Страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

374. Начертите:

1) разносторонний остроугольный треугольник;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

375. Начертите:

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

2) разносторонний тупоугольный треугольник;

3) равнобедренный остроугольный треугольник.

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

Разносторонний прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$), а все три стороны имеют разную длину. Чтобы такой треугольник был разносторонним, его катеты (стороны, образующие прямой угол) должны иметь разную длину. Если катеты $a$ и $b$ различны ($a \neq b$), то по теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ будет длиннее каждого из катетов, и, следовательно, все три стороны будут иметь разную длину.

Чтобы начертить такой треугольник, нужно:

1. Начертить прямой угол с вершиной в точке C.
2. На одной стороне угла отложить отрезок CA (катет) произвольной длины.
3. На другой стороне угла отложить отрезок CB (второй катет) другой длины.
4. Соединить точки A и B, получив гипотенузу AB.

На рисунке ниже показан пример такого треугольника ABC с прямым углом C.

Ответ: На рисунке изображен разносторонний прямоугольный треугольник ABC, у которого $\angle C = 90^\circ$, а длины сторон $AC$, $BC$ и $AB$ различны.

2) разносторонний тупоугольный треугольник;

Разносторонний тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$), а все три стороны имеют разную длину. Для построения такого треугольника необходимо выбрать две стороны разной длины и сделать угол между ними тупым. Третья сторона, согласно теореме косинусов ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$, где $\gamma > 90^\circ$), будет самой длинной, и таким образом, все три стороны будут различны.

Чтобы начертить такой треугольник, нужно:

1. Начертить отрезок BC.
2. От точки C отложить луч, образующий с отрезком BC тупой угол (например, $130^\circ$).
3. На этом луче отложить отрезок CA, длина которого не равна длине BC.
4. Соединить точки A и B.

На рисунке ниже показан пример такого треугольника ABC с тупым углом C.

Ответ: На рисунке изображен разносторонний тупоугольный треугольник ABC, так как у него есть тупой угол $\angle C$ и все стороны имеют разную длину.

3) равнобедренный остроугольный треугольник.

Равнобедренный остроугольный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны (боковые стороны), и все три угла острые (меньше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и всегда острые. Чтобы третий угол (при вершине) также был острым, высота, опущенная на основание, должна быть больше половины длины основания. Это эквивалентно тому, что углы при основании должны быть больше $45^\circ$.

Чтобы начертить такой треугольник, нужно:

1. Начертить отрезок AB (основание).
2. Найти его середину M.
3. Из точки M провести перпендикуляр к AB.
4. На перпендикуляре выбрать точку C так, чтобы высота MC была больше половины основания AB (т.е. $MC > AM$).
5. Соединить точку C с точками A и B.

На рисунке ниже показан пример такого треугольника ABC, где $AC=BC$.

Ответ: На рисунке изображен равнобедренный остроугольный треугольник ABC, так как у него две стороны равны ($AC=BC$) и все углы острые.

376. Найдите периметр треугольника со сторонами 16 см, 22 см и 28 см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для того чтобы найти периметр, нужно сложить длины всех трех сторон, которые даны в условии задачи.

Даны стороны треугольника: $a = 16$ см, $b = 22$ см и $c = 28$ см.

Формула для вычисления периметра ($P$) треугольника выглядит следующим образом: $P = a + b + c$.

Подставим значения длин сторон в эту формулу: $P = 16 + 22 + 28$.

Выполним сложение: $16 + 22 = 38$; $38 + 28 = 66$.

Следовательно, периметр треугольника равен 66 см.

Ответ: 66 см.

377. Найдите периметр треугольника со сторонами 14 см, 17 см и 17 см.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. В данной задаче нам даны три стороны треугольника. Обозначим их как $a$, $b$ и $c$.

Дано:
Сторона $a = 14$ см.
Сторона $b = 17$ см.
Сторона $c = 17$ см.

Формула для нахождения периметра ($P$) треугольника:
$P = a + b + c$

Подставим известные значения длин сторон в формулу и вычислим периметр:
$P = 14 + 17 + 17$

$P = 31 + 17$
$P = 48$ см

Ответ: 48 см.

378. Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называют такой треугольник? Чему равен его периметр?

Как называют такой треугольник?

Треугольник, у которого все три стороны имеют одинаковую длину, называется равносторонним или правильным треугольником.
Ответ: равносторонний треугольник.

Чему равен его периметр?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим периметр буквой $P$, а длину стороны — буквой $a$.
По условию задачи, длина каждой стороны равна 12 см, то есть $a = 12$ см.
Для равностороннего треугольника формула периметра выглядит так:
$P = a + a + a = 3 \times a$
Подставим в формулу значение длины стороны:
$P = 3 \times 12 \text{ см} = 36 \text{ см}$
Ответ: 36 см.

379. Периметр равностороннего треугольника равен 24 см. Найдите сторону треугольника.

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны по длине.

Периметр ($P$) любой геометрической фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Для равностороннего треугольника, если обозначить длину его стороны как $a$, формула периметра будет выглядеть следующим образом:

$P = a + a + a = 3 \cdot a$

Согласно условию задачи, периметр треугольника равен 24 см. Подставим это значение в формулу:

$24 = 3 \cdot a$

Чтобы найти длину одной стороны $a$, нужно разделить периметр на количество сторон, то есть на 3:

$a = 24 / 3$

$a = 8$ см

Ответ: 8 см.

380. Одна сторона треугольника равна 24 см, вторая сторона на 18 см больше первой, а третья сторона в 2 раза меньше второй. Найдите периметр треугольника.

Для решения задачи необходимо последовательно найти длины всех трех сторон треугольника, а затем сложить их, чтобы определить периметр.

1. Найдем длину второй стороны.
Согласно условию, первая сторона треугольника равна 24 см, а вторая сторона на 18 см больше первой. Чтобы найти ее длину, необходимо к длине первой стороны прибавить 18 см:
$24 + 18 = 42$ (см).

2. Найдем длину третьей стороны.
В условии сказано, что третья сторона в 2 раза меньше второй. Длина второй стороны, как мы вычислили, составляет 42 см. Следовательно, чтобы найти длину третьей стороны, нужно разделить длину второй стороны на 2:
$42 \div 2 = 21$ (см).

3. Найдем периметр треугольника.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Теперь у нас есть длины всех трех сторон: 24 см, 42 см и 21 см. Сложим их:
$24 + 42 + 21 = 87$ (см).

Ответ: 87 см.

381. Одна сторона треугольника равна 12 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья сторона на 8 см меньше второй. Найдите периметр треугольника.

Для решения задачи необходимо выполнить три действия: найти длину второй стороны, затем найти длину третьей стороны и, наконец, вычислить периметр, сложив длины всех трех сторон.

1. Нахождение длины второй стороны

Известно, что первая сторона равна 12 см, а вторая сторона в 3 раза больше. Следовательно, для нахождения длины второй стороны нужно умножить длину первой стороны на 3:

$12 \text{ см} \cdot 3 = 36 \text{ см}$

Длина второй стороны составляет 36 см.

2. Нахождение длины третьей стороны

По условию, третья сторона на 8 см меньше второй. Чтобы найти ее длину, нужно из длины второй стороны вычесть 8 см:

$36 \text{ см} - 8 \text{ см} = 28 \text{ см}$

Длина третьей стороны составляет 28 см.

3. Нахождение периметра треугольника

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон ($a, b, c$).

$P = a + b + c$

Подставим известные значения длин сторон:

$P = 12 \text{ см} + 36 \text{ см} + 28 \text{ см} = 76 \text{ см}$

Ответ: периметр треугольника равен 76 см.

382. 1) Найдите периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно 13 см, а боковая сторона — 8 см.

2) Периметр равнобедренного треугольника равен 39 см, а основание — 15 см. Найдите боковые стороны треугольника.

1)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.
Дано:
Основание $c = 13$ см.
Боковая сторона $a = 8$ см.
Поскольку треугольник равнобедренный, обе боковые стороны равны 8 см.
Периметр $P$ вычисляется по формуле: $P = a + a + c = 2a + c$.
Подставим известные значения:
$P = 2 \cdot 8 + 13 = 16 + 13 = 29$ см.
Ответ: 29 см.

2)

Периметр равнобедренного треугольника $P$ равен сумме основания $c$ и двух равных боковых сторон $a$. Формула периметра: $P = 2a + c$.
Дано:
Периметр $P = 39$ см.
Основание $c = 15$ см.
Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину боковой стороны $a$:
$39 = 2a + 15$
Выразим $2a$ (сумма двух боковых сторон):
$2a = 39 - 15$
$2a = 24$
Теперь найдем длину одной боковой стороны, разделив результат на 2:
$a = \frac{24}{2} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

383. Периметр равнобедренного треугольника равен 28 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите основание треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания — как $b$.

Из условия задачи нам известно:

• Периметр $P = 28$ см.
• Боковая сторона $a = 10$ см.

Формула периметра для равнобедренного треугольника: $P = a + a + b = 2a + b$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину основания $b$:

$28 = 2 \cdot 10 + b$

Выполним умножение:

$28 = 20 + b$

Теперь найдем $b$, вычтя из периметра сумму длин двух боковых сторон:

$b = 28 - 20$

$b = 8$ см

Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

• $10 + 10 > 8$ (20 > 8) - верно.
• $10 + 8 > 10$ (18 > 10) - верно.

Следовательно, основание треугольника равно 8 см.

Ответ: 8 см.

384. Периметр треугольника равен $p$ см, одна сторона — 22 см, вторая — $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $p = 72$, $b = 26$.

Составьте выражение для нахождения третьей стороны

Периметр треугольника $p$ — это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны треугольника как $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Тогда формула периметра выглядит так:

$p = a_1 + a_2 + a_3$

По условию задачи нам известны:

- Периметр: $p$ см
- Длина первой стороны: $a_1 = 22$ см
- Длина второй стороны: $a_2 = b$ см

Подставим известные значения в формулу периметра:

$p = 22 + b + a_3$

Чтобы найти длину третьей стороны ($a_3$), нужно из периметра вычесть сумму длин двух известных сторон. Выразим $a_3$ из формулы:

$a_3 = p - (22 + b)$

Таким образом, выражение для нахождения третьей стороны: $p - 22 - b$.

Ответ: $p - 22 - b$.

Вычислите длину третьей стороны, если p = 72, b = 26

Воспользуемся полученным выражением для нахождения третьей стороны и подставим в него заданные значения $p = 72$ и $b = 26$:

$72 - 22 - 26$

Выполним вычисления по порядку:

1) $72 - 22 = 50$

2) $50 - 26 = 24$

Длина третьей стороны равна 24 см.

Ответ: 24 см.

385. Периметр треугольника равен 97 см, одна сторона — $a$ см, вторая — $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $a = 32$, $b = 26$.

Составьте выражение для нахождения третьей стороны.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Тогда формула периметра будет:
$P = a + b + c$

По условию задачи, периметр $P = 97$ см, первая сторона — $a$ см, вторая — $b$ см. Чтобы найти третью сторону ($c$), нужно из периметра вычесть длины двух известных сторон.
$c = P - a - b$
Подставив известное значение периметра, получим выражение:
$c = 97 - a - b$
Это выражение также можно записать, сгруппировав известные стороны:
$c = 97 - (a + b)$

Ответ: $97 - (a + b)$ см.

Вычислите длину третьей стороны, если a = 32, b = 26.

Воспользуемся полученным выражением для нахождения третьей стороны и подставим в него заданные значения $a = 32$ и $b = 26$.
$c = 97 - (32 + 26)$

1. Сначала выполним сложение в скобках, чтобы найти сумму длин двух известных сторон:
$32 + 26 = 58$ (см)

2. Теперь вычтем полученную сумму из периметра, чтобы найти длину третьей стороны:
$97 - 58 = 39$ (см)

Ответ: 39 см.

386. Сколько треугольников изображено на рисунке 144?

Рис. 144

Чтобы посчитать все треугольники на рисунке, будем действовать систематически, подсчитывая треугольники, состоящие из разного количества частей.

1. Треугольники из одной части:
Это самые маленькие треугольники, которые не разделены линиями. На рисунке их 4.

2. Треугольники из двух частей:
Это треугольники, которые можно составить, объединив два соседних маленьких треугольника. Таких треугольников 2:
- Один в левой верхней части фигуры.
- Один в левой части фигуры, состоящий из двух треугольников, расположенных друг над другом.

3. Треугольники из трех частей:
Это треугольник, который можно составить, объединив три маленьких треугольника. Такой треугольник на рисунке 1 — он составляет всю левую половину фигуры.

Теперь сложим количество треугольников из каждой группы, чтобы найти общее число:
$4 + 2 + 1 = 7$

Таким образом, на рисунке всего 7 треугольников.

Ответ: 7

387. Сколько треугольников изображено на рисунке 145?

Рис. 145

Для того чтобы подсчитать общее количество треугольников на рисунке, необходимо систематизировать подсчет, разделив все треугольники на группы по их размеру и типу.

К этой группе относятся самые маленькие, элементарные треугольники, из которых состоит вся фигура. Их можно разделить на две подгруппы: 6 треугольников, которые образуют вершины (лучи) шестиконечной звезды, и 6 треугольников, которые формируют центральный правильный шестиугольник. Таким образом, общее число самых маленьких треугольников составляет $6 + 6 = 12$.

Ответ: 12

Ко второй группе относятся треугольники большего размера. Вершинами каждого такого треугольника являются одна из шести вершин звезды и две противолежащие ей вершины центрального шестиугольника. Например, треугольник с вершиной в самой верхней точке звезды имеет своим основанием горизонтальную диагональ шестиугольника. Стороны таких треугольников являются прямыми линиями, что следует из геометрии фигуры: сумма смежных углов при вершине шестиугольника (внутренний угол правильного шестиугольника $120^\circ$ и угол равностороннего треугольника-луча $60^\circ$) составляет $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Это доказывает, что соответствующие вершины лежат на одной прямой. Поскольку у звезды 6 вершин, всего существует 6 таких треугольников среднего размера.

Ответ: 6

Третью группу составляют два самых больших треугольника, которые образуют саму фигуру звезды (гексаграмму). Один из этих больших равносторонних треугольников направлен вершиной вверх, а другой — вершиной вниз. Именно их наложением и формируется вся фигура.

Ответ: 2

Для нахождения итогового количества треугольников на рисунке необходимо сложить количество треугольников, найденное в каждой группе: $12 + 6 + 2 = 20$.

Ответ: 20

388. Постройте треугольник, стороны которого содержат четыре точки, изображённые на рисунке 146.

Рис. 146

Задача состоит в том, чтобы построить треугольник, три стороны которого (или их продолжения) проходят через четыре заданные точки. Это можно сделать, распределив точки по сторонам по схеме 2-1-1: две точки на одной стороне, и по одной точке на двух других.

Построение

Общий алгоритм построения выглядит следующим образом:

1. Выбор базовой прямой. Выберите любые две из четырех данных точек и проведите через них прямую. Эта прямая, назовем ее $l_1$, будет содержать одну из сторон будущего треугольника.
2. Выбор вершины. Выберите любую точку в плоскости, не лежащую на прямой $l_1$. Эта точка, назовем ее $V_1$, будет одной из вершин искомого треугольника. Чтобы построение было возможным, точка $V_1$ также не должна лежать на прямой, проходящей через две оставшиеся точки.
3. Построение двух других сторон. Проведите две прямые, $l_2$ и $l_3$, каждая из которых проходит через вершину $V_1$ и одну из двух оставшихся точек.
4. Определение вершин треугольника. Точки пересечения трех построенных прямых ($l_1, l_2, l_3$) образуют вершины искомого треугольника.
   • Вершина $V_1$ уже выбрана.
   • Вершина $V_2$ — это точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.
   • Вершина $V_3$ — это точка пересечения прямых $l_1$ и $l_3$.

Полученный треугольник $V_1V_2V_3$ будет искомым, так как его стороны лежат на прямых, содержащих все четыре исходные точки.

Так как выбор пары точек для построения первой прямой и выбор вершины $V_1$ произвольны, существует бесконечное множество решений данной задачи.

Ответ: Чтобы построить требуемый треугольник, необходимо: 1) провести прямую через любые две из четырех данных точек; 2) выбрать произвольную точку вне этой прямой в качестве первой вершины; 3) провести через эту вершину и две оставшиеся точки еще две прямые. Точки пересечения этих трех прямых образуют искомый треугольник.