Номер 129, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

129. Постройте окружность, центр которой лежит на прямой, содержащей отрезки, изображённые на рисунке 59, и проходящей через один конец каждого из этих отрезков. Сколько решений имеет задача?

Рис. 59

По условию задачи, центр искомой окружности должен лежать на прямой, содержащей данные отрезки. Также окружность должна проходить через один конец первого отрезка и один конец второго отрезка.

Пусть прямая, на которой лежат отрезки, является осью координат. Обозначим концы левого отрезка как точки A и B, а правого — как C и D. Согласно рисунку, выберем начало отсчета и масштаб (длина стороны одной клетки) так, чтобы координаты концов отрезков были: A=2, B=5, C=7, D=9.

Если окружность проходит через две точки P и Q, а её центр O лежит на прямой PQ, то O является серединой отрезка PQ, а радиус равен половине длины этого отрезка. Рассмотрим все четыре возможные комбинации выбора точек.

1. Окружность проходит через точки A и C (левые концы отрезков).
Центр окружности $O_1$ является серединой отрезка AC. Его координата вычисляется как среднее арифметическое координат точек A и C:
$x_1 = \frac{2 + 7}{2} = 4,5$.
Радиус окружности $R_1$ равен расстоянию от центра $O_1$ до точки A (или C):
$R_1 = |4,5 - 2| = 2,5$.
Это первое решение.
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 4,5, радиус равен 2,5.

2. Окружность проходит через точки A и D (левый конец первого и правый конец второго).
Центр окружности $O_2$ является серединой отрезка AD. Его координата:
$x_2 = \frac{2 + 9}{2} = 5,5$.
Радиус окружности $R_2$ равен расстоянию от центра $O_2$ до точки A (или D):
$R_2 = |5,5 - 2| = 3,5$.
Это второе решение.
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 5,5, радиус равен 3,5.

3. Окружность проходит через точки B и C (правый конец первого и левый конец второго).
Центр окружности $O_3$ является серединой отрезка BC. Его координата:
$x_3 = \frac{5 + 7}{2} = 6$.
Радиус окружности $R_3$ равен расстоянию от центра $O_3$ до точки B (или C):
$R_3 = |6 - 5| = 1$.
Это третье решение.
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 6, радиус равен 1.

4. Окружность проходит через точки B и D (правые концы отрезков).
Центр окружности $O_4$ является серединой отрезка BD. Его координата:
$x_4 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Радиус окружности $R_4$ равен расстоянию от центра $O_4$ до точки B (или D):
$R_4 = |7 - 5| = 2$.
Это четвертое решение. (Заметим, что в этом случае центр окружности совпадает с точкой C).
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 7, радиус равен 2.

Всего существует четыре различных комбинации выбора конечных точек, и каждая из них приводит к уникальному решению, так как центры и радиусы всех четырех окружностей различны.
Ответ: задача имеет 4 решения.