Страница 50 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

176. Запишите в виде двойного неравенства утверждение:

1) число 7 больше 5 и меньше 10;

$5 < 7 < 10$

2) число 62 меньше 70 и больше 60;

$60 < 62 < 70$

3) число 54 меньше 94 и больше 44;

$44 < 54 < 94$

4) число 128 больше 127 и меньше 129.

$127 < 128 < 129$

1) Утверждение "число 7 больше 5 и меньше 10" можно разбить на два простых неравенства:
1. Число 7 больше 5, что записывается как $7 > 5$ или, что то же самое, $5 < 7$.
2. Число 7 меньше 10, что записывается как $7 < 10$.
Объединив эти два неравенства в одно двойное неравенство, мы помещаем число 7 между 5 и 10. Меньшее число (5) ставится слева, а большее (10) — справа. Знаки неравенства должны быть направлены в одну сторону, обычно влево.
Получаем: $5 < 7 < 10$.
Ответ: $5 < 7 < 10$.

2) Утверждение "число 62 меньше 70 и больше 60" состоит из двух частей:
1. Число 62 меньше 70, что записывается как $62 < 70$.
2. Число 62 больше 60, что записывается как $62 > 60$ или $60 < 62$.
Для записи двойного неравенства расположим числа в порядке возрастания: 60, 62, 70. Затем расставим знаки "меньше".
Получаем: $60 < 62 < 70$.
Ответ: $60 < 62 < 70$.

3) Утверждение "число 54 меньше 94 и больше 44" можно представить в виде двух неравенств:
1. Число 54 меньше 94, то есть $54 < 94$.
2. Число 54 больше 44, то есть $54 > 44$ или $44 < 54$.
Совмещаем эти два условия в одно двойное неравенство, располагая числа по возрастанию: 44, 54, 94.
Получаем: $44 < 54 < 94$.
Ответ: $44 < 54 < 94$.

4) Утверждение "число 128 больше 127 и меньше 129" состоит из двух неравенств:
1. Число 128 больше 127, что записывается как $128 > 127$ или $127 < 128$.
2. Число 128 меньше 129, что записывается как $128 < 129$.
Объединяем эти неравенства, размещая число 128 между его "соседями" — 127 и 129 — в порядке возрастания.
Получаем: $127 < 128 < 129$.
Ответ: $127 < 128 < 129$.

177. Сравните числа:

1) $326$ и $362$;

2) $483$ и $480$;

3) $1999$ и $2002$;

4) $6235$ и $6196$;

5) $21396$ и $21298$;

6) $72168$ и $72170$;

7) $5716007$ и $5715465$;

8) $3654987$ и $3654991$;

9) $4398657436$ и $4398659322$;

10) $16000023009$ и $16000032000$.

1) Чтобы сравнить два натуральных числа, у которых одинаковое количество цифр, нужно последовательно сравнивать их разряды, начиная со старшего (слева направо). В числах 326 и 362 количество цифр одинаково. Сравниваем цифры в разряде сотен: они одинаковы (3 и 3). Сравниваем цифры в разряде десятков: $2 < 6$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $326 < 362$

2) В числах 483 и 480 одинаковое количество цифр. Цифры в разрядах сотен и десятков совпадают (4 и 8). Сравниваем цифры в разряде единиц: $3 > 0$. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $483 > 480$

3) В числах 1999 и 2002 одинаковое количество цифр. Сравниваем цифры в старшем разряде (тысяч): $1 < 2$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $1999 < 2002$

4) В числах 6235 и 6196 одинаковое количество цифр. Цифра в разряде тысяч совпадает (6). Сравниваем цифры в разряде сотен: $2 > 1$. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $6235 > 6196$

5) В числах 21 396 и 21 298 одинаковое количество цифр. Цифры в разрядах десятков тысяч и тысяч совпадают (2 и 1). Сравниваем цифры в разряде сотен: $3 > 2$. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $21 396 > 21 298$

6) В числах 72 168 и 72 170 одинаковое количество цифр. Цифры в разрядах десятков тысяч, тысяч и сотен совпадают (7, 2 и 1). Сравниваем цифры в разряде десятков: $6 < 7$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $72 168 < 72 170$

7) В числах 5 716 007 и 5 715 465 одинаковое количество цифр. Цифры в разрядах миллионов, сотен тысяч и десятков тысяч совпадают (5, 7 и 1). Сравниваем цифры в разряде тысяч: $6 > 5$. Следовательно, первое число больше второго.
Ответ: $5 716 007 > 5 715 465$

8) В числах 3 654 987 и 3 654 991 одинаковое количество цифр. Первые пять цифр слева направо совпадают (3, 6, 5, 4 и 9). Сравниваем цифры в разряде десятков: $8 < 9$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $3 654 987 < 3 654 991$

9) В числах 4 398 657 436 и 4 398 659 322 одинаковое количество цифр. Первые шесть цифр слева направо совпадают (4, 3, 9, 8, 6 и 5). Сравниваем седьмую цифру (разряд тысяч): $7 < 9$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $4 398 657 436 < 4 398 659 322$

10) В числах 16 000 023 009 и 16 000 032 000 одинаковое количество цифр. Первые шесть цифр слева направо совпадают (1, 6, 0, 0, 0 и 0). Сравниваем седьмую цифру (разряд сотен тысяч): $2 < 3$. Следовательно, первое число меньше второго.
Ответ: $16 000 023 009 < 16 000 032 000$

178. Сравните числа:

1) 642 и 624;

2) 786 и 779;

3) 4897 и 5010;

4) 4455 и 5444;

5) 1 400 140 и 1 401 400;

6) 224 978 и 224 988;

7) 6 130 852 и 6 130 941;

8) 5 287 746 525 и 5 287 736 638.

1) Для сравнения чисел 642 и 624, имеющих одинаковое количество разрядов, сравниваем их цифры поразрядно, начиная со старшего разряда. Цифры в разряде сотен одинаковы (6 и 6). Переходим к разряду десятков. Здесь $4 > 2$. Следовательно, первое число больше второго. Ответ: $642 > 624$.

2) Сравним числа 786 и 779. Оба числа трехзначные. Цифры в разряде сотен совпадают (7 и 7). Сравниваем цифры в разряде десятков: $8 > 7$. Значит, первое число больше второго. Ответ: $786 > 779$.

3) Сравним числа 4897 и 5010. Оба числа являются четырехзначными. Начинаем сравнение со старшего разряда — разряда тысяч. Так как $4 < 5$, то первое число меньше второго. Ответ: $4897 < 5010$.

4) Сравним числа 4455 и 5444. Оба числа четырехзначные. Сравниваем цифры в старшем разряде (тысячи): $4 < 5$. Следовательно, первое число меньше второго. Ответ: $4455 < 5444$.

5) Сравним числа 1 400 140 и 1 401 400. Оба числа семизначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Цифры в разрядах миллионов (1), сотен тысяч (4) и десятков тысяч (0) совпадают. В разряде тысяч цифры отличаются: $0 < 1$. Это означает, что первое число меньше второго. Ответ: $1 400 140 < 1 401 400$.

6) Сравним числа 224 978 и 224 988. Оба числа шестизначные. Сравниваем поразрядно слева направо. Первые четыре цифры, соответствующие разрядам сотен тысяч, десятков тысяч, тысяч и сотен, совпадают (2, 2, 4, 9). В разряде десятков цифры разные: $7 < 8$. Следовательно, первое число меньше второго. Ответ: $224 978 < 224 988$.

7) Сравним числа 6 130 852 и 6 130 941. Оба числа семизначные. Сравниваем поразрядно слева направо. Первые четыре цифры, соответствующие разрядам миллионов, сотен тысяч, десятков тысяч и тысяч, совпадают (6, 1, 3, 0). В разряде сотен цифры отличаются: $8 < 9$. Это значит, что первое число меньше второго. Ответ: $6 130 852 < 6 130 941$.

8) Сравним числа 5 287 746 525 и 5 287 736 638. Оба числа десятизначные. Начинаем поразрядное сравнение слева направо. Первые пять цифр (в разрядах миллиардов, сотен миллионов, десятков миллионов, миллионов и сотен тысяч) совпадают (5, 2, 8, 7, 7). В разряде десятков тысяч цифры отличаются: $4 > 3$. Следовательно, первое число больше второго. Ответ: $5 287 746 525 > 5 287 736 638$.

179. Расположите в порядке возрастания числа: $894$, $479$, $846$, $591$, $701$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их и выстроить от наименьшего к наибольшему. Нам даны числа: 894, 479, 846, 591, 701.

1. Сначала сравним числа по первой цифре (разряду сотен). У нас есть цифры 8, 4, 8, 5, 7. Самая маленькая из них — 4. Значит, наименьшее число в наборе — 479.

2. Следующая по величине цифра в разряде сотен — 5. Это число 591.

3. Далее идет цифра 7, которая соответствует числу 701.

4. У нас остались два числа, у которых первая цифра 8: 894 и 846. Чтобы определить, какое из них меньше, нужно сравнить их вторые цифры (разряд десятков). У числа 846 вторая цифра — 4, а у числа 894 — 9. Так как $4 < 9$, то число 846 меньше числа 894.

5. Таким образом, собрав все числа по порядку, мы получаем последовательность: 479, 591, 701, 846, 894.

Ответ: 479, 591, 701, 846, 894.

180. В таблице приведены расстояния от Норильска до некоторых городов России. Запишите названия этих городов в порядке уменьшения расстояний от них до Норильска.

Для решения задачи необходимо упорядочить города по убыванию расстояния от них до Норильска. Сначала выпишем все города и соответствующие им расстояния из таблицы:

• Абакан: 1750 км
• Белгород: 3400 км
• Воркута: 1000 км
• Магадан: 3000 км
• Новосибирск: 1600 км
• Ульяновск: 2600 км

Теперь сравним числовые значения расстояний и расположим их в порядке уменьшения (от наибольшего к наименьшему):
$3400 > 3000 > 2600 > 1750 > 1600 > 1000$

Сопоставим каждому расстоянию соответствующий город и запишем их в полученном порядке:

1. Белгород (3400 км)
2. Магадан (3000 км)
3. Ульяновск (2600 км)
4. Абакан (1750 км)
5. Новосибирск (1600 км)
6. Воркута (1000 км)

Ответ: Белгород, Магадан, Ульяновск, Абакан, Новосибирск, Воркута.

181. Назовите все натуральные числа, которые:

1) больше 678, но меньше 684;

2) больше 2 934 450, но меньше 2 934 454;

3) больше 12 706, но меньше 12 708;

4) больше 24 315, но меньше 24 316.

1) Нам нужно найти все натуральные числа, которые находятся в промежутке между 678 и 684. Это можно записать в виде двойного неравенства: $678 < x < 684$, где $x$ — искомое натуральное число. Перечислим все натуральные числа, следующие за 678: 679, 680, 681, 682, 683. Следующее число, 684, уже не удовлетворяет условию, так как оно не меньше 684. Таким образом, искомые числа — это 679, 680, 681, 682, 683.
Ответ: 679, 680, 681, 682, 683.

2) Необходимо найти все натуральные числа $x$, удовлетворяющие неравенству $2 934 450 < x < 2 934 454$. Это числа, которые идут сразу после 2 934 450 и перед 2 934 454. Последовательно увеличивая 2 934 450 на единицу, получаем: 2 934 451, 2 934 452, 2 934 453. Эти числа больше 2 934 450 и меньше 2 934 454.
Ответ: 2 934 451, 2 934 452, 2 934 453.

3) Ищем натуральные числа $x$, для которых выполняется условие $12 706 < x < 12 708$. Между двумя натуральными числами, отличающимися на 2, находится только одно натуральное число. В данном случае, между 12 706 и 12 708 находится только одно натуральное число: 12 707.
Ответ: 12 707.

4) Нужно найти все натуральные числа $x$ такие, что $24 315 < x < 24 316$. Числа 24 315 и 24 316 являются двумя последовательными натуральными числами. Между двумя последовательными натуральными числами нет других натуральных чисел. Следовательно, таких чисел не существует.
Ответ: таких натуральных чисел нет.

182. Запишите все натуральные числа, которые:

1) $549 < x < 556$;

2) $1\,823\,236 < x < 1\,823\,240$;

3) $47\,246 < x < 47\,248$.

1) больше 549, но меньше 556;

Чтобы найти все натуральные числа, которые больше 549, но меньше 556, нужно перечислить все целые числа, которые находятся между этими двумя числами. Математически это условие можно записать в виде двойного неравенства: $549 < x < 556$, где $x$ — искомое натуральное число.

Первое натуральное число, которое больше 549, это $549 + 1 = 550$.
Далее идут по порядку: 551, 552, 553, 554, 555.
Следующее число, 556, уже не удовлетворяет условию, так как оно не меньше 556.

Таким образом, все натуральные числа, удовлетворяющие условию, — это 550, 551, 552, 553, 554, 555.

Ответ: 550, 551, 552, 553, 554, 555.

2) больше 1 823 236, но меньше 1 823 240;

Аналогично, ищем все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют неравенству $1 823 236 < x < 1 823 240$.

Начнем с числа, следующего за 1 823 236, то есть с $1 823 236 + 1 = 1 823 237$.
Продолжим перечисление: 1 823 238, 1 823 239.
Число 1 823 240 уже не подходит, так как оно не меньше 1 823 240.

Искомые числа: 1 823 237, 1 823 238, 1 823 239.

Ответ: 1 823 237, 1 823 238, 1 823 239.

3) больше 47 246, но меньше 47 248.

В этом случае нужно найти натуральные числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $47 246 < x < 47 248$.

Между двумя соседними чётными числами 47 246 и 47 248 находится только одно натуральное число. Это число можно найти, прибавив единицу к меньшему числу: $47 246 + 1 = 47 247$.

Проверим: $47 246 < 47 247$ и $47 247 < 47 248$. Условие выполняется.

Ответ: 47 247.

183. Отметьте на координатном луче все натуральные числа, которые:

1) меньше 12;

2) больше 4, но меньше 10.

1) меньше 12;

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта: 1, 2, 3, и так далее. Условию «меньше 12» соответствуют все натуральные числа, которые больше 0 и строго меньше 12. Запишем это в виде неравенства: $0 < x < 12$, где $x$ — натуральное число.
Перечислим эти числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
На координатном луче необходимо отметить точки, соответствующие данным числам.


Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

2) больше 4, но меньше 10.

Условие «больше 4, но меньше 10» означает, что искомые натуральные числа $x$ должны удовлетворять двойному неравенству: $4 < x < 10$.
Это значит, что мы ищем числа, которые находятся строго между 4 и 10. Сами числа 4 и 10 в этот промежуток не входят.
Перечислим натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: 5, 6, 7, 8, 9.
На координатном луче необходимо отметить точки, соответствующие данным числам.


Ответ: 5, 6, 7, 8, 9.