Страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

165. Какое число на координатном луче соответствует точке, в которую указывает стрелка (рис. 84)?

Рис. 84

а

Начальная точка: 46. Перемещение: 9. Соответствующее число: $46 + 9$

б

Конечная точка: 293. Перемещение: 25. Соответствующее число: $293 - 25$

а)

На рисунке 'а' изображен координатный луч. Движение начинается в точке с координатой 46. Зеленая дуга со значением 9 показывает смещение вправо, что соответствует операции сложения. Чтобы найти координату точки, на которую указывает стрелка, нужно к начальной координате прибавить величину смещения.

Выполним сложение:

$46 + 9 = 55$

Таким образом, стрелка указывает на точку с координатой 55.

Ответ: 55

б)

На рисунке 'б' изображен координатный луч. Движение начинается в точке с координатой 293. Зеленая дуга со значением 25 показывает смещение влево, что соответствует операции вычитания. Чтобы найти координату точки, на которую указывает стрелка, нужно из начальной координаты вычесть величину смещения.

Выполним вычитание:

$293 - 25 = 268$

Таким образом, стрелка указывает на точку с координатой 268.

Ответ: 268

166. Какое число на координатном луче соответствует точке, в которой начинается стрелка (рис. 85)?

Рис. 85

а) $82$

$8$

б) $408$

$16$

а

На координатном луче стрелка заканчивается в точке с координатой 82. Эта стрелка показывает прибавление числа 8 к начальной точке. Чтобы найти число, соответствующее точке, в которой начинается стрелка, необходимо из конечной координаты вычесть значение, на которое сместились по лучу. Это можно представить в виде уравнения, где $x$ — искомое число:

$x + 8 = 82$

Чтобы найти $x$, вычтем 8 из 82:

$x = 82 - 8$

$x = 74$

Таким образом, стрелка начинается в точке, соответствующей числу 74.

Ответ: 74

б

На координатном луче стрелка заканчивается в точке с координатой 408. Эта стрелка показывает прибавление числа 16 к начальной точке. Чтобы найти число, соответствующее точке, в которой начинается стрелка, необходимо из конечной координаты вычесть значение, на которое сместились по лучу. Составим уравнение, где $y$ — искомое число:

$y + 16 = 408$

Чтобы найти $y$, вычтем 16 из 408:

$y = 408 - 16$

$y = 392$

Таким образом, стрелка начинается в точке, соответствующей числу 392.

Ответ: 392

167. Кузнечик за один прыжок перемещается вдоль координатного луча вправо на пять единичных отрезков или влево на три единичных отрезка. Первый прыжок кузнечик совершает вправо на пять единичных отрезков. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $O(0)$ попасть:

1) в точку $A(7)$;

2) в точку $B(8)$?

Пусть кузнечик, помимо обязательного первого прыжка, совершил еще $x$ прыжков вправо (на 5 единиц) и $y$ прыжков влево (на 3 единицы), где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.

Начальная позиция кузнечика — точка $O(0)$. Первый прыжок всегда вправо на 5 единиц, поэтому после первого прыжка он окажется в точке с координатой 5.

Дальнейшее положение кузнечика можно описать формулой, где $P$ — итоговая координата:$P = 5 + 5x - 3y$

1) в точку А (7);
Чтобы кузнечик попал в точку A(7), его итоговая координата $P$ должна быть равна 7. Подставим это значение в нашу формулу:$7 = 5 + 5x - 3y$$7 - 5 = 5x - 3y$$2 = 5x - 3y$

Нам нужно найти, существуют ли для этого уравнения целые неотрицательные решения $x$ и $y$. Методом подбора легко найти такое решение. Например, если $x=1$:$2 = 5 \cdot 1 - 3y$$2 = 5 - 3y$$3y = 5 - 2$$3y = 3$$y = 1$

Мы нашли решение: $x=1$ и $y=1$. Оба числа являются целыми и неотрицательными. Это означает, что после обязательного первого прыжка вправо, кузнечику нужно совершить еще один прыжок вправо (+5) и один прыжок влево (-3).Последовательность прыжков: $0 \xrightarrow{+5} 5 \xrightarrow{+5} 10 \xrightarrow{-3} 7$.Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку А(7).
Ответ: сможет.

2) в точку B (8)?
Аналогично, чтобы попасть в точку B(8), итоговая координата $P$ должна быть равна 8.$8 = 5 + 5x - 3y$$8 - 5 = 5x - 3y$$3 = 5x - 3y$

Преобразуем уравнение:$5x = 3 + 3y$$5x = 3(1+y)$

Левая часть уравнения, $5x$, делится на 5. Следовательно, и правая часть, $3(1+y)$, также должна делиться на 5. Так как число 3 не делится на 5, то на 5 должен делиться множитель $(1+y)$.

Найдем наименьшее целое неотрицательное $y$, для которого это условие выполняется.Если $y=0$, $1+y=1$ (не делится на 5).Если $y=1$, $1+y=2$ (не делится на 5)....Если $y=4$, $1+y=5$ (делится на 5).

Подставим $y=4$ в уравнение, чтобы найти $x$:$5x = 3(1+4)$$5x = 3 \cdot 5$$5x = 15$$x = 3$

Мы нашли решение: $x=3$ и $y=4$. Это означает, что после обязательного первого прыжка, кузнечику нужно совершить еще 3 прыжка вправо и 4 прыжка влево.Например, такая последовательность: $0 \xrightarrow{+5} 5 \xrightarrow{+5} 10 \xrightarrow{+5} 15 \xrightarrow{+5} 20 \xrightarrow{-3} 17 \xrightarrow{-3} 14 \xrightarrow{-3} 11 \xrightarrow{-3} 8$.Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку B(8).
Ответ: сможет.

168. Выполните действия:

1) $265 + 35 \cdot 16$;

2) $(265 + 35) \cdot 16$;

3) $336 - 192 : 12$;

4) $(336 - 192) : 12$.

1) $265 + 35 \cdot 16$

В этом выражении, согласно правилам порядка выполнения арифметических операций, сначала выполняется умножение, а затем сложение.

1. Выполним умножение: $35 \cdot 16 = 560$.

2. Выполним сложение: $265 + 560 = 825$.

$265 + 35 \cdot 16 = 265 + 560 = 825$.

Ответ: 825

2) $(265 + 35) \cdot 16$

В этом выражении сначала выполняется действие в скобках (сложение), а затем результат умножается на 16.

1. Выполним сложение в скобках: $265 + 35 = 300$.

2. Выполним умножение: $300 \cdot 16 = 4800$.

$(265 + 35) \cdot 16 = 300 \cdot 16 = 4800$.

Ответ: 4800

3) $336 - 192 : 12$

Здесь, согласно порядку операций, сначала выполняется деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление: $192 : 12 = 16$.

2. Выполним вычитание: $336 - 16 = 320$.

$336 - 192 : 12 = 336 - 16 = 320$.

Ответ: 320

4) $(336 - 192) : 12$

В данном случае сначала выполняется действие в скобках (вычитание), а затем результат делится на 12.

1. Выполним вычитание в скобках: $336 - 192 = 144$.

2. Выполним деление: $144 : 12 = 12$.

$(336 - 192) : 12 = 144 : 12 = 12$.

Ответ: 12

169. Выразите в килограммах:

1) $3 \text{ т } 40 \text{ кг}$

2) $2 \text{ ц } 5 \text{ кг}$

3) $5 \text{ т } 6 \text{ ц } 32 \text{ кг}$

Для решения этой задачи необходимо выразить все единицы измерения массы в килограммах, используя следующие соотношения:

• 1 тонна (т) = 1000 килограмм (кг)
• 1 центнер (ц) = 100 килограмм (кг)

Затем нужно сложить полученные значения.

1) 3 т 40 кг

Сначала переведем тонны в килограммы. Для этого умножим количество тонн на 1000.

$3 \text{ т} = 3 \times 1000 \text{ кг} = 3000 \text{ кг}$

Теперь прибавим к полученному значению оставшиеся 40 кг.

$3000 \text{ кг} + 40 \text{ кг} = 3040 \text{ кг}$

Ответ: 3040 кг.

2) 2 ц 5 кг

Переведем центнеры в килограммы, умножив количество центнеров на 100.

$2 \text{ ц} = 2 \times 100 \text{ кг} = 200 \text{ кг}$

Далее прибавим оставшиеся 5 кг.

$200 \text{ кг} + 5 \text{ кг} = 205 \text{ кг}$

Ответ: 205 кг.

3) 5 т 6 ц 32 кг

В этом случае необходимо перевести в килограммы и тонны, и центнеры, а затем сложить все три значения.

Переводим тонны в килограммы:

$5 \text{ т} = 5 \times 1000 \text{ кг} = 5000 \text{ кг}$

Переводим центнеры в килограммы:

$6 \text{ ц} = 6 \times 100 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$

Складываем все полученные значения в килограммах:

$5000 \text{ кг} + 600 \text{ кг} + 32 \text{ кг} = 5632 \text{ кг}$

Ответ: 5632 кг.

170. Выразите в сантиметрах: 1) 6 м 38 см; 2) 4 дм 2 см; 3) 1 м 1 см.

1) 6 м 38 см
Для того чтобы выразить 6 м 38 см в сантиметрах, необходимо сначала перевести метры в сантиметры, а затем прибавить оставшиеся сантиметры. Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Следовательно, 6 метров будут равны: $6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$. Теперь добавим к полученному значению 38 сантиметров: $600 \text{ см} + 38 \text{ см} = 638 \text{ см}$.
Ответ: 638 см.

2) 4 дм 2 см
Для того чтобы выразить 4 дм 2 см в сантиметрах, переведем дециметры в сантиметры и сложим с оставшимися сантиметрами. Мы знаем, что в одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Следовательно, 4 дециметра будут равны: $4 \text{ дм} = 4 \times 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$. Теперь добавим к полученному значению 2 сантиметра: $40 \text{ см} + 2 \text{ см} = 42 \text{ см}$.
Ответ: 42 см.

3) 1 м 1 см
Для того чтобы выразить 1 м 1 см в сантиметрах, нужно перевести метры в сантиметры и прибавить оставшийся сантиметр. Как мы знаем, $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Теперь прибавим 1 сантиметр: $100 \text{ см} + 1 \text{ см} = 101 \text{ см}$.
Ответ: 101 см.

171. Высота Исаакиевского собора (Санкт-Петербург) равна 102 м, что на 21 м больше высоты колокольни Ивана Великого на территории Московского Кремля. Высота колокольни Ивана Великого на 22 м меньше высоты храма Христа Спасителя в Москве. Какова высота храма Христа Спасителя?

Исаакиевский собор

Колокольня Ивана Великого

Храм Христа Спасителя

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия.

1. Найдем высоту колокольни Ивана Великого.

Из условия известно, что высота Исаакиевского собора равна 102 м, и это на 21 м больше высоты колокольни Ивана Великого. Следовательно, чтобы найти высоту колокольни, нужно из высоты Исаакиевского собора вычесть 21 м.

$102 - 21 = 81$ (м)

Высота колокольни Ивана Великого составляет 81 метр.

2. Найдем высоту храма Христа Спасителя.

В условии также говорится, что высота колокольни Ивана Великого на 22 м меньше высоты храма Христа Спасителя. Это означает, что храм Христа Спасителя выше колокольни на 22 м. Чтобы найти искомую высоту, нужно к высоте колокольни прибавить 22 м.

$81 + 22 = 103$ (м)

Ответ: высота храма Христа Спасителя равна 103 м.