Номер 124, страница 35 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 5. Окружность и круг. Глава 1. Натуральные числа. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 124, страница 35.

124. Отметьте две произвольные точки $A$ и $B$, измерьте расстояние между ними. Постройте окружность с центром $A$, проходящую через точку $B$, и окружность с центром $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из построенных окружностей? Отметьте точки пересечения окружностей. Каково расстояние от этих точек до центров окружностей?

Для решения этой задачи выполним следующие шаги:

1. Отметим на плоскости две произвольные точки $A$ и $B$.
2. С помощью линейки измерим расстояние между ними. Обозначим это расстояние как $d$. Таким образом, длина отрезка $AB$ равна $d$, то есть $|AB| = d$.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. Эта окружность пройдет через точку $B$.
4. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $BA$. Эта окружность пройдет через точку $A$.
5. Отметим две точки, в которых эти окружности пересекаются. Назовем их $C$ и $D$.

Теперь ответим на вопросы задачи, основываясь на этих построениях.

Чему равен радиус каждой из построенных окружностей?

Радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки, лежащей на этой окружности.

Для первой окружности центром является точка $A$. По построению, она проходит через точку $B$. Следовательно, ее радиус $R_1$ равен расстоянию между точками $A$ и $B$, то есть $R_1 = |AB| = d$.

Для второй окружности центром является точка $B$. По построению, она проходит через точку $A$. Следовательно, ее радиус $R_2$ равен расстоянию между точками $B$ и $A$, то есть $R_2 = |BA| = d$.

Таким образом, радиусы обеих окружностей равны между собой и равны расстоянию между их центрами.

Ответ: радиус каждой из построенных окружностей равен расстоянию между точками $A$ и $B$.

Каково расстояние от этих точек до центров окружностей?

Пусть $C$ и $D$ — точки пересечения построенных окружностей.

Рассмотрим точку $C$. Так как точка $C$ лежит на первой окружности (с центром $A$), расстояние от нее до центра $A$ равно радиусу этой окружности: $|AC| = R_1 = |AB|$.

Так как точка $C$ также лежит на второй окружности (с центром $B$), расстояние от нее до центра $B$ равно радиусу этой окружности: $|BC| = R_2 = |BA|$.

Поскольку $|AB| = |BA|$, мы получаем, что $|AC| = |BC| = |AB|$. То есть, расстояние от точки пересечения $C$ до каждого из центров ($A$ и $B$) равно расстоянию между самими центрами.

Аналогичные рассуждения верны и для второй точки пересечения $D$. Она также лежит на обеих окружностях, поэтому расстояния от нее до центров $A$ и $B$ равны радиусам этих окружностей: $|AD| = |AB|$ и $|BD| = |BA|$.

Интересно отметить, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ являются равносторонними, так как все их стороны равны $|AB|$.

Ответ: расстояние от каждой из точек пересечения до каждого из центров окружностей ($A$ и $B$) равно первоначальному расстоянию между точками $A$ и $B$.