Страница 51 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

184. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $526* < 5261$;

2) $4345 > 43*8$;

3) $7286 < 72*8$;

4) $2*09 > 2710$.

1) В неравенстве $526* < 5261$ сравниваются два четырехзначных числа. Первые три цифры (в разрядах тысяч, сотен и десятков) у этих чисел совпадают. Чтобы неравенство было верным, число слева должно быть меньше числа справа. Для этого сравниваем цифры в последнем разряде — разряде единиц. Получаем условие: $* < 1$. Единственная цифра, которая удовлетворяет этому условию, — это 0. При подстановке получаем верное неравенство: $5260 < 5261$.
Ответ: 0.

2) В неравенстве $4345 > 43*8$ сравниваются два четырехзначных числа. Первые две цифры (в разрядах тысяч и сотен) совпадают. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в старшем из различающихся разрядов (в данном случае, в разряде десятков) должна быть больше, либо, в случае их равенства, цифра в следующем разряде должна быть больше.
Рассмотрим разряд десятков. Цифра первого числа — 4, второго — *.
- Если $4 > *$, то неравенство $4345 > 43*8$ будет верным независимо от цифр в разряде единиц. Этому условию удовлетворяют цифры: 0, 1, 2, 3.
- Если $4 = *$, то есть $* = 4$, неравенство принимает вид $4345 > 4348$. Теперь нужно сравнить разряд единиц: $5 > 8$, что является ложным утверждением. Значит, цифра 4 не подходит.
Следовательно, возможны только цифры, которые меньше 4.
Ответ: 0, 1, 2, 3.

3) В неравенстве $7286 < 72*8$ сравниваются два четырехзначных числа. Первые две цифры (в разрядах тысяч и сотен) совпадают. Чтобы первое число было меньше второго, его цифра в старшем из различающихся разрядов (в разряде десятков) должна быть меньше, либо, в случае их равенства, цифра в следующем разряде должна быть меньше.
Рассмотрим разряд десятков. Цифра первого числа — 8, второго — *.
- Если $8 < *$, то неравенство $7286 < 72*8$ будет верным. Этому условию удовлетворяет цифра 9.
- Если $8 = *$, то есть $* = 8$, неравенство принимает вид $7286 < 7288$. Теперь нужно сравнить разряд единиц: $6 < 8$, что является верным утверждением. Значит, цифра 8 подходит.
Следовательно, возможны цифры 8 и 9.
Ответ: 8, 9.

4) В неравенстве $2*09 > 2710$ сравниваются два четырехзначных числа. Первая цифра (в разряде тысяч) совпадает. Чтобы первое число было больше второго, его цифра в старшем из различающихся разрядов (в разряде сотен) должна быть больше, либо, в случае их равенства, цифра в следующем разряде должна быть больше.
Рассмотрим разряд сотен. Цифра первого числа — *, второго — 7.
- Если $* > 7$, то неравенство $2*09 > 2710$ будет верным. Этому условию удовлетворяют цифры: 8, 9.
- Если $* = 7$, то неравенство принимает вид $2709 > 2710$. Теперь нужно сравнить разряд десятков: $0 > 1$, что является ложным утверждением. Значит, цифра 7 не подходит.
Следовательно, возможны только цифры, которые больше 7.
Ответ: 8, 9.

185. Запишите цифру, которую можно поставить вместо звёздочки, чтобы получилось верное неравенство (рассмотрите все возможные случаи):

1) $321* > 3217$;

2) $93*0 < 9332$.

1) 321* > 3217;

Чтобы неравенство было верным, мы должны сравнить числа поразрядно, начиная со старшего разряда (тысяч). В данном случае разряды тысяч, сотен и десятков у обоих чисел совпадают (3, 2, 1). Следовательно, чтобы первое число было больше второго, его цифра в разряде единиц (обозначенная звездочкой *) должна быть больше цифры в разряде единиц второго числа, то есть больше 7.

Запишем это условие: $* > 7$.

Цифры, которые больше 7, это 8 и 9.

Проверка:
Если $* = 8$, получаем $3218 > 3217$ (верно).
Если $* = 9$, получаем $3219 > 3217$ (верно).

Ответ: 8, 9.

2) 93*0 < 9332;

Сравниваем числа поразрядно. Разряды тысяч и сотен у обоих чисел одинаковы (9 и 3). Значит, для выполнения неравенства $93*0 < 9332$ нужно сравнить цифры в разряде десятков.

Рассмотрим возможные варианты:
1. Если цифра в разряде десятков первого числа (звездочка) меньше цифры в разряде десятков второго числа (3), то есть $* < 3$, то первое число будет меньше второго. Этому условию удовлетворяют цифры 0, 1, 2.
Например, $9320 < 9332$ (верно).
2. Если цифра в разряде десятков первого числа равна цифре в разряде десятков второго числа, то есть $* = 3$, то нужно сравнить цифры в разряде единиц. Неравенство примет вид $9330 < 9332$. Так как $0 < 2$, неравенство верно. Значит, цифра 3 тоже подходит.
3. Если цифра в разряде десятков первого числа будет больше 3 (например, 4), то число $93*0$ станет больше числа $9332$, что не удовлетворяет условию неравенства. Например, $9340 < 9332$ (неверно).

Следовательно, вместо звездочки можно поставить цифры 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

186. Запишите четырёхзначное число, которое:

1) больше 9984 и оканчивается цифрой 4;

2) меньше 1016 и оканчивается цифрой 9.

1) больше 9984 и оканчивается цифрой 4;

Требуется найти четырехзначное число, которое больше 9984 и последняя цифра которого — 4. Начнем перебирать целые числа, следующие за 9984: 9985, 9986, 9987, 9988, 9989, 9990, 9991, 9992, 9993, 9994, ... Первое число в этой последовательности, которое оканчивается на 4, — это 9994. Проверим, подходит ли оно:

• Число 9994 является четырехзначным.
• Число 9994 больше 9984 ($9994 > 9984$).
• Последняя цифра числа 9994 — это 4.

Все условия выполнены. Следующее число, оканчивающееся на 4, это $9994 + 10 = 10004$, но оно уже является пятизначным. Следовательно, 9994 — единственное решение.
Ответ: 9994

2) меньше 1016 и оканчивается цифрой 9.

Требуется найти четырехзначное число, которое меньше 1016 и оканчивается на 9. Поскольку число должно быть четырехзначным, оно не может быть меньше 1000. Таким образом, мы ищем число $N$ в промежутке $1000 \le N < 1016$. Перечислим числа, меньшие 1016, в обратном порядке: 1015, 1014, 1013, 1012, 1011, 1010, 1009, ... Первое число в этом списке, оканчивающееся на 9, — это 1009. Проверим, подходит ли оно:

• Число 1009 является четырехзначным.
• Число 1009 меньше 1016 ($1009 < 1016$).
• Последняя цифра числа 1009 — это 9.

Все условия выполнены. Предыдущее число, оканчивающееся на 9, это $1009 - 10 = 999$, которое является трехзначным. Следовательно, 1009 — единственное решение.
Ответ: 1009

187. 1) Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 473 и меньше 664, содержащее цифру 5 в разряде десятков. Сколько таких чисел можно написать?
2) Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 578 и меньше 638, содержащее цифру 6 в разряде сотен. Сколько таких чисел можно написать? Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.

1) По условию, искомое натуральное число должно быть больше 473 и меньше 664, а также содержать цифру 5 в разряде десятков. Обозначим это число в виде $X5Z$, где $X$ — цифра сотен, а $Z$ — цифра единиц. Таким образом, должно выполняться неравенство $473 < X5Z < 664$.

Проанализируем возможные значения для цифры сотен $X$:

• Если $X=4$, то число имеет вид $45Z$. Наибольшее такое число — 459, что меньше 473. Следовательно, этот вариант не подходит.

• Если $X=5$, то число имеет вид $55Z$. Любая цифра от 0 до 9 в разряде единиц даст число в диапазоне от 550 до 559. Все эти 10 чисел удовлетворяют условию $473 < 55Z < 664$.

• Если $X=6$, то число имеет вид $65Z$. Любая цифра от 0 до 9 в разряде единиц даст число в диапазоне от 650 до 659. Все эти 10 чисел также удовлетворяют условию $473 < 65Z < 664$.

• Если $X \ge 7$, то наименьшее возможное число будет 750, что больше 664, и не подходит.

В качестве примера можно взять любое из найденных чисел, например, 555.

Общее количество таких чисел равно сумме чисел, найденных для $X=5$ и $X=6$: $10 + 10 = 20$.

Ответ: Пример числа: 555. Всего можно написать 20 таких чисел.

2) По условию, искомое натуральное число должно быть больше 578 и меньше 638, а также содержать цифру 6 в разряде сотен. Обозначим это число как $6YZ$, где $Y$ — цифра десятков, а $Z$ — цифра единиц. Таким образом, должно выполняться неравенство $578 < 6YZ < 638$.

Левая часть неравенства, $578 < 6YZ$, выполняется для любого числа, начинающегося с 6, так как наименьшее такое число, 600, уже больше 578. Поэтому нам нужно найти все числа вида $6YZ$, которые удовлетворяют условию $6YZ < 638$.

Проанализируем возможные значения для цифры десятков $Y$:

• Если $Y$ равно 0, 1 или 2, то цифра единиц $Z$ может быть любой (от 0 до 9). Это даёт нам три группы чисел: от 600 до 609 (10 чисел), от 610 до 619 (10 чисел) и от 620 до 629 (10 чисел). Всего $10 \cdot 3 = 30$ чисел.

• Если $Y=3$, то число имеет вид $63Z$. Из условия $63Z < 638$ следует, что цифра $Z$ может принимать значения от 0 до 7. Это даёт нам 8 чисел (от 630 до 637).

• Если $Y \ge 4$, то наименьшее возможное число будет 640, что больше 638, и не подходит.

В качестве примера можно взять любое из найденных чисел, например, 601.

Общее количество таких чисел: $30 + 8 = 38$.

Наименьшее из этих чисел — это первое число из найденного диапазона. Оно получается при наименьших возможных $Y$ и $Z$, то есть $Y=0$ и $Z=0$. Это число 600.

Наибольшее из этих чисел — это последнее число из найденного диапазона. Оно получается при наибольших возможных $Y$ и $Z$, то есть $Y=3$ и $Z=7$. Это число 637.

Ответ: Пример числа: 601. Всего можно написать 38 таких чисел. Наименьшее из таких чисел — 600, а наибольшее — 637.

188. Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 2364 и меньше 2432, содержащее цифру 8 в разряде единиц. Сколько таких чисел можно написать? Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.

Запишите какое-либо натуральное число, которое больше 2364 и меньше 2432, содержащее цифру 8 в разряде единиц.

Искомое натуральное число $N$ должно удовлетворять двум условиям: во-первых, $2364 < N < 2432$, и во-вторых, его последняя цифра (цифра в разряде единиц) должна быть 8.
Подберем такое число. Первое число, большее 2364 и оканчивающееся на 8, — это 2368. Оно удовлетворяет неравенству: $2364 < 2368 < 2432$.
В качестве примера можно выбрать любое другое подходящее число, например, 2378.
Ответ: 2378.

Сколько таких чисел можно написать?

Найдем все числа, удовлетворяющие заданным условиям. Они должны быть в интервале $(2364, 2432)$ и оканчиваться на 8.
Такие числа образуют последовательность, где каждый следующий член на 10 больше предыдущего.
Первое такое число — 2368.
Последнее такое число, которое меньше 2432, — 2428.
Перечислим все эти числа: 2368, 2378, 2388, 2398, 2408, 2418, 2428.
Всего в этом списке 7 чисел.
Ответ: 7.

Запишите наименьшее и наибольшее из таких чисел.

Из списка всех подходящих чисел, полученного выше (2368, 2378, 2388, 2398, 2408, 2418, 2428), найдем наименьшее и наибольшее.
Наименьшим является первое число в упорядоченной последовательности, а наибольшим — последнее.
Наименьшее число: 2368.
Наибольшее число: 2428.
Ответ: наименьшее — 2368, наибольшее — 2428.

189. На координатном луче отметили числа 5, 12, a, b и c (рис. 87).

Сравните:

1) $a$ и $5$;

2) $12$ и $b$;

3) $a$ и $12$;

4) $c$ и $a$.

Рис. 87

$0 \quad a \quad 5 \quad b \quad 12 \quad c$

Для сравнения чисел, отмеченных на координатном луче, воспользуемся правилом: из двух чисел на координатном луче меньшее число расположено левее, а большее — правее.

1) a и 5;

На координатном луче точка, соответствующая числу a, расположена левее точки, соответствующей числу 5. Следовательно, число a меньше числа 5.

Ответ: $a < 5$.

2) 12 и b;

На координатном луче точка, соответствующая числу b, расположена левее точки, соответствующей числу 12. Следовательно, число b меньше числа 12, что равносильно тому, что 12 больше b.

Ответ: $12 > b$.

3) a и 12;

На координатном луче точка, соответствующая числу a, расположена левее точки, соответствующей числу 12. Следовательно, число a меньше числа 12.

Ответ: $a < 12$.

4) c и a.

На координатном луче точка, соответствующая числу a, расположена левее точки, соответствующей числу c. Следовательно, число a меньше числа c, что равносильно тому, что c больше a.

Ответ: $c > a$.

190. Между какими двумя ближайшими натуральными числами находится число:

1) 24;

2) 258;

3) 4325;

4) 999 999?

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

Чтобы найти два ближайших натуральных числа, между которыми находится заданное число, нужно определить его предшественника (число, которое на единицу меньше) и его последователя (число, которое на единицу больше).

1) 24

Число, предшествующее 24, это $24 - 1 = 23$.

Число, следующее за 24, это $24 + 1 = 25$.

Таким образом, число 24 находится между 23 и 25. Запишем это в виде двойного неравенства.

Ответ: $23 < 24 < 25$

2) 258

Число, предшествующее 258, это $258 - 1 = 257$.

Число, следующее за 258, это $258 + 1 = 259$.

Следовательно, число 258 находится между 257 и 259. Запишем это в виде двойного неравенства.

Ответ: $257 < 258 < 259$

3) 4325

Число, предшествующее 4325, это $4325 - 1 = 4324$.

Число, следующее за 4325, это $4325 + 1 = 4326$.

Значит, число 4325 находится между 4324 и 4326. Запишем это в виде двойного неравенства.

Ответ: $4324 < 4325 < 4326$

4) 999 999

Число, предшествующее 999 999, это $999\,999 - 1 = 999\,998$.

Число, следующее за 999 999, это $999\,999 + 1 = 1\,000\,000$.

Таким образом, число 999 999 находится между 999 998 и 1 000 000. Запишем это в виде двойного неравенства.

Ответ: $999\,998 < 999\,999 < 1\,000\,000$

191. В записи чисел вместо нескольких цифр поставили звёздочки.

Сравните эти числа:

1) 43*** и 48***;

2) 38* и 1***;

3) 9*4 и 9**3;

4) 6*9 и 96*.

1) 43 *** и 48 ***

Для сравнения двух чисел, в которых одинаковое количество цифр, необходимо сравнивать их поразрядно, начиная со старших разрядов (слева направо). В данном случае оба числа — пятизначные.

• Цифра в разряде десятков тысяч у обоих чисел одинакова и равна 4.
• Цифра в разряде тысяч у первого числа равна 3, а у второго — 8.

Поскольку $3 < 8$, то первое число всегда будет меньше второго, независимо от того, какие цифры заменяют звездочки. Например, максимальное значение первого числа (43 999) меньше минимального значения второго числа (48 000).

Ответ: $43 *** < 48 ***$.

2) 38* и 1 ***

Первое число, 38*, является трехзначным (его значение находится в диапазоне от 380 до 389). Второе число, 1 ***, является четырехзначным (его значение находится в диапазоне от 1000 до 1999).

При сравнении натуральных чисел, число, в котором больше цифр (разрядов), всегда больше. Любое четырехзначное число больше любого трехзначного.

Ответ: $38* < 1 ***$.

3) 9*4 и 9**3

Первое число, 9*4, является трехзначным (его значение находится в диапазоне от 904 до 994). Второе число, 9**3, является четырехзначным (его значение находится в диапазоне от 9003 до 9993).

Число, в котором больше разрядов, всегда больше. Следовательно, трехзначное число 9*4 всегда меньше четырехзначного числа 9**3.

Ответ: $9*4 < 9**3$.

4) 6*9 и 96*

Оба числа являются трехзначными. Сравниваем их поразрядно, начиная со старшего разряда (сотен).

• Цифра в разряде сотен у первого числа равна 6.
• Цифра в разряде сотен у второго числа равна 9.

Так как $6 < 9$, то первое число всегда меньше второго, независимо от значений цифр, скрытых за звездочками. Например, максимальное значение первого числа (699) меньше минимального значения второго числа (960).

Ответ: $6*9 < 96*$.