Страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

130. Постройте окружность, которая проходит через середину каждого из отрезков, изображённых на рисунке 60.

Рис. 60

Для построения окружности, которая проходит через середины каждого из отрезков, изображённых на рисунке, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти середины отрезков.

   Для удобства введем систему координат, где сторона одной клетки равна 1. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты (0, 0).

   Первый отрезок (слева) соединяет точки с координатами (1, 2) и (5, 2). Его середина, точка M₁, имеет координаты: $M_1 = (\frac{1+5}{2}; \frac{2+2}{2}) = (3; 2)$.

   Второй отрезок (справа) соединяет точки с координатами (6, 2) и (8, 2). Его середина, точка M₂, имеет координаты: $M_2 = (\frac{6+8}{2}; \frac{2+2}{2}) = (7; 2)$.

2. Определить параметры окружности (центр и радиус).

   Искомая окружность должна проходить через точки M₁(3, 2) и M₂(7, 2). Это означает, что отрезок M₁M₂ является хордой этой окружности. Существует бесконечное множество таких окружностей, центры которых лежат на серединном перпендикуляре к отрезку M₁M₂.

   Самым простым решением будет построить окружность, для которой отрезок M₁M₂ является диаметром.

   Центр окружности, точка O, будет серединой диаметра M₁M₂. Его координаты: $O = (\frac{3+7}{2}; \frac{2+2}{2}) = (5; 2)$.

   Радиус окружности, R, равен половине длины диаметра. Длина диаметра M₁M₂ равна $7 - 3 = 4$. Следовательно, радиус: $R = \frac{4}{2} = 2$.

3. Построить окружность.

   С помощью циркуля необходимо построить окружность с центром в точке O(5, 2) и радиусом R = 2.

   На рисунке ниже показан результат построения.

Ответ:

Искомая окружность имеет центр в точке с координатами (5, 2) и радиус, равный 2 (в единицах сетки). Для построения нужно найти середины двух отрезков, соединить их, найти середину полученного отрезка (это будет центр окружности), и провести окружность, проходящую через середины исходных отрезков.

131. В круге с центром $O$ отметили точку $M$. Как разрезать этот круг:

1) на три части;

2) на две части — так, чтобы из них можно было составить новый круг, в котором отмеченная точка $M$ была бы его центром?

Эта задача решается с помощью центральной симметрии. Пусть исходный круг имеет центр в точке $O$ и радиус $R$, а точка $M$ отмечена внутри него. Наша цель — пересобрать этот круг в новый, с центром в точке $M$ и тем же радиусом $R$.

Преобразование, которое переводит центр $O$ в $M$, — это поворот на $180^\circ$ вокруг середины $P$ отрезка $OM$. Такое преобразование называется центральной симметрией. Оно переводит исходный круг с центром $O$ в новый круг с центром $M$. Наша задача — осуществить это преобразование с помощью разрезания и перекладывания частей.

Обозначим исходный диск (круг и его внутренность) как $D_O$, а целевой диск — как $D_M$. Часть диска $D_O$, которая после преобразования остаётся на своем месте — это их пересечение, $D_O \cap D_M$. Часть, которую нужно переместить — это $D_O \setminus D_M$. Центральная симметрия относительно точки $P$ переводит область $D_O \setminus D_M$ в точности в область $D_M \setminus D_O$. Это и есть ключ к решению.

Чтобы разрезать круг на три части, мы выполним два разреза.

1. Первый разрез: Построим вспомогательную окружность с центром в точке $M$ и тем же радиусом $R$, что и у исходного круга. Эта окружность пересечет границу исходного круга в двух точках. Разрез делаем по дуге вспомогательной окружности, которая лежит внутри исходного круга. Этот разрез делит исходный круг на две части: большую, линзообразную (это пересечение двух кругов, $D_O \cap D_M$), и меньшую, в форме полумесяца (луночку, $D_O \setminus D_M$).
2. Второй разрез: Проведем прямой разрез по отрезку прямой, соединяющему центры $O$ и $M$, но только в пределах большей, линзообразной части. Этот разрез разделит ее на две симметричные половины.

В результате мы получаем три части: одну луночку и две половины линзы.

Сборка нового круга:

• Две части, полученные из линзы, оставляем на месте. Точка $M$ находится на их общем разрезе.
• Часть-луночку поворачиваем на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.
• Повернутая луночка идеально примыкает к двум другим частям, образуя вместе с ними новый круг, центром которого теперь является точка $M$.

Ответ: Нужно сделать разрез по дуге окружности с центром в $M$ и радиусом исходного круга, а также по отрезку, соединяющему $O$ и $M$ (в пределах пересечения кругов). Полученные три части пересобираются: две части остаются на месте, а третья (луночка) поворачивается на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.

Для разрезания на две части достаточно сделать только один разрез.

1. Разрез: Как и в предыдущем пункте, строим вспомогательную окружность с центром в $M$ и радиусом $R$. Разрез делаем по дуге этой вспомогательной окружности, находящейся внутри исходного круга.

Этот разрез делит исходный круг на две части:

• Часть 1: Линзообразная часть, содержащая точки $O$ и $M$ (область $D_O \cap D_M$).
• Часть 2: Часть в форме полумесяца (луночка, область $D_O \setminus D_M$).

Сборка нового круга:

• Линзообразную часть (Часть 1) оставляем неподвижной.
• Луночку (Часть 2) поворачиваем на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.
• Повернутая часть точно стыкуется с неподвижной частью, образуя новый круг, центр которого совпадает с точкой $M$.

Ответ: Нужно сделать один разрез по дуге окружности с центром в точке $M$ и тем же радиусом, что и у исходного круга. Из полученных двух частей одна (линза) остается на месте, а вторая (луночка) поворачивается на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.

132. На торте кондитер расположил семь кремовых розочек (рис. 61).

Как тремя прямолинейными разрезами разделить торт на семь порций, на каждой из которых была бы одна розочка?

Рис. 61

Чтобы разделить круглый торт на 7 порций с помощью трёх прямолинейных разрезов, нужно расположить разрезы так, чтобы они попарно пересекались, но все три не пересекались в одной точке. Такое расположение разрезов делит плоскость (и торт) на максимальное для трёх прямых количество частей — семь.

Эти семь частей состоят из одного центрального треугольника и шести внешних областей. Учитывая расположение розочек на торте (одна в центре и шесть по кругу), решение задачи состоит в том, чтобы центральная розочка оказалась в треугольной части, а каждая из шести остальных — в своей собственной внешней части.

Для этого необходимо выполнить разрезы следующим образом (предполагается, что шесть внешних розочек пронумерованы от 1 до 6 по часовой стрелке):

• Первый разрез проводится так, чтобы он отделил три соседние розочки (например, №1, №2, №3) от остальных четырех (центральной и розочек №4, №5, №6). Линия разреза должна пройти между розочками №1 и №6, а также между №3 и №4.
• Второй разрез отделяет следующую тройку соседних розочек (например, №3, №4, №5) от остальных. Эта линия пройдет между розочками №2 и №3, а также между №5 и №6.
• Третий разрез отделяет последнюю тройку (№5, №6, №1) от остальных. Эта линия пройдет между розочками №4 и №5, а также между №1 и №2.

В результате такого деления в центре торта образуется небольшой треугольный кусок с центральной розочкой, а по краям — шесть кусков, в каждом из которых будет по одной из оставшихся шести розочек. Ниже представлена наглядная схема такого деления.

На схеме показано, как три прямые (разрезы) $L_1, L_2, L_3$ делят торт. Розочки $R_1, ..., R_6$ расположены по кругу, а $R_c$ — в центре. Каждый разрез отделяет группу из трех соседних внешних розочек от остальных. В итоге каждая из семи розочек оказывается в отдельной порции.

Ответ: Нужно сделать три прямолинейных разреза так, чтобы они попарно пересекались, но не в одной точке. Каждый разрез должен проходить между двумя парами соседних розочек, расположенных по кругу. Если пронумеровать эти розочки от 1 до 6, то первый разрез проводится между 1-й и 6-й и между 3-й и 4-й; второй — между 2-й и 3-й и между 5-й и 6-й; третий — между 4-й и 5-й и между 1-й и 2-й. Это создаст 7 порций, в каждой из которых будет по одной розочке.

133. На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см. Найдите расстояние между крайними точками.

Если на прямой отметить 20 точек, то между ними образуется 19 равных отрезков, соединяющих соседние точки. Это можно посчитать по формуле $n - 1$, где $n$ — количество точек.

Количество отрезков между точками: $20 - 1 = 19$.

По условию задачи, длина каждого такого отрезка (расстояние между соседними точками) составляет 4 см.

Чтобы найти расстояние между крайними точками, необходимо умножить количество отрезков на длину одного отрезка:

$19 \times 4 \text{ см} = 76 \text{ см}$.

Ответ: 76 см.

134. На прямой отметили точки так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 5 см, а между крайними точками — 45 см. Сколько точек отмечено на прямой?

По условию задачи, точки на прямой отмечены так, что расстояние между любыми двумя соседними точками одинаково и равно 5 см. Общее расстояние между самой первой и самой последней (крайними) точками равно 45 см.

Общее расстояние складывается из одинаковых отрезков, длина каждого из которых равна расстоянию между соседними точками. Чтобы найти количество таких отрезков (промежутков), нужно общее расстояние разделить на длину одного отрезка.

Найдем количество отрезков:
$45 \div 5 = 9$
Следовательно, между крайними точками находится 9 отрезков.

Количество точек на прямой всегда на единицу больше, чем количество отрезков между ними. Например, 2 точки образуют 1 отрезок, 3 точки — 2 отрезка и так далее.
Поэтому, чтобы найти общее количество отмеченных точек, нужно к количеству отрезков прибавить 1.

Найдем количество точек:
$9 + 1 = 10$

Ответ: 10 точек.

135. Кот вырастил в своём саду 246 кг яблок и 354 кг груш. Шестую часть всех фруктов он отдал своим друзьям из детского сада, пятую часть всех фруктов — друзьям из школы, а остальное — в больницу. Сколько килограммов фруктов кот отдал в больницу?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем общее количество фруктов, которое вырастил кот, сложив массу яблок и груш.

$246 + 354 = 600$ (кг) — всего фруктов.

2. Узнаем, сколько килограммов фруктов кот отдал друзьям из детского сада. Для этого разделим общее количество фруктов на 6, так как он отдал шестую часть.

$600 \div 6 = 100$ (кг) — отдал в детский сад.

3. Теперь вычислим, сколько килограммов фруктов кот отдал друзьям из школы. Для этого разделим общее количество фруктов на 5, так как он отдал пятую часть.

$600 \div 5 = 120$ (кг) — отдал в школу.

4. Чтобы найти, сколько килограммов фруктов кот отдал в больницу, нужно из общего количества фруктов вычесть то количество, которое он отдал в детский сад и в школу.

$600 - 100 - 120 = 380$ (кг).

Также можно сначала сложить количество фруктов, отданных в детский сад и школу ($100 + 120 = 220$ кг), а затем вычесть эту сумму из общего количества ($600 - 220 = 380$ кг).

Ответ: кот отдал в больницу 380 килограммов фруктов.