}) + (\text{сумма длин вертикальных сторон})$

$P = (2 \times 27) + (2 \times (25 + 20)) = 54 + 2 \times 45 = 54 + 90 = 144$ м.

Ответ: надо построить забор длиной 144 метра.

Есть ли на рисунке лишние данные?

Да, для нахождения периметра на рисунке есть лишние данные.

Как было показано выше, для вычисления периметра мы использовали формулу $P = 2 \times (\text{сумма длин сторон, направленных влево}) + 2 \times (\text{сумма длин сторон, направленных вверх})$.

Для этого нам понадобились следующие размеры:

• Длина нижней стороны, направленной влево: $27$ м.
• Длина левой стороны, направленной вверх: $25$ м.
• Длина внутренней правой вертикальной стороны, направленной вверх: $20$ м.

Размеры, которые не были использованы для расчета периметра:

• Длина верхней левой горизонтальной стороны: $12$ м.
• Длина верхней правой горизонтальной стороны: $7$ м.
• Длина правой нижней вертикальной стороны: $12$ м.

Эти три размера являются лишними (избыточными) данными для решения задачи по нахождению длины забора. Они необходимы для полного определения формы участка, но не для вычисления его периметра.

Ответ: да, на рисунке есть лишние данные: 12 м (верхняя левая сторона), 7 м (верхняя правая сторона) и 12 м (нижняя правая сторона).