Страница 90 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

334. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 123. Определите вид каждого угла.

Рис. 123

Угол MKA

$\angle MKA$

Угол FTC

$\angle FTC$

Угол POB

$\angle POB$

Угол SNE

$\angle SNE$

Угол AMK
Для измерения угла AMK приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла M, а луч MK прошел через отметку $0°$ на шкале. Другой луч, MA, пересекает шкалу транспортира на отметке $30°$. Таким образом, градусная мера угла AMK приблизительно равна $30°$.
Так как $0° < 30° < 90°$, этот угол является острым.
Ответ: $∠AMK ≈ 30°$, острый угол.

Угол FTC
Чтобы измерить угол FTC, совмещаем центр транспортира с вершиной T, а луч TF — с нулевой отметкой. Луч TC пересечет шкалу на отметке $155°$. Следовательно, градусная мера угла FTC приблизительно равна $155°$.
Так как $90° < 155° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $∠FTC ≈ 155°$, тупой угол.

Угол POB
Приложим транспортир к углу POB так, чтобы его центр совпал с вершиной O, а луч OB прошел через отметку $0°$. Луч OP пересечет шкалу транспортира на отметке $110°$. Таким образом, градусная мера угла POB приблизительно равна $110°$.
Так как $90° < 110° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $∠POB ≈ 110°$, тупой угол.

Угол SNE
Для измерения угла SNE расположим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной N, а луч NE прошел через нулевую отметку. Луч NS пересечет шкалу на отметке $140°$. Следовательно, градусная мера угла SNE приблизительно равна $140°$.
Так как $90° < 140° < 180°$, этот угол является тупым.
Ответ: $∠SNE ≈ 140°$, тупой угол.

335. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 124. Определите вид каждого угла.

Рис. 124

Угол $PRT$

Угол $EMF$

Угол $BCQ$

Угол $AKS$

Для решения этой задачи необходимо использовать транспортир, чтобы измерить градусную меру каждого угла, а затем определить его вид (острый, прямой или тупой).

• Острый угол — угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
• Прямой угол — угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Произведем измерения для каждого из углов, изображенных на рисунке.

Угол PRT

Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, точкой R, а сторона RP прошла вдоль нулевой отметки. Другая сторона угла, RT, пройдет через отметку $135^\circ$ на шкале транспортира. Поскольку $90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$, данный угол является тупым.

Ответ: $\angle PRT = 135^\circ$, тупой.

Угол EFM

Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, точкой F, а сторона FE прошла вдоль нулевой отметки. Другая сторона угла, FM, пройдет через отметку $150^\circ$ на шкале транспортира. Поскольку $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$, данный угол является тупым.

Ответ: $\angle EFM = 150^\circ$, тупой.

Угол QCB

Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, точкой C, а сторона CQ прошла вдоль нулевой отметки. Другая сторона угла, CB, пройдет через отметку $120^\circ$ на шкале транспортира. Поскольку $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$, данный угол является тупым.

Ответ: $\angle QCB = 120^\circ$, тупой.

Угол SKA

Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла, точкой K, а сторона KS прошла вдоль нулевой отметки. Другая сторона угла, KA, пройдет через отметку $70^\circ$ на шкале транспортира. Поскольку $0^\circ < 70^\circ < 90^\circ$, данный угол является острым.

Ответ: $\angle SKA = 70^\circ$, острый.

336. Начертите, не пользуясь транспортиром:

1) острый угол $\angle EFC$;

2) прямой угол $\angle ORT$;

3) тупой угол $\angle D$;

4) развёрнутый угол $\angle KAP$.

Проверьте правильность построения с помощью транспортира.

1) острый угол EFC

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Для его построения без транспортира нужно выполнить следующие шаги:
1. Начертите луч FE с началом в точке F.
2. Из той же точки F начертите второй луч FC так, чтобы угол между лучами FE и FC был визуально меньше прямого угла (меньше, чем угол у края листа бумаги).
При проверке транспортиром, градусная мера построенного угла $\angle EFC$ должна быть в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Например, $\angle EFC = 45^\circ$.
Ответ: Построен острый угол $\angle EFC$, где $0^\circ < \angle EFC < 90^\circ$.

2) прямой угол ORT

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна ровно $90^\circ$. Для его построения можно использовать угольник или любой предмет с прямым углом (например, край книги или листа бумаги):
1. Начертите луч RO с началом в точке R.
2. Приложите вершину прямого угла угольника к точке R, а одну из его сторон совместите с лучом RO.
3. Вдоль второй стороны угольника проведите луч RT.
Полученный угол $\angle ORT$ будет прямым. При проверке транспортиром его градусная мера должна быть равна $90^\circ$.
Ответ: Построен прямой угол $\angle ORT = 90^\circ$.

3) тупой угол D

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Чтобы начертить его, выполните следующие действия:
1. Отметьте точку D, которая будет вершиной угла.
2. Из точки D проведите два луча, например, DA и DB.
3. Расположите лучи так, чтобы угол между ними был заметно больше прямого угла (больше, чем угол у края листа бумаги), но не образовывал прямую линию.
При проверке транспортиром, градусная мера угла $\angle D$ должна быть в пределах от $90^\circ$ до $180^\circ$. Например, $\angle D = 135^\circ$.
Ответ: Построен тупой угол $\angle D$, где $90^\circ < \angle D < 180^\circ$.

4) развёрнутый угол KAP

Развёрнутый угол — это угол, стороны которого образуют прямую линию, а его градусная мера равна $180^\circ$. Для его построения:
1. Поставьте на листе точку A, которая будет вершиной угла.
2. С помощью линейки проведите через точку A прямую линию.
3. На этой прямой по разные стороны от точки A отметьте точки K и P.
Лучи AK и AP являются продолжением друг друга и образуют развёрнутый угол $\angle KAP$. При проверке транспортиром его градусная мера должна быть равна $180^\circ$.
Ответ: Построен развёрнутый угол $\angle KAP = 180^\circ$.

337. Начертите угол, градусная мера которого равна:

1) $38^\circ$;

2) $124^\circ$;

3) $92^\circ$;

4) $90^\circ$;

5) $54^\circ$;

6) $170^\circ$.

Постройте биссектрису каждого из этих углов.

Чтобы начертить угол заданной градусной меры, используется транспортир. Сначала чертится луч — одна из сторон угла. Затем с помощью транспортира откладывается нужная градусная мера и чертится второй луч, исходящий из той же точки.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для построения биссектрисы мы найдем половину градусной меры исходного угла и отложим этот новый угол от одной из сторон с помощью транспортира.

1) Начертим угол, равный $38^\circ$. Для построения биссектрисы найдем половину его градусной меры:

$38^\circ : 2 = 19^\circ$

Проводим из вершины угла луч, который образует с одной из его сторон угол в $19^\circ$. Этот луч является биссектрисой.

Ответ: биссектриса делит угол на два угла по $19^\circ$.

2) Начертим угол, равный $124^\circ$. Для построения биссектрисы найдем половину его градусной меры:

$124^\circ : 2 = 62^\circ$

Проводим из вершины угла луч, который образует с одной из его сторон угол в $62^\circ$. Этот луч является биссектрисой.

Ответ: биссектриса делит угол на два угла по $62^\circ$.

3) Начертим угол, равный $92^\circ$. Для построения биссектрисы найдем половину его градусной меры:

$92^\circ : 2 = 46^\circ$

Проводим из вершины угла луч, который образует с одной из его сторон угол в $46^\circ$. Этот луч является биссектрисой.

Ответ: биссектриса делит угол на два угла по $46^\circ$.

4) Начертим угол, равный $90^\circ$. Для построения биссектрисы найдем половину его градусной меры:

$90^\circ : 2 = 45^\circ$

Проводим из вершины угла луч, который образует с одной из его сторон угол в $45^\circ$. Этот луч является биссектрисой.

Ответ: биссектриса делит угол на два угла по $45^\circ$.

5) Начертим угол, равный $54^\circ$. Для построения биссектрисы найдем половину его градусной меры:

$54^\circ : 2 = 27^\circ$

Проводим из вершины угла луч, который образует с одной из его сторон угол в $27^\circ$. Этот луч является биссектрисой.

Ответ: биссектриса делит угол на два угла по $27^\circ$.

6) Начертим угол, равный $170^\circ$. Для построения биссектрисы найдем половину его градусной меры:

$170^\circ : 2 = 85^\circ$

Проводим из вершины угла луч, который образует с одной из его сторон угол в $85^\circ$. Этот луч является биссектрисой.

Ответ: биссектриса делит угол на два угла по $85^\circ$.

338. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна:

1) $40^\circ$;

2) $130^\circ$;

3) $68^\circ$;

4) $164^\circ$.

Постройте биссектрису каждого из этих углов.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги для каждого из указанных углов:

1. Провести произвольный луч (например, ОА).
2. С помощью транспортира, приложив его центр к началу луча (точке О) и совместив нулевую отметку с лучом, отложить угол заданной градусной меры.
3. Для построения биссектрисы необходимо разделить градусную меру построенного угла на 2.
4. С помощью транспортира отложить от луча ОА угол, равный полученному значению, и провести новый луч (например, ОС). Этот луч и будет биссектрисой исходного угла.

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

1) 40°
Строим угол, равный $40^\circ$. Чтобы найти его биссектрису, делим градусную меру угла на 2:
$40^\circ \div 2 = 20^\circ$
Биссектриса разделит угол $40^\circ$ на два равных угла по $20^\circ$.
Ответ: биссектриса делит угол $40^\circ$ на два угла по $20^\circ$.

2) 130°
Строим угол, равный $130^\circ$. Чтобы найти его биссектрису, делим градусную меру угла на 2:
$130^\circ \div 2 = 65^\circ$
Биссектриса разделит угол $130^\circ$ на два равных угла по $65^\circ$.
Ответ: биссектриса делит угол $130^\circ$ на два угла по $65^\circ$.

3) 68°
Строим угол, равный $68^\circ$. Чтобы найти его биссектрису, делим градусную меру угла на 2:
$68^\circ \div 2 = 34^\circ$
Биссектриса разделит угол $68^\circ$ на два равных угла по $34^\circ$.
Ответ: биссектриса делит угол $68^\circ$ на два угла по $34^\circ$.

4) 164°
Строим угол, равный $164^\circ$. Чтобы найти его биссектрису, делим градусную меру угла на 2:
$164^\circ \div 2 = 82^\circ$
Биссектриса разделит угол $164^\circ$ на два равных угла по $82^\circ$.
Ответ: биссектриса делит угол $164^\circ$ на два угла по $82^\circ$.

339. Домашняя практическая работа

Возьмите лист бумаги формата А4. С помощью перегибания постройте биссектрисы углов листа. Не пользуясь транспортиром, определите градусные меры образовавшихся углов.

Лист бумаги формата А4 имеет форму прямоугольника. Это означает, что все четыре его внутренних угла являются прямыми и равны $90^\circ$.

Для построения биссектрисы любого из углов листа с помощью перегибания нужно совместить две стороны, которые образуют этот угол. Например, для верхнего левого угла необходимо совместить верхний и левый края листа. Линия сгиба, которая при этом образуется, и будет являться биссектрисой данного угла. Аналогичная процедура выполняется для всех четырех углов листа.

В результате перегибания на листе образуются новые углы. Определим их градусные меры.

1. Биссектриса по определению делит угол на две равные части. Так как исходные углы листа составляют $90^\circ$, то каждая биссектриса делит свой угол на два новых угла, мера которых равна:
$90^\circ \div 2 = 45^\circ$

2. Биссектрисы, проведенные из смежных вершин (например, из двух верхних), пересекутся. Вместе со стороной листа между этими вершинами они образуют треугольник. Два угла этого треугольника, прилегающие к стороне листа, равны по $45^\circ$ каждый, как было найдено в предыдущем пункте. Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, третий угол (находящийся в точке пересечения биссектрис) будет равен:
$180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, биссектрисы из соседних вершин пересекаются под прямым углом. Все углы, образованные в четырех точках пересечения биссектрис, будут равны $90^\circ$.

В итоге, в результате всех построений на листе бумаги образовались углы только двух различных величин.
Ответ: Градусные меры образовавшихся углов равны $45^\circ$ и $90^\circ$.