Страница 35 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

117. На рисунке 55 изображена окружность с центром B и радиусом 17 мм. Сколько радиусов данной окружности изображено на этом рисунке? Чему равно расстояние между точками M и B?

Рис. 55

Сколько радиусов данной окружности изображено на этом рисунке?

По определению, радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на этой окружности. Центром данной окружности является точка B. На рисунке изображены три отрезка, которые соединяют центр B с точками на окружности: BA, BK и BM. Таким образом, на рисунке изображено 3 радиуса.

Ответ: 3.

Чему равно расстояние между точками M и B?

Расстояние между точками M и B — это длина отрезка MB. Так как точка B является центром окружности, а точка M лежит на окружности, то отрезок MB является радиусом этой окружности. Согласно условию задачи, радиус окружности $R$ равен 17 мм. Следовательно, расстояние между точками M и B равно радиусу. Длина отрезка MB составляет 17 мм.

Ответ: 17 мм.

118. Какие из точек, обозначенных на рисунке 56:

1) лежат на окружности;

2) принадлежат кругу;

3) не лежат на окружности;

4) не принадлежат кругу?

Рис. 56

Для ответа на вопросы разберемся в определениях окружности и круга, а затем проанализируем положение каждой точки на рисунке.

Окружность – это замкнутая кривая, состоящая из всех точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром (в нашем случае это точка О). На рисунке окружность представлена черной линией.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг включает в себя как саму линию окружности (границу), так и все точки, находящиеся внутри нее. На рисунке это вся закрашенная область вместе с ее границей.

1) лежат на окружности;
Точки, лежащие на окружности, — это те, что находятся непосредственно на ее линии. Из рисунка видно, что на линии окружности расположены точки C, D и M.
Ответ: C, D, M.

2) принадлежат кругу;
Кругу принадлежат все точки, находящиеся внутри окружности, а также на самой окружности. Точки внутри окружности: O, B, K, F. Точки на окружности: C, D, M. Таким образом, все эти точки принадлежат кругу.
Ответ: O, B, K, F, C, D, M.

3) не лежат на окружности;
К точкам, которые не лежат на окружности, относятся все точки, не находящиеся на ее линии, то есть точки как внутри, так и снаружи. Точки внутри: O, B, K, F. Точки снаружи: P, E, A.
Ответ: P, E, A, O, B, K, F.

4) не принадлежат кругу?
Точки, не принадлежащие кругу, — это все точки, находящиеся за его пределами (вне закрашенной области и ее границы). На рисунке это точки P, E и A.
Ответ: P, E, A.

119. Начертите окружность радиуса 2 см 3 мм с центром $M$.

Чтобы начертить окружность с заданными параметрами, необходимо выполнить последовательность действий. Для начала определим радиус в одной единице измерения.

1. Определение радиуса

Радиус окружности равен 2 см 3 мм. Поскольку в 1 сантиметре 10 миллиметров, мы можем выразить радиус в сантиметрах или миллиметрах:

$R = 2 \text{ см } 3 \text{ мм} = 2.3 \text{ см}$

или

$R = 2 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 23 \text{ мм}$

2. Построение окружности

Для построения используется циркуль и линейка:

1. На листе бумаги отметьте точку и обозначьте её буквой M. Эта точка будет центром окружности.
2. С помощью линейки установите раствор циркуля (расстояние между остриём и грифелем) равным 2.3 см или 23 мм.
3. Поместите остриё циркуля в точку M.
4. Прочно удерживая остриё в центре, вращайте циркуль, чтобы грифель начертил на бумаге замкнутую кривую. Эта кривая и есть искомая окружность.

Ниже представлено схематическое изображение полученной окружности:

3. Расчет характеристик окружности

Для полноты решения можно вычислить основные характеристики этой окружности.

Диаметр окружности (d)

Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Он равен удвоенному радиусу.

$d = 2 \cdot R = 2 \cdot 2.3 \text{ см} = 4.6 \text{ см}$

Длина окружности (C)

Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2 \pi R$, где $\pi$ (пи) — математическая константа, примерно равная 3.14159.

$C = 2 \cdot \pi \cdot 2.3 \text{ см} = 4.6\pi \text{ см}$

Приблизительное значение: $C \approx 4.6 \cdot 3.14159 \approx 14.45 \text{ см}$

Площадь круга (A)

Площадь круга, ограниченного данной окружностью, вычисляется по формуле $A = \pi R^2$.

$A = \pi \cdot (2.3 \text{ см})^2 = \pi \cdot 5.29 \text{ см}^2 = 5.29\pi \text{ см}^2$

Приблизительное значение: $A \approx 5.29 \cdot 3.14159 \approx 16.62 \text{ см}^2$

Ответ: Для построения окружности необходимо отметить на плоскости центр M, затем с помощью циркуля, раствор которого установлен на 2.3 см, провести замкнутую линию вокруг этого центра.

120. Начертите окружность радиуса 3 см 2 мм с центром K.

Для того чтобы начертить окружность с радиусом 3 см 2 мм и центром в точке К, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль, линейку и карандаш.

Во-первых, переведем заданный радиус в одну единицу измерения для удобства. Учитывая, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, радиус $R$ можно выразить в сантиметрах или миллиметрах:

$R = 3 \text{ см } 2 \text{ мм} = 3 \text{ см} + \frac{2}{10} \text{ см} = 3.2 \text{ см}$.

$R = 3 \text{ см } 2 \text{ мм} = 3 \times 10 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 32 \text{ мм}$.

Во-вторых, на листе бумаги отметьте точку и обозначьте её буквой К. Эта точка будет центром окружности.

В-третьих, с помощью линейки установите раствор циркуля (расстояние между иглой и грифелем) равным 3.2 см (или 32 мм). Для этого поместите иглу циркуля на нулевую отметку линейки, а грифель карандаша — на деление, соответствующее 3.2 см.

В-четвертых, установите иглу циркуля в точку К и, не изменяя установленный раствор, плавно поверните циркуль, чтобы грифель начертил замкнутую линию.

В результате будет построена окружность с центром в точке К и радиусом 3 см 2 мм.

Ответ: Начерченная в соответствии с инструкцией окружность.

121. На клетчатой бумаге, не пользуясь линейкой, начертите окружность радиуса 2 см (длина стороны клетки равна 5 мм).

Для того чтобы начертить окружность на клетчатой бумаге без использования циркуля или линейки, необходимо сначала определить радиус окружности в клетках, а затем отметить ключевые точки на этом расстоянии от центра и соединить их плавной линией.

1. Определение радиуса в клетках

По условию, радиус окружности равен 2 см, а сторона одной клетки — 5 мм. Переведем радиус в миллиметры, чтобы единицы измерения совпадали.

В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому:

$R = 2 \text{ см} = 2 \times 10 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$

Теперь разделим радиус в миллиметрах на размер стороны клетки, чтобы найти радиус в клетках:

$R_{\text{клетки}} = \frac{20 \text{ мм}}{5 \text{ мм}} = 4 \text{ клетки}$

Итак, нам нужно начертить окружность с радиусом 4 клетки.

2. Построение окружности

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Выберите на пересечении линий сетки точку, которая будет центром окружности. Назовем ее точка О.
2. Отложите от точки О по 4 клетки в четырех основных направлениях (вверх, вниз, влево и вправо) и поставьте точки. Это будут четыре основные точки нашей окружности.
3. Для большей точности найдем дополнительные точки. Окружность описывается уравнением $x^2 + y^2 = R^2$, где $R=4$. Нам нужно найти пары целых чисел $(x, y)$, для которых $\sqrt{x^2 + y^2}$ будет близко к 4.
   • Рассмотрим точки, смещенные от центра на 3 клетки по горизонтали и 3 клетки по вертикали. Расстояние от центра до такой точки будет $\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} \approx 4.24$ клетки. Эти точки $(\pm3, \pm3)$ лежат очень близко к нашей окружности. Отметьте их.
4. Теперь у нас есть 8 точек (4 на осях и 4 по диагоналям). Соедините все отмеченные точки плавной, скругленной линией. Старайтесь, чтобы линия проходила на одинаковом расстоянии от центра.

Ниже приведена схема расположения точек для построения окружности с радиусом 4 клетки:

Ответ: Чтобы начертить окружность, нужно сначала рассчитать ее радиус в клетках, он равен 4. Затем выбрать центр на пересечении линий, отложить от него по 4 клетки вверх, вниз, влево и вправо, а также отметить точки, отстоящие от центра на 3 клетки по горизонтали и 3 по вертикали. После этого все отмеченные точки следует соединить плавной кривой.

122. На клетчатой бумаге, не пользуясь линейкой, начертите две окружности с общим центром радиуса 2 см 5 мм и 3 см 5 мм (длина стороны клетки равна 5 мм).

Для построения окружностей на клетчатой бумаге без линейки, мы будем использовать размер клетки в качестве единицы измерения. Сначала переведем заданные радиусы в миллиметры, а затем — в количество клеток.

1. Расчет радиусов в клетках

По условию, длина стороны одной клетки равна 5 мм.

Первый радиус $R_1 = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
Поскольку в 1 см 10 мм, то $R_1 = 2 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$.
Теперь выразим этот радиус в клетках: $25 \text{ мм} \div 5 \text{ мм/клетку} = 5$ клеток.

Второй радиус $R_2 = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
$R_2 = 3 \times 10 \text{ мм} + 5 \text{ мм} = 35 \text{ мм}$.
Выразим второй радиус в клетках: $35 \text{ мм} \div 5 \text{ мм/клетку} = 7$ клеток.

Таким образом, нам нужно начертить две окружности с общим центром и радиусами 5 клеток и 7 клеток.

2. Построение окружностей

1. Выберите точку на пересечении линий сетки. Это будет общий центр окружностей, обозначим его точкой O.

2. Построение первой окружности (радиус 5 клеток).
- От центра O отсчитайте по 5 клеток вверх, вниз, вправо и влево и поставьте четыре основные точки.
- Для большей точности можно найти дополнительные точки. Радиус в 5 клеток является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 клетки ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$). Поэтому можно найти еще 8 точек: от центра O отступите на 3 клетки по горизонтали и на 4 клетки по вертикали (и наоборот). Поставьте точки во всех четырех четвертях.
- Соедините все найденные 12 точек плавной линией, чтобы получилась окружность.

3. Построение второй окружности (радиус 7 клеток).
- Из того же центра O отсчитайте по 7 клеток вверх, вниз, вправо и влево и поставьте четыре точки.
- В отличие от радиуса в 5 клеток, для радиуса в 7 клеток нет других точек, которые бы точно попадали на пересечения линий сетки.
- Соедините эти четыре точки плавной кривой, стараясь сохранить одинаковое расстояние в 7 клеток от центра O.

В результате у вас получатся две концентрические окружности (окружности с общим центром).

Ответ: На клетчатой бумаге построены две окружности с общим центром. Радиус внутренней окружности равен 5 клеткам (25 мм), а радиус внешней окружности равен 7 клеткам (35 мм).

123. Начертите три окружности, имеющие общий центр, радиусы которых соответственно равны $2 \text{ см}$, $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$.

Для решения этой задачи необходимо построить три концентрические окружности. Концентрическими называются окружности, имеющие общий центр. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Порядок действий:

1. Отметьте на бумаге точку, которая будет общим центром окружностей. Обозначим её как точка $O$.
2. Используя линейку, установите на циркуле расстояние, равное радиусу первой окружности, $R_1 = 2$ см.
3. Поставьте ножку циркуля в центр $O$ и начертите первую окружность.
4. Измените расстояние на циркуле, установив его равным радиусу второй окружности, $R_2 = 3$ см.
5. Не смещая ножку циркуля из центра $O$, начертите вторую окружность.
6. Снова измените расстояние на циркуле, установив его равным радиусу третьей окружности, $R_3 = 4$ см.
7. Из того же центра $O$ начертите третью окружность.

В результате получится следующий чертеж:

Ответ: полученный чертеж представляет собой три окружности с общим центром и радиусами 2 см, 3 см и 4 см.

124. Отметьте две произвольные точки $A$ и $B$, измерьте расстояние между ними. Постройте окружность с центром $A$, проходящую через точку $B$, и окружность с центром $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из построенных окружностей? Отметьте точки пересечения окружностей. Каково расстояние от этих точек до центров окружностей?

Для решения этой задачи выполним следующие шаги:

1. Отметим на плоскости две произвольные точки $A$ и $B$.
2. С помощью линейки измерим расстояние между ними. Обозначим это расстояние как $d$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $d$, то есть $|AB| = d$.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. Эта окружность пройдет через точку $B$.
4. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $BA$. Эта окружность пройдет через точку $A$.
5. Отметим две точки, в которых эти окружности пересекаются. Назовем их $C$ и $D$.

Теперь ответим на вопросы задачи, основываясь на этих построениях.

Чему равен радиус каждой из построенных окружностей?

Радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки, лежащей на этой окружности.

Для первой окружности центром является точка $A$. По построению, она проходит через точку $B$. Следовательно, ее радиус $R_1$ равен расстоянию между точками $A$ и $B$, то есть $R_1 = |AB| = d$.

Для второй окружности центром является точка $B$. По построению, она проходит через точку $A$. Следовательно, ее радиус $R_2$ равен расстоянию между точками $B$ и $A$, то есть $R_2 = |BA| = d$.

Таким образом, радиусы обеих окружностей равны между собой и равны расстоянию между их центрами.

Ответ: радиус каждой из построенных окружностей равен расстоянию между точками $A$ и $B$.

Каково расстояние от этих точек до центров окружностей?

Пусть $C$ и $D$ — точки пересечения построенных окружностей.

Рассмотрим точку $C$. Так как точка $C$ лежит на первой окружности (с центром $A$), расстояние от нее до центра $A$ равно радиусу этой окружности: $|AC| = R_1 = |AB|$.

Так как точка $C$ также лежит на второй окружности (с центром $B$), расстояние от нее до центра $B$ равно радиусу этой окружности: $|BC| = R_2 = |BA|$.

Поскольку $|AB| = |BA|$, мы получаем, что $|AC| = |BC| = |AB|$. То есть, расстояние от точки пересечения $C$ до каждого из центров ($A$ и $B$) равно расстоянию между самими центрами.

Аналогичные рассуждения верны и для второй точки пересечения $D$. Она также лежит на обеих окружностях, поэтому расстояния от нее до центров $A$ и $B$ равны радиусам этих окружностей: $|AD| = |AB|$ и $|BD| = |BA|$.

Интересно отметить, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ являются равносторонними, так как все их стороны равны $|AB|$.

Ответ: расстояние от каждой из точек пересечения до каждого из центров окружностей ($A$ и $B$) равно первоначальному расстоянию между точками $A$ и $B$.

125. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 5 см. Постройте окружность радиуса 3 см с центром $A$ и окружность радиуса 4 см с центром $B$. Сколько существует точек пересечения окружностей? Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки $A$? до точки $B$?

Для решения задачи проанализируем взаимное расположение двух окружностей. Пусть расстояние между центрами окружностей A и B равно $d$, радиус первой окружности с центром A равен $r_A$, а радиус второй окружности с центром B равен $r_B$.

Из условия задачи нам известно:

• Длина отрезка AB: $d = 5$ см.
• Радиус окружности с центром A: $r_A = 3$ см.
• Радиус окружности с центром B: $r_B = 4$ см.

Сколько существует точек пересечения окружностей?

Две окружности пересекаются в двух различных точках, если расстояние между их центрами $d$ меньше суммы их радиусов ($r_A + r_B$), но больше модуля их разности ($|r_A - r_B|$). Проверим выполнение этого условия:

1. Найдем сумму радиусов: $r_A + r_B = 3 + 4 = 7$ см.

2. Найдем модуль разности радиусов: $|r_A - r_B| = |3 - 4| = |-1| = 1$ см.

3. Сравним расстояние между центрами $d=5$ см с полученными значениями. Получаем неравенство: $1 \text{ см} < 5 \text{ см} < 7 \text{ см}$.

Так как условие $ |r_A - r_B| < d < r_A + r_B $ выполняется, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: существует 2 точки пересечения.

Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки A? до точки B?

Пусть C и D — это две точки пересечения окружностей.

По определению окружности, любая точка, лежащая на ней, удалена от ее центра на расстояние, равное радиусу.

Поскольку точки C и D лежат на окружности с центром в точке A и радиусом 3 см, то расстояние от каждой из них до точки A равно 3 см. То есть, $AC = AD = 3$ см.

Аналогично, поскольку точки C и D лежат на окружности с центром в точке B и радиусом 4 см, то расстояние от каждой из них до точки B равно 4 см. То есть, $BC = BD = 4$ см.

Ответ: расстояние от каждой из точек пересечения до точки А равно 3 см, а до точки В — 4 см.