Страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Вычислите:

1) $23 + 17$;

2) $230 + 17$;

3) $23 + 170$;

4) $30 - 13$;

5) $300 - 130$;

6) $300 - 13$;

7) $12 \cdot 4$;

8) $12 \cdot 40$;

9) $120 \cdot 40$;

10) $72 : 8$;

11) $720 : 8$;

12) $720 : 80$.

1) Для вычисления суммы $23 + 17$ можно сложить единицы с единицами, а десятки с десятками. $3 + 7 = 10$, $20 + 10 = 30$. Затем сложить полученные результаты: $30 + 10 = 40$.
Ответ: $40$

2) Для вычисления суммы $230 + 17$ достаточно к числу $230$ прибавить $17$. $230 + 17 = 247$.
Ответ: $247$

3) Для вычисления суммы $23 + 170$ можно поменять слагаемые местами: $170 + 23$. К $170$ прибавим $20$, получим $190$, затем прибавим $3$: $190 + 3 = 193$.
Ответ: $193$

4) Чтобы найти разность $30 - 13$, можно от $30$ отнять $10$, получится $20$, а затем отнять $3$: $20 - 3 = 17$.
Ответ: $17$

5) Чтобы найти разность $300 - 130$, можно от $30$ десятков отнять $13$ десятков. $30 - 13 = 17$. Результат равен $17$ десяткам, то есть $170$.
Ответ: $170$

6) Чтобы найти разность $300 - 13$, можно от $300$ отнять $10$, получится $290$, а затем отнять $3$: $290 - 3 = 287$.
Ответ: $287$

7) Для вычисления произведения $12 \cdot 4$ можно разложить $12$ на $10$ и $2$. Умножим каждое слагаемое на $4$ и сложим результаты: $10 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 40 + 8 = 48$.
Ответ: $48$

8) Чтобы найти произведение $12 \cdot 40$, можно умножить $12$ на $4$ и к результату приписать ноль. $12 \cdot 4 = 48$. Приписываем ноль и получаем $480$.
Ответ: $480$

9) Чтобы найти произведение $120 \cdot 40$, можно умножить $12$ на $4$ и к результату приписать два ноля (по одному от каждого множителя). $12 \cdot 4 = 48$. Приписываем два ноля и получаем $4800$.
Ответ: $4800$

10) Чтобы найти частное $72 : 8$, воспользуемся таблицей умножения. $8 \cdot 9 = 72$. Значит, $72 : 8 = 9$.
Ответ: $9$

11) Чтобы найти частное $720 : 8$, можно разделить $72$ на $8$ и к результату приписать ноль. $72 : 8 = 9$. Приписываем ноль и получаем $90$.
Ответ: $90$

12) Чтобы найти частное $720 : 80$, можно убрать по одному нулю у делимого и делителя и выполнить деление: $72 : 8 = 9$.
Ответ: $9$

2. Назовите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 91.

Для решения этой задачи обозначим первое из двух последовательных натуральных чисел через $n$. Поскольку числа последовательные, второе число будет $n + 1$.

Согласно условию, сумма этих двух чисел равна 91. Мы можем составить уравнение:

$n + (n + 1) = 91$

Теперь решим это уравнение для нахождения $n$:

1. Раскроем скобки и объединим подобные слагаемые:

$2n + 1 = 91$

2. Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2n = 91 - 1$

$2n = 90$

3. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $n$:

$n = \frac{90}{2}$

$n = 45$

Итак, первое число равно 45.

Второе последовательное число равно $n + 1$:

$45 + 1 = 46$

Искомые числа — 45 и 46.

Проверим результат: $45 + 46 = 91$. Условие задачи выполнено.

Ответ: 45 и 46.

3. Назовите двузначное число, сумма цифр которого равна наибольшему однозначному числу. Сколько существует таких чисел?

Для решения задачи сначала определим, чему должна быть равна сумма цифр. Наибольшее однозначное число — это 9. Таким образом, мы ищем двузначные числа, у которых сумма цифр равна 9.

Пусть искомое число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Условие задачи можно записать в виде уравнения: $a + b = 9$. Поскольку число является двузначным, цифра десятков $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Назовите двузначное число, сумма цифр которого равна наибольшему однозначному числу.
Для ответа на этот вопрос достаточно найти хотя бы один пример. Возьмем, к примеру, первую цифру $a = 3$. Тогда, чтобы сумма была равна 9, вторая цифра $b$ должна быть $9 - 3 = 6$. Получаем число 36. Проверка: $3 + 6 = 9$. Условие выполняется.
Ответ: 36 (в качестве ответа можно привести любое из следующих чисел: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90).

Сколько существует таких чисел?
Чтобы найти общее количество таких чисел, нужно перебрать все возможные значения для первой цифры $a$ (от 1 до 9) и для каждого из них найти соответствующую цифру $b$.
Если $a=1$, то $b=8$ (число 18).
Если $a=2$, то $b=7$ (число 27).
Если $a=3$, то $b=6$ (число 36).
Если $a=4$, то $b=5$ (число 45).
Если $a=5$, то $b=4$ (число 54).
Если $a=6$, то $b=3$ (число 63).
Если $a=7$, то $b=2$ (число 72).
Если $a=8$, то $b=1$ (число 81).
Если $a=9$, то $b=0$ (число 90).
Поскольку для каждой из 9 возможных первых цифр существует единственная вторая цифра, всего таких чисел 9.
Ответ: 9.

4. В двенадцатиэтажном доме есть лифт. На первом этаже живёт 6 человек, а на каждом следующем количество жильцов на 2 человека больше, чем на предыдущем. Кнопку какого этажа нажимают в лифте чаще других?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо проанализировать, как жильцы пользуются лифтом. Есть два основных сценария использования лифта:

1. Поездка с первого этажа на свой этаж.
2. Поездка со своего этажа на первый этаж (чтобы выйти из дома).

Сначала определим, сколько человек живет на каждом этаже. Нам дана арифметическая прогрессия:

• Число жильцов на первом этаже: $a_1 = 6$.
• Разность прогрессии: $d = 2$.

Количество жильцов на $n$-ом этаже можно вычислить по формуле: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_n = 6 + (n-1) \cdot 2$.

Рассмотрим, как нажимаются кнопки для этажей со 2-го по 12-й.

Кнопку определенного этажа $n$ (где $n > 1$) нажимают только жильцы этого этажа, когда едут домой с первого этажа. Следовательно, количество нажатий кнопки этажа $n$ пропорционально числу жильцов на этом этаже, то есть $a_n$.

Поскольку количество жильцов с каждым этажом увеличивается, то среди кнопок со 2-й по 12-ю чаще всего будут нажимать кнопку 12-го этажа. Посчитаем, сколько человек живет на 12-м этаже:
$a_{12} = 6 + (12-1) \cdot 2 = 6 + 11 \cdot 2 = 6 + 22 = 28$ человек.

Рассмотрим, как нажимается кнопка 1-го этажа.

Кнопку 1-го этажа нажимает каждый жилец, который живет на этажах со 2-го по 12-й, когда ему нужно спуститься вниз и выйти из дома. Жильцы первого этажа лифтом для этих целей не пользуются.

Таким образом, количество нажатий кнопки 1-го этажа пропорционально суммарному числу жильцов со 2-го по 12-й этаж. Найдем эту сумму. Это сумма 11 членов арифметической прогрессии, где первый член — это число жильцов на 2-м этаже ($a_2$), а последний — на 12-м ($a_{12}$).

$a_2 = 6 + (2-1) \cdot 2 = 8$.
$a_{12} = 28$ (уже посчитали).

Сумма жильцов со 2-го по 12-й этаж ($S$):
$S = \frac{a_2 + a_{12}}{2} \cdot 11 = \frac{8 + 28}{2} \cdot 11 = \frac{36}{2} \cdot 11 = 18 \cdot 11 = 198$ человек.

Сравним результаты.

Количество нажатий на самую популярную кнопку среди верхних этажей (кнопку 12) пропорционально 28.
Количество нажатий на кнопку 1-го этажа пропорционально 198.

Поскольку $198 > 28$, кнопка 1-го этажа нажимается значительно чаще любой другой кнопки.

Ответ: Чаще других в лифте нажимают кнопку 1-го этажа.

199. Найдите сумму:

1) $14238 + 18345;$

2) $32662 + 4879;$

3) $295361 + 475829;$

4) $28177246 + 42989511;$

5) $2713486 + 733982;$

6) $75392867428 + 9671635803.$

1) Для нахождения суммы $14238 + 18345$ выполним сложение в столбик. Сначала сложим единицы: $8 + 5 = 13$ (3 пишем, 1 в уме). Затем десятки: $3 + 4 + 1 = 8$. Сотни: $2 + 3 = 5$. Тысячи: $4 + 8 = 12$ (2 пишем, 1 в уме). Десятки тысяч: $1 + 1 + 1 = 3$.
Таким образом, $14238 + 18345 = 32583$.
Ответ: 32583

2) Чтобы найти сумму $32662 + 4879$, сложим числа поразрядно. Единицы: $2 + 9 = 11$ (1 пишем, 1 в уме). Десятки: $6 + 7 + 1 = 14$ (4 пишем, 1 в уме). Сотни: $6 + 8 + 1 = 15$ (5 пишем, 1 в уме). Тысячи: $2 + 4 + 1 = 7$. Десятки тысяч остаются без изменений (3).
Таким образом, $32662 + 4879 = 37541$.
Ответ: 37541

3) Найдем сумму $295361 + 475829$. Складываем по разрядам. Единицы: $1 + 9 = 10$ (0 пишем, 1 в уме). Десятки: $6 + 2 + 1 = 9$. Сотни: $3 + 8 = 11$ (1 пишем, 1 в уме). Тысячи: $5 + 5 + 1 = 11$ (1 пишем, 1 в уме). Десятки тысяч: $9 + 7 + 1 = 17$ (7 пишем, 1 в уме). Сотни тысяч: $2 + 4 + 1 = 7$.
Таким образом, $295361 + 475829 = 771190$.
Ответ: 771190

4) Для нахождения суммы $28177246 + 42989511$ выполним сложение в столбик.
Единицы: $6 + 1 = 7$.
Десятки: $4 + 1 = 5$.
Сотни: $2 + 5 = 7$.
Тысячи: $7 + 9 = 16$ (6 пишем, 1 в уме).
Десятки тысяч: $7 + 8 + 1 = 16$ (6 пишем, 1 в уме).
Сотни тысяч: $1 + 9 + 1 = 11$ (1 пишем, 1 в уме).
Миллионы: $8 + 2 + 1 = 11$ (1 пишем, 1 в уме).
Десятки миллионов: $2 + 4 + 1 = 7$.
В результате получаем $28177246 + 42989511 = 71166757$.
Ответ: 71166757

5) Найдем сумму $2713486 + 733982$.
Единицы: $6 + 2 = 8$.
Десятки: $8 + 8 = 16$ (6 пишем, 1 в уме).
Сотни: $4 + 9 + 1 = 14$ (4 пишем, 1 в уме).
Тысячи: $3 + 3 + 1 = 7$.
Десятки тысяч: $1 + 3 = 4$.
Сотни тысяч: $7 + 7 = 14$ (4 пишем, 1 в уме).
Миллионы: $2 + 1 = 3$.
В результате получаем $2713486 + 733982 = 3447468$.
Ответ: 3447468

6) Найдем сумму $75392867428 + 9671635803$. Для удобства выровняем числа по правому краю и сложим по разрядам.
Единицы: $8 + 3 = 11$ (1 пишем, 1 в уме).
Десятки: $2 + 0 + 1 = 3$.
Сотни: $4 + 8 = 12$ (2 пишем, 1 в уме).
Тысячи: $7 + 5 + 1 = 13$ (3 пишем, 1 в уме).
Десятки тысяч: $6 + 3 + 1 = 10$ (0 пишем, 1 в уме).
Сотни тысяч: $8 + 6 + 1 = 15$ (5 пишем, 1 в уме).
Миллионы: $2 + 1 + 1 = 4$.
Десятки миллионов: $9 + 7 = 16$ (6 пишем, 1 в уме).
Сотни миллионов: $3 + 6 + 1 = 10$ (0 пишем, 1 в уме).
Миллиарды: $5 + 9 + 1 = 15$ (5 пишем, 1 в уме).
Десятки миллиардов: $7 + 1 = 8$.
В результате получаем $75392867428 + 9671635803 = 85064503231$.
Ответ: 85064503231

1) $47586 + 4705$;

2) $114931 + 209596$;

3) $228637 + 5428735$;

4) $59462181428 + 4740582804$.

1) $47\,586 + 4\,705$
Для решения выполним сложение в столбик. Складываем числа поразрядно, начиная с единиц.
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 4 & 7 & 5 & 8 & 6 \\+ & & 4 & 7 & 0 & 5 \\\hline & 5 & 2 & 2 & 9 & 1 \\\end{array}$

• Единицы: $6 + 5 = 11$. Записываем 1 в разряд единиц, 1 переносим в разряд десятков.
• Десятки: $8 + 0 + 1$ (перенос) $= 9$. Записываем 9 в разряд десятков.
• Сотни: $5 + 7 = 12$. Записываем 2 в разряд сотен, 1 переносим в разряд тысяч.
• Тысячи: $7 + 4 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 2 в разряд тысяч, 1 переносим в разряд десятков тысяч.
• Десятки тысяч: $4 + 1$ (перенос) $= 5$. Записываем 5 в разряд десятков тысяч.

Результат сложения: $52\,291$.
Ответ: 52 291.

2) $114\,931 + 209\,596$
Выполним сложение в столбик.
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & 1 \\+ & 2 & 0 & 9 & 5 & 9 & 6 \\\hline & 3 & 2 & 4 & 5 & 2 & 7 \\\end{array}$

• Единицы: $1 + 6 = 7$. Записываем 7.
• Десятки: $3 + 9 = 12$. Записываем 2, 1 переносим в разряд сотен.
• Сотни: $9 + 5 + 1$ (перенос) $= 15$. Записываем 5, 1 переносим в разряд тысяч.
• Тысячи: $4 + 9 + 1$ (перенос) $= 14$. Записываем 4, 1 переносим в разряд десятков тысяч.
• Десятки тысяч: $1 + 0 + 1$ (перенос) $= 2$. Записываем 2.
• Сотни тысяч: $1 + 2 = 3$. Записываем 3.

Результат сложения: $324\,527$.
Ответ: 324 527.

3) $228\,637 + 5\,428\,735$
Выполним сложение в столбик. Для удобства запишем большее число сверху.
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 5 & 4 & 2 & 8 & 7 & 3 & 5 \\+ & & 2 & 2 & 8 & 6 & 3 & 7 \\\hline & 5 & 6 & 5 & 7 & 3 & 7 & 2 \\\end{array}$

• Единицы: $5 + 7 = 12$. Записываем 2, 1 переносим в разряд десятков.
• Десятки: $3 + 3 + 1$ (перенос) $= 7$. Записываем 7.
• Сотни: $7 + 6 = 13$. Записываем 3, 1 переносим в разряд тысяч.
• Тысячи: $8 + 8 + 1$ (перенос) $= 17$. Записываем 7, 1 переносим в разряд десятков тысяч.
• Десятки тысяч: $2 + 2 + 1$ (перенос) $= 5$. Записываем 5.
• Сотни тысяч: $4 + 2 = 6$. Записываем 6.
• Миллионы: $5$. Записываем 5.

Результат сложения: $5\,657\,372$.
Ответ: 5 657 372.

4) $59\,462\,181\,428 + 4\,740\,582\,804$
Выполним сложение в столбик.
$\begin{array}{@{}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & 5 & 9 & 4 & 6 & 2 & 1 & 8 & 1 & 4 & 2 & 8 \\+ & & 4 & 7 & 4 & 0 & 5 & 8 & 2 & 8 & 0 & 4 \\\hline & 6 & 4 & 2 & 0 & 2 & 7 & 6 & 4 & 2 & 3 & 2 \\\end{array}$

• Единицы: $8 + 4 = 12$. Записываем 2, 1 переносим в разряд десятков.
• Десятки: $2 + 0 + 1$ (перенос) $= 3$. Записываем 3.
• Сотни: $4 + 8 = 12$. Записываем 2, 1 переносим в разряд тысяч.
• Тысячи: $1 + 2 + 1$ (перенос) $= 4$. Записываем 4.
• Десятки тысяч: $8 + 8 = 16$. Записываем 6, 1 переносим в разряд сотен тысяч.
• Сотни тысяч: $1 + 5 + 1$ (перенос) $= 7$. Записываем 7.
• Миллионы: $2 + 0 = 2$. Записываем 2.
• Десятки миллионов: $6 + 4 = 10$. Записываем 0, 1 переносим в разряд сотен миллионов.
• Сотни миллионов: $4 + 7 + 1$ (перенос) $= 12$. Записываем 2, 1 переносим в разряд миллиардов.
• Миллиарды: $9 + 4 + 1$ (перенос) $= 14$. Записываем 4, 1 переносим в разряд десятков миллиардов.
• Десятки миллиардов: $5 + 1$ (перенос) $= 6$. Записываем 6.

Результат сложения: $64\,202\,764\,232$.
Ответ: 64 202 764 232.

201. Увеличьте:

1) число 7892 на 34 608;

2) сумму чисел 46 117 и 5726 на 100 215.

1) Чтобы увеличить число 7892 на 34 608, необходимо выполнить сложение этих двух чисел.

Выполним вычисление:

$7892 + 34608 = 42500$

Ответ: 42 500.

2) Чтобы увеличить сумму чисел 46 117 и 5726 на 100 215, необходимо сначала найти их сумму, а затем к полученному результату прибавить 100 215.

1. Находим сумму чисел 46 117 и 5726:

$46117 + 5726 = 51843$

2. Увеличиваем полученную сумму на 100 215:

$51843 + 100215 = 152058$

Также можно записать решение одним выражением:

$(46117 + 5726) + 100215 = 51843 + 100215 = 152058$

Ответ: 152 058.

202. Найдите число, которое:

1) на 4382 больше числа 68 648;

2) на 12 814 больше суммы чисел 1 256 064 и 9787.

1) Чтобы найти число, которое на 4382 больше числа 68 648, нужно к числу 68 648 прибавить 4382. Это действие сложения.
Вычислим сумму:
$68\,648 + 4\,382 = 73\,030$
Таким образом, искомое число — 73 030.
Ответ: 73 030.

2) Чтобы найти число, которое на 12 814 больше суммы чисел 1 256 064 и 9787, нужно выполнить два действия. Сначала найти сумму чисел, а затем увеличить ее на 12 814.
1. Найдем сумму чисел 1 256 064 и 9787:
$1\,256\,064 + 9\,787 = 1\,265\,851$
2. Теперь увеличим полученную сумму на 12 814:
$1\,265\,851 + 12\,814 = 1\,278\,665$
Следовательно, искомое число — 1 278 665.
Ответ: 1 278 665.

203. Аня и Коля решили задачи. Коля решил 26 задач, а Аня — на 16 задач больше. Сколько задач решили Коля и Аня вместе?

Для решения задачи нужно выполнить два действия. Сначала необходимо найти, сколько задач решила Аня, а затем — сколько задач они решили вместе.

1. Сколько задач решила Аня?
В условии сказано, что Коля решил 26 задач, а Аня — на 16 задач больше. Чтобы найти, сколько задач решила Аня, нужно к количеству задач Коли прибавить 16.
$26 + 16 = 42$ (задачи)
Следовательно, Аня решила 42 задачи.

2. Сколько задач решили Коля и Аня вместе?
Чтобы найти общее количество задач, нужно сложить количество задач, которые решил Коля, и количество задач, которые решила Аня.
$26 + 42 = 68$ (задач)

Ответ: 68 задач.

204. Маша купила книгу за 340 р., что на 24 р. меньше, чем заплатил Петя за свою новую книгу. Сколько рублей заплатили за книги Маша и Петя вместе?

Для того чтобы решить задачу, сначала необходимо найти стоимость книги, которую купил Петя. По условию, Маша заплатила за свою книгу 340 рублей, что на 24 рубля меньше, чем заплатил Петя. Это значит, что книга Пети стоила дороже на 24 рубля.

1. Найдем стоимость книги Пети, прибавив 24 рубля к стоимости книги Маши:
$340 + 24 = 364$ рубля.

2. Теперь найдем, сколько всего денег заплатили Маша и Петя вместе. Для этого сложим стоимость их книг:
$340 + 364 = 704$ рубля.

Ответ: 704 рубля.