Страница 44 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

146. Отметьте на координатном луче точки, соответствующие числам 1, 3, 5, если единичный отрезок равен 1 см. Начертите ещё два координатных луча и отметьте на них эти же числа, выбрав за длину единичного отрезка:

1) 2 см;

2) 5 мм.

Чтобы отметить на координатном луче точки, соответствующие заданным числам, необходимо расстояние от начала луча (точки 0) до точки, соответствующей числу $n$, вычислить по формуле: $L = n \cdot e$, где $e$ — длина единичного отрезка.

Случай с единичным отрезком 1 см
Начертим координатный луч с началом в точке О (координата 0). Единичный отрезок равен 1 см. Чтобы отметить на луче точки, соответствующие числам 1, 3 и 5, отложим от начала луча О следующие расстояния:
- для числа 1: $1 \cdot 1 \text{ см} = 1 \text{ см}$;
- для числа 3: $3 \cdot 1 \text{ см} = 3 \text{ см}$;
- для числа 5: $5 \cdot 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ответ: На координатном луче с единичным отрезком 1 см точки, соответствующие числам 1, 3 и 5, будут находиться на расстоянии 1 см, 3 см и 5 см от начала луча соответственно.

1) Для второго координатного луча единичный отрезок равен 2 см. Расстояния от начала луча О (координата 0) до точек, соответствующих числам 1, 3 и 5, будут равны:
- для числа 1: $1 \cdot 2 \text{ см} = 2 \text{ см}$;
- для числа 3: $3 \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$;
- для числа 5: $5 \cdot 2 \text{ см} = 10 \text{ см}$.
Ответ: На координатном луче с единичным отрезком 2 см точки, соответствующие числам 1, 3 и 5, будут находиться на расстоянии 2 см, 6 см и 10 см от начала луча соответственно.

2) Для третьего координатного луча единичный отрезок равен 5 мм. Расстояния от начала луча О (координата 0) до точек, соответствующих числам 1, 3 и 5, будут равны:
- для числа 1: $1 \cdot 5 \text{ мм} = 5 \text{ мм}$;
- для числа 3: $3 \cdot 5 \text{ мм} = 15 \text{ мм}$ (или 1,5 см);
- для числа 5: $5 \cdot 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$ (или 2,5 см).
Ответ: На координатном луче с единичным отрезком 5 мм точки, соответствующие числам 1, 3 и 5, будут находиться на расстоянии 5 мм, 15 мм и 25 мм от начала луча соответственно.

147. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, изображающие числа: $2, 3, 4, 8, 9$.

Координатный луч — это луч, на котором задано начало отсчёта (точка $O$, соответствующая числу $0$), выбран единичный отрезок и указано положительное направление (стрелкой).

Чтобы отметить на координатном луче точки, изображающие числа $2, 3, 4, 8, 9$, нужно отложить от начала отсчёта (точки $0$) соответствующее количество единичных отрезков:

• для числа $2$ — два единичных отрезка;
• для числа $3$ — три единичных отрезка;
• для числа $4$ — четыре единичных отрезка;
• для числа $8$ — восемь единичных отрезков;
• для числа $9$ — девять единичных отрезков.

Ниже приведён чертёж координатного луча с отмеченными точками.

Ответ:

Координатный луч с отмеченными точками, соответствующими числам $2, 3, 4, 8, 9$, изображён на чертеже выше.

148. Начертите координатный луч и отметьте на нём точки, изображающие числа: 5, 6, 7, 10.

Чтобы начертить координатный луч и отметить на нём точки, соответствующие числам 5, 6, 7 и 10, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Сначала чертим горизонтальный луч, который начинается в точке O (начало отсчета) и направлен вправо. Эта точка O соответствует числу 0. Направление луча обозначаем стрелкой.

2. Далее выбираем единичный отрезок. Это произвольное, но фиксированное расстояние, которое будет соответствовать шагу в 1 единицу (например, расстояние между 0 и 1).

3. Откладываем от начала отсчета (точки 0) последовательно единичные отрезки и размечаем луч целыми числами: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

4. Находим на размеченном луче точки, соответствующие заданным числам:

• Точка с координатой 5, назовем ее $A(5)$, находится на расстоянии пяти единичных отрезков от начала отсчета.
• Точка с координатой 6, $B(6)$, находится на расстоянии шести единичных отрезков от начала.
• Точка с координатой 7, $C(7)$, находится на расстоянии семи единичных отрезков от начала.
• Точка с координатой 10, $D(10)$, находится на расстоянии десяти единичных отрезков от начала.

Графическое изображение координатного луча с отмеченными точками:

На рисунке выше показан координатный луч, на котором отмечены точки, изображающие числа 5, 6, 7 и 10.

Ответ: Координатный луч начерчен, и на нём отмечены точки, соответствующие числам 5, 6, 7, 10, как показано на рисунке.

149. Запишите все натуральные числа, расположенные на координатном луче:

1) левее числа 12;

2) левее числа 18, но правее числа 8.

1) левее числа 12

Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов, начиная с 1. На координатном луче, чем левее расположено число, тем оно меньше. Следовательно, нам нужно найти все натуральные числа $n$, которые меньше 12. Это условие можно записать в виде неравенства: $n < 12$.

Выпишем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому неравенству: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

2) левее числа 18, но правее числа 8

В этом задании необходимо найти все натуральные числа $n$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:
- число должно быть левее 18, то есть $n < 18$;
- число должно быть правее 8, то есть $n > 8$.

Эти два условия можно объединить в одно двойное неравенство: $8 < n < 18$. Это означает, что мы ищем все натуральные числа, которые находятся строго между числами 8 и 18.

Выпишем эти числа: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

Ответ: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

150. Начертите координатный луч и отметьте на нём все натуральные числа, которые больше 3 и меньше 7.

Для решения этой задачи нам необходимо выполнить два действия: сначала найти все натуральные числа, которые находятся в интервале между 3 и 7, а затем отметить их на координатном луче.

1. Нахождение чисел.

Натуральные числа – это числа, используемые для счёта предметов (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$3 < x < 7$

Это неравенство означает, что число $x$ должно быть строго больше 3 и строго меньше 7. Выпишем натуральные числа, которые подходят под это условие:

• 4 (больше 3 и меньше 7)
• 5 (больше 3 и меньше 7)
• 6 (больше 3 и меньше 7)

Число 3 не подходит, так как $x$ должно быть строго больше 3. Число 7 не подходит, так как $x$ должно быть строго меньше 7. Таким образом, искомые числа – это 4, 5 и 6.

2. Построение координатного луча.

Начертим координатный луч. Он начинается в точке 0 и продолжается вправо. Выберем единичный отрезок и расставим на луче числа. Затем отметим найденные нами числа 4, 5 и 6.

Ответ: На координатном луче отмечены натуральные числа 4, 5 и 6, так как они больше 3 и меньше 7.

151. Начертите координатный луч и отметьте на нём все натуральные числа, которые больше 5 и меньше 10.

Для выполнения этого задания необходимо сначала определить, какие натуральные числа удовлетворяют заданным условиям. Нам нужно найти все натуральные числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство: $5 < x < 10$.

Это неравенство означает, что мы ищем числа, которые строго больше 5 и строго меньше 10. Перечислим эти натуральные числа: 6, 7, 8, 9.

Теперь начертим координатный луч. Это луч, который имеет начало в точке 0, заданный единичный отрезок и направление. На этом луче отметим найденные числа.

На изображенном координатном луче красными точками выделены все натуральные числа, которые больше 5 и меньше 10.

Ответ: 6, 7, 8, 9.

152. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче между числами:

1) 132 и 140;

2) 487 и 492;

3) 2126 и 2128;

4) 3714 и 3715?

Чтобы найти количество натуральных чисел, расположенных на координатном луче между двумя данными числами, нужно из большего числа вычесть меньшее и от результата отнять единицу. Если даны числа $A$ и $B$, причем $A < B$, то количество натуральных чисел между ними равно $B - A - 1$.

1) 132 и 140

Чтобы найти количество натуральных чисел между 132 и 140, вычтем из 140 число 132 и отнимем 1.

Расчет: $140 - 132 - 1 = 8 - 1 = 7$.

Это числа: 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139.

Ответ: 7

2) 487 и 492

Чтобы найти количество натуральных чисел между 487 и 492, вычтем из 492 число 487 и отнимем 1.

Расчет: $492 - 487 - 1 = 5 - 1 = 4$.

Это числа: 488, 489, 490, 491.

Ответ: 4

3) 2126 и 2128

Чтобы найти количество натуральных чисел между 2126 и 2128, вычтем из 2128 число 2126 и отнимем 1.

Расчет: $2128 - 2126 - 1 = 2 - 1 = 1$.

Это число: 2127.

Ответ: 1

4) 3714 и 3715

Чтобы найти количество натуральных чисел между 3714 и 3715, вычтем из 3715 число 3714 и отнимем 1.

Расчет: $3715 - 3714 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Между двумя последовательными натуральными числами нет других натуральных чисел.

Ответ: 0

153. Запишите натуральные числа, расположенные на координатном луче между числами:

1) 234 и 239;

2) 1518 и 1524;

3) 7564 и 7566;

4) 32 025 и 32 030.

Чтобы найти натуральные числа, расположенные на координатном луче между двумя заданными числами, необходимо перечислить все целые числа, которые больше меньшего из заданных чисел и меньше большего из них.

1) Натуральные числа, расположенные между числами 234 и 239.

Нам нужно найти все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $234 < x < 239$.Начнем перечислять целые числа, следующие за 234:$234 + 1 = 235$$235 + 1 = 236$$236 + 1 = 237$$237 + 1 = 238$Следующее число - 239, оно не входит в искомый промежуток, так как неравенство строгое.Таким образом, искомые числа: 235, 236, 237, 238.
Ответ: 235, 236, 237, 238.

2) Натуральные числа, расположенные между числами 1518 и 1524.

Ищем все натуральные числа $x$, для которых выполняется неравенство $1518 < x < 1524$.Перечислим их по порядку, начиная с числа, следующего за 1518:1519, 1520, 1521, 1522, 1523.Число 1524 не является решением, так как оно не меньше самого себя.
Ответ: 1519, 1520, 1521, 1522, 1523.

3) Натуральные числа, расположенные между числами 7564 и 7566.

Нужно найти все натуральные числа $x$, удовлетворяющие условию $7564 < x < 7566$.Единственное целое число, которое больше 7564 и меньше 7566, это число, следующее сразу за 7564:$7564 + 1 = 7565$.Следующее за ним число, 7566, уже не удовлетворяет условию.
Ответ: 7565.

4) Натуральные числа, расположенные между числами 32 025 и 32 030.

Находим все натуральные числа $x$, для которых справедливо неравенство $32\ 025 < x < 32\ 030$.Начнем перечисление с числа, следующего за 32 025:32 026, 32 027, 32 028, 32 029.Следующее число 32 030 не входит в данный интервал.
Ответ: 32 026, 32 027, 32 028, 32 029.

154. Начертите отрезок длиной 8 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 16. Разделите отрезок на четыре равные части. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 3, 7, 9, 14, 15.

1. Построение и деление отрезка

Сначала начертим горизонтальный отрезок длиной 8 см. Над его левым концом напишем число 0, а над правым — 16.
Далее разделим этот отрезок на четыре равные части. Так как общая длина отрезка составляет 8 см, длина каждой из четырех частей будет равна:
$8 \text{ см} \div 4 = 2 \text{ см}$.
Это означает, что на отрезке появятся три промежуточных штриха, которые вместе с концами отрезка создадут четыре равных сегмента по 2 см каждый. Штрихи будут находиться на расстоянии 2 см, 4 см и 6 см от начала отрезка (от точки 0).

2. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления

Отрезок представляет собой числовую шкалу от 0 до 16. Полный числовой диапазон равен $16 - 0 = 16$.
Поскольку мы разделили шкалу на 4 равные части, значение каждого деления (расстояние между соседними штрихами) составляет:
$16 \div 4 = 4$.
Определим числа для каждого штриха, начиная с 0 и последовательно прибавляя по 4:
- Левый конец отрезка: 0
- Первый штрих (на расстоянии 2 см): $0 + 4 = \textbf{4}$
- Второй штрих (на расстоянии 4 см): $4 + 4 = \textbf{8}$
- Третий штрих (на расстоянии 6 см): $8 + 4 = \textbf{12}$
- Правый конец отрезка (на расстоянии 8 см): $12 + 4 = \textbf{16}$

Ответ: Числа, которые соответствуют штрихам деления: 0, 4, 8, 12, 16.

3. Отметьте на полученной шкале числа 3, 7, 9, 14, 15

Чтобы отметить заданные числа, нужно найти их точное положение на отрезке. Сначала определим, какое расстояние в сантиметрах соответствует одной единице на числовой шкале. Для этого общую длину отрезка (8 см) разделим на весь числовой диапазон (16):
$8 \text{ см} \div 16 = 0.5 \text{ см}$.
Это означает, что каждая единица на шкале соответствует 0.5 см на отрезке.
Теперь рассчитаем положение каждого числа от точки 0:
- Число 3: $3 \times 0.5 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$ от начала.
- Число 7: $7 \times 0.5 \text{ см} = 3.5 \text{ см}$ от начала.
- Число 9: $9 \times 0.5 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$ от начала.
- Число 14: $14 \times 0.5 \text{ см} = 7 \text{ см}$ от начала.
- Число 15: $15 \times 0.5 \text{ см} = 7.5 \text{ см}$ от начала.

На начерченной шкале с основными делениями 0, 4, 8, 12, 16 нужно поставить точки в рассчитанных местах и подписать их соответствующими числами.

Ответ: Числа 3, 7, 9, 14, 15 отмечаются на шкале в точках, находящихся на расстоянии 1.5 см, 3.5 см, 4.5 см, 7 см и 7.5 см от начальной точки 0 соответственно.

155. Начертите отрезок длиной 9 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 18. Разделите отрезок на шесть равных частей. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления. Отметьте на полученной шкале числа 4, 8, 10, 16, 17.

Для решения задачи выполним последовательно все указанные действия.

1. Начертите отрезок длиной 9 см ... и разделите отрезок на шесть равных частей.

Сначала необходимо начертить отрезок длиной 9 см. Концы этого отрезка будут соответствовать числам 0 и 18.
Чтобы разделить этот отрезок на 6 равных частей, нужно найти длину каждой части. Для этого общую длину отрезка делим на требуемое количество частей:

$9 \text{ см} \div 6 = 1.5 \text{ см}$

Таким образом, для деления отрезка на 6 равных частей, необходимо от его начала (отметки 0) последовательно откладывать отрезки длиной 1.5 см и ставить в этих местах штрихи.

Ответ: Длина каждой из шести равных частей отрезка составляет 1.5 см.

2. Назовите числа, которые соответствуют каждому штриху деления.

Отрезок представляет собой числовую шкалу от 0 до 18. Общая "длина" этой шкалы в числовых единицах составляет $18 - 0 = 18$.
Поскольку мы разделили шкалу на 6 равных частей, то "цена деления" (величина, которую представляет каждая часть) равна:

$18 \div 6 = 3$

Это означает, что каждый следующий штрих соответствует числу на 3 больше, чем предыдущий. Начиная с 0, получаем следующие числа для штрихов:
• Начало отрезка: 0
• 1-е деление: $0 + 3 = 3$
• 2-е деление: $3 + 3 = 6$
• 3-е деление: $6 + 3 = 9$
• 4-е деление: $9 + 3 = 12$
• 5-е деление: $12 + 3 = 15$
• Конец отрезка: $15 + 3 = 18$

Ответ: Штрихам деления соответствуют числа: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18.

3. Отметьте на полученной шкале числа 4, 8, 10, 16, 17.

Чтобы найти точное положение этих чисел на отрезке, определим масштаб: какому расстоянию в сантиметрах соответствует одна числовая единица.

Масштаб: $9 \text{ см} \div 18 \text{ единиц} = 0.5 \text{ см/единицу}$

Теперь рассчитаем положение каждого числа, умножив его на 0.5 см. Расстояние отсчитывается от начала отрезка (от метки 0).
• Положение числа 4: $4 \times 0.5 \text{ см} = 2 \text{ см}$
• Положение числа 8: $8 \times 0.5 \text{ см} = 4 \text{ см}$
• Положение числа 10: $10 \times 0.5 \text{ см} = 5 \text{ см}$
• Положение числа 16: $16 \times 0.5 \text{ см} = 8 \text{ см}$
• Положение числа 17: $17 \times 0.5 \text{ см} = 8.5 \text{ см}$

Итоговая шкала со всеми отметками будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Числа 4, 8, 10, 16 и 17 отмечены на шкале в соответствии с их рассчитанными положениями (2 см, 4 см, 5 см, 8 см и 8.5 см от начала отрезка).

156. Длина прямолинейной дороги между деревнями Яблочное и Вишнёвое равна 30 км. Изобразите дорогу между этими деревнями в виде шкалы, цена деления которой составляет 3 км. Изобразите положение туриста, движущегося из Яблочного в Вишнёвое со скоростью 6 км/ч:

1) через 1 ч после начала движения;

2) через 3 ч;

3) через 4 ч.

Сначала изобразим дорогу между деревнями Яблочное (Я) и Вишнёвое (В) в виде шкалы. Длина дороги 30 км, а цена деления шкалы — 3 км. Это значит, что на шкале будет $30 / 3 = 10$ делений. Начало шкалы (0 км) — деревня Яблочное, конец (30 км) — деревня Вишнёвое.

Схематично шкала будет выглядеть так:

Я (0) — 3 — 6 — 9 — 12 — 15 — 18 — 21 — 24 — 27 — 30 (В)

Турист движется из Яблочного в Вишнёвое со скоростью $v = 6$ км/ч. Чтобы определить его положение в разное время, будем использовать формулу пути: $S = v \cdot t$, где $S$ — пройденное расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время в пути.

1) через 1 ч после начала движения:

Найдем расстояние, которое турист пройдет за 1 час:
$S = 6 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 6 \text{ км}$.
Турист будет находиться на отметке 6 км от деревни Яблочное. На нашей шкале это второе деление после начала.

Ответ: Турист будет находиться на отметке 6 км.

2) через 3 ч:

Найдем расстояние, которое турист пройдет за 3 часа:
$S = 6 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 18 \text{ км}$.
Турист будет находиться на отметке 18 км от деревни Яблочное. На нашей шкале это шестое деление после начала.

Ответ: Турист будет находиться на отметке 18 км.

3) через 4 ч:

Найдем расстояние, которое турист пройдет за 4 часа:
$S = 6 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 24 \text{ км}$.
Турист будет находиться на отметке 24 км от деревни Яблочное. На нашей шкале это восьмое деление после начала.

Ответ: Турист будет находиться на отметке 24 км.

157. Длина прямолинейной дороги от деревни Грушёвка до железнодорожной станции равна 48 км. Изобразите дорогу между деревней и станцией в виде шкалы, цена деления которой составляет 4 км. Изобразите положение велосипедиста, движущегося со скоростью $ 12 \text{ км/ч} $ из деревни на станцию:

1) через 2 ч после начала движения;

2) через 3 ч;

3) через 4 ч.

Для решения задачи сначала изобразим дорогу от деревни Грушёвка до железнодорожной станции в виде шкалы. Общая длина дороги составляет 48 км, а цена деления шкалы — 4 км. Это означает, что шкала будет иметь отметки от 0 до 48 с шагом 4.

Затем, для каждого указанного времени, мы рассчитаем расстояние, которое проехал велосипедист, по формуле пути: $s = v \cdot t$, где $s$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время. Скорость велосипедиста $v = 12$ км/ч.

Изобразим шкалу и отметим на ней положение велосипедиста в каждый момент времени:

1) через 2 ч после начала движения;

Найдем расстояние, которое проехал велосипедист за 2 часа:
$s = 12 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 24 \text{ км}$.
На шкале это положение соответствует отметке 24 (помечено красным цветом).
Ответ: через 2 часа велосипедист будет на отметке 24 км от деревни.

2) через 3 ч;

Найдем расстояние, которое проехал велосипедист за 3 часа:
$s = 12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$.
На шкале это положение соответствует отметке 36 (помечено синим цветом).
Ответ: через 3 часа велосипедист будет на отметке 36 км от деревни.

3) через 4 ч.

Найдем расстояние, которое проехал велосипедист за 4 часа:
$s = 12 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 48 \text{ км}$.
Это положение соответствует концу дороги — железнодорожной станции на отметке 48 км (помечено зеленым цветом).
Ответ: через 4 часа велосипедист прибудет на станцию, находящуюся на отметке 48 км.