Номер 4, страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. § 8. Сложение натуральных чисел. Свойства сложения. Глава 2. Сложение и вычитание натуральных чисел. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 4, страница 57.

4. В двенадцатиэтажном доме есть лифт. На первом этаже живёт 6 человек, а на каждом следующем количество жильцов на 2 человека больше, чем на предыдущем. Кнопку какого этажа нажимают в лифте чаще других?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как жильцы пользуются лифтом. Есть два основных сценария использования лифта:

1. Поездка с первого этажа на свой этаж.
2. Поездка со своего этажа на первый этаж (чтобы выйти из дома).

Сначала определим, сколько человек живет на каждом этаже. Нам дана арифметическая прогрессия:

• Число жильцов на первом этаже: $a_1 = 6$.
• Разность прогрессии: $d = 2$.

Количество жильцов на $n$-ом этаже можно вычислить по формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_n = 6 + (n-1) \cdot 2$.

Рассмотрим, как нажимаются кнопки для этажей со 2-го по 12-й.

Кнопку определенного этажа $n$ (где $n > 1$) нажимают только жильцы этого этажа, когда едут домой с первого этажа. Следовательно, количество нажатий кнопки этажа $n$ пропорционально числу жильцов на этом этаже, то есть $a_n$.

Поскольку количество жильцов с каждым этажом увеличивается, то среди кнопок со 2-й по 12-ю чаще всего будут нажимать кнопку 12-го этажа. Посчитаем, сколько человек живет на 12-м этаже:
$a_{12} = 6 + (12-1) \cdot 2 = 6 + 11 \cdot 2 = 6 + 22 = 28$ человек.

Рассмотрим, как нажимается кнопка 1-го этажа.

Кнопку 1-го этажа нажимает каждый жилец, который живет на этажах со 2-го по 12-й, когда ему нужно спуститься вниз и выйти из дома. Жильцы первого этажа лифтом для этих целей не пользуются.

Таким образом, количество нажатий кнопки 1-го этажа пропорционально суммарному числу жильцов со 2-го по 12-й этаж. Найдем эту сумму. Это сумма 11 членов арифметической прогрессии, где первый член — это число жильцов на 2-м этаже ($a_2$), а последний — на 12-м ($a_{12}$).

$a_2 = 6 + (2-1) \cdot 2 = 8$.
$a_{12} = 28$ (уже посчитали).

Сумма жильцов со 2-го по 12-й этаж ($S$):
$S = \frac{a_2 + a_{12}}{2} \cdot 11 = \frac{8 + 28}{2} \cdot 11 = \frac{36}{2} \cdot 11 = 18 \cdot 11 = 198$ человек.

Сравним результаты.

Количество нажатий на самую популярную кнопку среди верхних этажей (кнопку 12) пропорционально 28.
Количество нажатий на кнопку 1-го этажа пропорционально 198.

Поскольку $198 > 28$, кнопка 1-го этажа нажимается значительно чаще любой другой кнопки.

Ответ: Чаще других в лифте нажимают кнопку 1-го этажа.