Номер 125, страница 35 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 5. Окружность и круг. Упражнения - номер 125, страница 35.

Условие.

125. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 5 см. Постройте окружность радиуса 3 см с центром $A$ и окружность радиуса 4 см с центром $B$. Сколько существует точек пересечения окружностей? Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки $A$? до точки $B$?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи проанализируем взаимное расположение двух окружностей. Пусть расстояние между центрами окружностей A и B равно $d$, радиус первой окружности с центром A равен $r_A$, а радиус второй окружности с центром B равен $r_B$.

Из условия задачи нам известно:

• Длина отрезка AB: $d = 5$ см.
• Радиус окружности с центром A: $r_A = 3$ см.
• Радиус окружности с центром B: $r_B = 4$ см.

Сколько существует точек пересечения окружностей?

Две окружности пересекаются в двух различных точках, если расстояние между их центрами $d$ меньше суммы их радиусов ($r_A + r_B$), но больше модуля их разности ($|r_A - r_B|$). Проверим выполнение этого условия:

1. Найдем сумму радиусов: $r_A + r_B = 3 + 4 = 7$ см.

2. Найдем модуль разности радиусов: $|r_A - r_B| = |3 - 4| = |-1| = 1$ см.

3. Сравним расстояние между центрами $d=5$ см с полученными значениями. Получаем неравенство: $1 \text{ см} < 5 \text{ см} < 7 \text{ см}$.

Так как условие $ |r_A - r_B| < d < r_A + r_B $ выполняется, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: существует 2 точки пересечения.

Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки A? до точки B?

Пусть C и D — это две точки пересечения окружностей.

По определению окружности, любая точка, лежащая на ней, удалена от ее центра на расстояние, равное радиусу.

Поскольку точки C и D лежат на окружности с центром в точке A и радиусом 3 см, то расстояние от каждой из них до точки A равно 3 см. То есть, $AC = AD = 3$ см.

Аналогично, поскольку точки C и D лежат на окружности с центром в точке B и радиусом 4 см, то расстояние от каждой из них до точки B равно 4 см. То есть, $BC = BD = 4$ см.

Ответ: расстояние от каждой из точек пересечения до точки А равно 3 см, а до точки В — 4 см.