Страница 49 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как, используя натуральный ряд, можно определить, какое из двух натуральных чисел меньше? больше?

Для сравнения двух натуральных чисел используется их положение в натуральном ряду. Натуральный ряд — это упорядоченная последовательность чисел $1, 2, 3, 4, \dots$, в которой каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Правило сравнения основано на том, какое число появляется в этом ряду раньше, а какое — позже.

Меньше

Из двух натуральных чисел меньшим считается то, которое в натуральном ряду стоит раньше (то есть называется при счете раньше). Например, в паре чисел $5$ и $11$, число $5$ появляется при счете раньше, чем $11$. Поэтому $5$ меньше $11$, что записывается как $5 < 11$.

Ответ: Меньшим из двух натуральных чисел является то, которое в натуральном ряду стоит раньше.

Больше

Из двух натуральных чисел большим считается то, которое в натуральном ряду стоит позже (то есть называется при счете позже). В том же примере с числами $5$ и $11$, число $11$ появляется при счете позже, чем $5$. Поэтому $11$ больше $5$, что записывается как $11 > 5$.

Ответ: Большим из двух натуральных чисел является то, которое в натуральном ряду стоит позже.

2. Как сравнивают натуральные числа, имеющие разное количество цифр?

Чтобы сравнить два натуральных числа, которые имеют разное количество цифр, нужно следовать простому правилу: больше то число, в котором больше цифр (разрядов), и, соответственно, меньше то число, в котором цифр меньше. Это правило работает всегда, независимо от того, из каких цифр состоят числа.

Алгоритм сравнения выглядит так:

1. Посчитать количество цифр в первом числе.
2. Посчитать количество цифр во втором числе.
3. Сравнить полученные количества. Число, в котором цифр больше, является большим.

Например, любое трёхзначное число (самое маленькое из которых 100) всегда будет больше любого двузначного числа (самое большое из которых 99).

Пример 1: Сравним числа 1050 и 987.

В числе 1050 — четыре цифры.
В числе 987 — три цифры.
Так как количество цифр в первом числе больше, чем во втором ($4 > 3$), то и само число больше: $1050 > 987$.

Пример 2: Сравним числа 88 и 215.

В числе 88 — две цифры.
В числе 215 — три цифры.
Так как количество цифр в первом числе меньше, чем во втором ($2 < 3$), то и само число меньше: $88 < 215$.

Ответ: Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр всегда больше то, в записи которого больше цифр, и меньше то, в записи которого цифр меньше.

3. Какое из натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше?

Чтобы определить, какое из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше, необходимо проводить их поразрядное сравнение. Сравнение всегда начинается со старшего разряда, то есть с самой левой цифры, и продолжается вправо до тех пор, пока не будет найдено различие.

Алгоритм сравнения следующий:

• Сравниваются первые цифры (самые левые) обоих чисел. Большим будет то число, у которого первая цифра больше.
• Если первые цифры равны, то сравниваются вторые цифры. Опять же, больше то число, у которого вторая цифра больше.
• Этот процесс продолжается слева направо. Как только встречается разряд, в котором цифры у чисел отличаются, сравнение можно прекратить.

Таким образом, большим является то число, у которого цифра в первом несовпадающем разряде (при просмотре слева направо) больше.

Пример 1: Сравним числа 95 210 и 95 180.

Оба числа состоят из 5 цифр. Начнем сравнение слева направо:

• Разряд десятков тысяч: $9 = 9$. Цифры одинаковы, продолжаем.
• Разряд тысяч: $5 = 5$. Цифры одинаковы, продолжаем.
• Разряд сотен: $2 > 1$. Нашли первое различие. Так как 2 больше 1, то и первое число больше второго.

Следовательно, $95 210 > 95 180$.

Пример 2: Сравним числа 100 000 и 899 999.

Оба числа состоят из 6 цифр. Сравниваем первые цифры:

• Разряд сотен тысяч: $1 < 8$.

Сравнение на этом заканчивается. Так как 1 меньше 8, то и первое число меньше второго, несмотря на то, что все остальные цифры у него меньше. $899 999 > 100 000$.

Ответ: Из двух натуральных чисел с одинаковым количеством цифр больше то, у которого больше первая (считая слева направо) из неодинаковых цифр.

4. Как на координатном луче расположена точка с меньшей координатой относительно точки с большей координатой?

На координатном луче числа располагаются в порядке возрастания, обычно слева направо. Начало луча (точка 0) является самой левой точкой. Чем больше число, тем правее на луче находится соответствующая ему точка.

Рассмотрим две произвольные точки A и B с координатами $a$ и $b$ соответственно. Пусть координата точки A меньше координаты точки B, что можно записать как $a < b$.

Согласно правилу построения координатного луча, из двух чисел меньшее всегда располагается левее, а большее — правее. Следовательно, если $a < b$, то точка A($a$) будет расположена на луче левее точки B($b$).

Например, сравним положение точек C(3) и D(8). Поскольку координата 3 меньше координаты 8 ($3 < 8$), точка C(3) находится на координатном луче левее точки D(8).

Этот принцип справедлив для любых двух различных чисел на координатном луче.

Ответ: На координатном луче точка с меньшей координатой расположена левее точки с большей координатой.

1. Какое из чисел расположено на координатном луче левее: 516 или 615?

На координатном луче числа располагаются в порядке возрастания слева направо. Это означает, что из двух разных чисел левее находится то, которое меньше, а правее — то, которое больше.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить числа 516 и 615.

Для сравнения двух натуральных чисел с одинаковым количеством разрядов (в данном случае оба числа трехзначные) нужно поочередно сравнивать цифры в одинаковых разрядах, двигаясь слева направо (от старших разрядов к младшим).

1. Сначала сравним цифры в разряде сотен. У числа 516 это цифра 5, а у числа 615 — цифра 6.
2. Поскольку $5 < 6$, то и число 516 меньше числа 615.

Запишем это в виде неравенства: $516 < 615$.

Так как число 516 меньше числа 615, то на координатном луче оно будет расположено левее.

Ответ: 516.

2. Какое из чисел расположено на координатном луче правее: 405 или 504?

На координатном луче числа располагаются в порядке их увеличения: чем больше число, тем правее оно находится. Чтобы определить, какое из чисел, 405 или 504, расположено правее, нужно их сравнить.

Сравним числа 405 и 504. Оба числа являются трехзначными. Сравнение начинаем со старшего разряда — разряда сотен.

В числе 405 в разряде сотен стоит цифра 4.

В числе 504 в разряде сотен стоит цифра 5.

Поскольку $5 > 4$, то и число 504 больше числа 405.

$504 > 405$

Так как число 504 больше, чем 405, оно будет расположено на координатном луче правее.

Ответ: 504.

3. В 8 ч термометр показывал температуру $4^{\circ}C$, а в 14 ч — $12^{\circ}C$. Чему равна цена деления этого термометра, если его столбик поднялся на четыре деления?

Чтобы найти цену деления термометра, нужно общее изменение температуры разделить на количество делений, на которое изменился уровень столбика термометра.

1. Сначала вычислим, на сколько градусов изменилась температура.
Начальная температура: $ T_1 = 4 \text{ °C} $.
Конечная температура: $ T_2 = 12 \text{ °C} $.
Изменение температуры ($ \Delta T $):
$ \Delta T = T_2 - T_1 = 12 \text{ °C} - 4 \text{ °C} = 8 \text{ °C} $.

2. По условию задачи, это изменение температуры в 8 °C соответствует подъему столбика на 4 деления.

3. Теперь найдем цену одного деления ($ C $), разделив изменение температуры на количество делений:
$ C = \frac{\Delta T}{\text{количество делений}} = \frac{8 \text{ °C}}{4} = 2 \text{ °C} $.

Следовательно, цена одного деления этого термометра составляет 2 °C.

Ответ: 2 °C.

4. Зубную щетку надо менять каждые три месяца. Сколько зубных щеток покупает за год семья Ивановых, которая состоит из пяти человек, если она придерживается этого правила гигиены?

Для того чтобы найти общее количество зубных щеток, которое семья Ивановых покупает за год, нужно сначала рассчитать, сколько щеток требуется одному человеку, а затем умножить это число на количество членов семьи.

1. Расчет количества щеток для одного человека в год.

В году 12 месяцев. По условию задачи, зубную щетку необходимо менять каждые 3 месяца. Чтобы узнать, сколько раз за год один человек должен сменить щетку, разделим общее количество месяцев в году на периодичность смены:
$12 \div 3 = 4$
Следовательно, одному человеку на год требуется 4 зубные щетки.

2. Расчет общего количества щеток для всей семьи в год.

Семья Ивановых состоит из 5 человек. Каждому из них необходимо 4 щетки в год. Чтобы найти общее количество, умножим количество человек в семье на количество щеток, которое требуется одному человеку:
$5 \times 4 = 20$
Таким образом, за год семья Ивановых покупает 20 зубных щеток.

Ответ: 20

5. Вычислите:

1) $(27 + 13) \cdot 8;$

2) $(56 - 26) \cdot 9;$

3) $(82 - 71) \cdot 6;$

4) $(128 - 53) \div 3;$

5) $63 \div (25 - 16);$

6) $120 \div (26 + 14).$

1) $(27 + 13) \cdot 8$
Согласно порядку выполнения действий, сначала выполним действие в скобках (сложение), а затем умножение.
1. Складываем числа в скобках: $27 + 13 = 40$.
2. Умножаем полученный результат на 8: $40 \cdot 8 = 320$.
Таким образом, $(27 + 13) \cdot 8 = 40 \cdot 8 = 320$.
Ответ: 320

2) $(56 - 26) \cdot 9$
Сначала выполним действие в скобках (вычитание), а затем умножение.
1. Вычитаем числа в скобках: $56 - 26 = 30$.
2. Умножаем полученный результат на 9: $30 \cdot 9 = 270$.
Таким образом, $(56 - 26) \cdot 9 = 30 \cdot 9 = 270$.
Ответ: 270

3) $(82 - 71) \cdot 6$
Сначала выполним действие в скобках (вычитание), а затем умножение.
1. Вычитаем числа в скобках: $82 - 71 = 11$.
2. Умножаем полученный результат на 6: $11 \cdot 6 = 66$.
Таким образом, $(82 - 71) \cdot 6 = 11 \cdot 6 = 66$.
Ответ: 66

4) $(128 - 53) : 3$
Сначала выполним действие в скобках (вычитание), а затем деление.
1. Вычитаем числа в скобках: $128 - 53 = 75$.
2. Делим полученный результат на 3: $75 : 3 = 25$.
Таким образом, $(128 - 53) : 3 = 75 : 3 = 25$.
Ответ: 25

5) $63 : (25 - 16)$
Сначала выполним действие в скобках (вычитание), а затем деление.
1. Вычитаем числа в скобках: $25 - 16 = 9$.
2. Делим 63 на полученный результат: $63 : 9 = 7$.
Таким образом, $63 : (25 - 16) = 63 : 9 = 7$.
Ответ: 7

6) $120 : (26 + 14)$
Сначала выполним действие в скобках (сложение), а затем деление.
1. Складываем числа в скобках: $26 + 14 = 40$.
2. Делим 120 на полученный результат: $120 : 40 = 3$.
Таким образом, $120 : (26 + 14) = 120 : 40 = 3$.
Ответ: 3

174. Прочитайте неравенство:

1) $4 < 9$;

2) $18 > 10$;

3) $257 < 263$;

4) $132 > 95$;

5) $8 < 12 < 20$;

6) $29 < 30 < 31$.

1) Неравенство $4 < 9$ читается так: «четыре меньше девяти».

Ответ: четыре меньше девяти.

2) Неравенство $18 > 10$ читается так: «восемнадцать больше десяти».

Ответ: восемнадцать больше десяти.

3) Неравенство $257 < 263$ читается так: «двести пятьдесят семь меньше двухсот шестидесяти трёх».

Ответ: двести пятьдесят семь меньше двухсот шестидесяти трёх.

4) Неравенство $132 > 95$ читается так: «сто тридцать два больше девяноста пяти».

Ответ: сто тридцать два больше девяноста пяти.

5) Двойное неравенство $8 < 12 < 20$ читается так: «двенадцать больше восьми и меньше двадцати».

Ответ: двенадцать больше восьми и меньше двадцати.

6) Двойное неравенство $29 < 30 < 31$ читается так: «тридцать больше двадцати девяти и меньше тридцати одного».

Ответ: тридцать больше двадцати девяти и меньше тридцати одного.

175. Запишите в виде неравенства утверждение:

1) 16 больше 13;
$16 > 13$

2) 2516 меньше 3939;
$2516 < 3939$

3) 5 больше 4, но меньше 6;
$4 < 5 < 6$

4) 40 больше 30, но меньше 50.
$30 < 40 < 50$

1) Утверждение "16 больше 13" означает, что число 16 по значению превышает число 13. В математике для этого используется знак "больше" ($>$). Таким образом, данное утверждение записывается в виде неравенства следующим образом:
Ответ: $16 > 13$.

2) Утверждение "2516 меньше 3939" означает, что значение числа 2516 меньше значения числа 3939. Для этого используется знак "меньше" ($<$). Таким образом, неравенство будет иметь вид:
Ответ: $2516 < 3939$.

3) Утверждение "5 больше 4, но меньше 6" является двойным неравенством. Оно состоит из двух простых неравенств:
1. 5 больше 4, что записывается как $5 > 4$ или, что то же самое, $4 < 5$.
2. 5 меньше 6, что записывается как $5 < 6$.
Эти два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство, которое показывает, что число 5 находится между числами 4 и 6:
Ответ: $4 < 5 < 6$.

4) Утверждение "40 больше 30, но меньше 50" также является двойным неравенством. Оно говорит о том, что число 40 одновременно удовлетворяет двум условиям:
1. 40 больше 30, что записывается как $40 > 30$ или $30 < 40$.
2. 40 меньше 50, что записывается как $40 < 50$.
Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство:
Ответ: $30 < 40 < 50$.