Номер 131, страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 5. Окружность и круг. Упражнения - номер 131, страница 37.

Условие.

131. В круге с центром $O$ отметили точку $M$. Как разрезать этот круг:

1) на три части;

2) на две части — так, чтобы из них можно было составить новый круг, в котором отмеченная точка $M$ была бы его центром?

Решение.

Решение 2.

Эта задача решается с помощью центральной симметрии. Пусть исходный круг имеет центр в точке $O$ и радиус $R$, а точка $M$ отмечена внутри него. Наша цель — пересобрать этот круг в новый, с центром в точке $M$ и тем же радиусом $R$.

Преобразование, которое переводит центр $O$ в $M$, — это поворот на $180^\circ$ вокруг середины $P$ отрезка $OM$. Такое преобразование называется центральной симметрией. Оно переводит исходный круг с центром $O$ в новый круг с центром $M$. Наша задача — осуществить это преобразование с помощью разрезания и перекладывания частей.

Обозначим исходный диск (круг и его внутренность) как $D_O$, а целевой диск — как $D_M$. Часть диска $D_O$, которая после преобразования остаётся на своем месте — это их пересечение, $D_O \cap D_M$. Часть, которую нужно переместить — это $D_O \setminus D_M$. Центральная симметрия относительно точки $P$ переводит область $D_O \setminus D_M$ в точности в область $D_M \setminus D_O$. Это и есть ключ к решению.

1) на три части

Чтобы разрезать круг на три части, мы выполним два разреза.

1. Первый разрез: Построим вспомогательную окружность с центром в точке $M$ и тем же радиусом $R$, что и у исходного круга. Эта окружность пересечет границу исходного круга в двух точках. Разрез делаем по дуге вспомогательной окружности, которая лежит внутри исходного круга. Этот разрез делит исходный круг на две части: большую, линзообразную (это пересечение двух кругов, $D_O \cap D_M$), и меньшую, в форме полумесяца (луночку, $D_O \setminus D_M$).
2. Второй разрез: Проведем прямой разрез по отрезку прямой, соединяющему центры $O$ и $M$, но только в пределах большей, линзообразной части. Этот разрез разделит ее на две симметричные половины.

В результате мы получаем три части: одну луночку и две половины линзы.

Сборка нового круга:

• Две части, полученные из линзы, оставляем на месте. Точка $M$ находится на их общем разрезе.
• Часть-луночку поворачиваем на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.
• Повернутая луночка идеально примыкает к двум другим частям, образуя вместе с ними новый круг, центром которого теперь является точка $M$.

Ответ: Нужно сделать разрез по дуге окружности с центром в $M$ и радиусом исходного круга, а также по отрезку, соединяющему $O$ и $M$ (в пределах пересечения кругов). Полученные три части пересобираются: две части остаются на месте, а третья (луночка) поворачивается на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.

2) на две части

Для разрезания на две части достаточно сделать только один разрез.

1. Разрез: Как и в предыдущем пункте, строим вспомогательную окружность с центром в $M$ и радиусом $R$. Разрез делаем по дуге этой вспомогательной окружности, находящейся внутри исходного круга.

Этот разрез делит исходный круг на две части:

• Часть 1: Линзообразная часть, содержащая точки $O$ и $M$ (область $D_O \cap D_M$).
• Часть 2: Часть в форме полумесяца (луночка, область $D_O \setminus D_M$).

Сборка нового круга:

• Линзообразную часть (Часть 1) оставляем неподвижной.
• Луночку (Часть 2) поворачиваем на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.
• Повернутая часть точно стыкуется с неподвижной частью, образуя новый круг, центр которого совпадает с точкой $M$.

Ответ: Нужно сделать один разрез по дуге окружности с центром в точке $M$ и тем же радиусом, что и у исходного круга. Из полученных двух частей одна (линза) остается на месте, а вторая (луночка) поворачивается на $180^\circ$ вокруг середины отрезка $OM$.