Страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

126. Начертите окружность с центром $O$, радиус которой равен 3 см. Проведите луч с началом в точке $O$ и отметьте на нём точку $A$, удалённую от точки $O$ на 5 см. Проведите окружность с центром в точке $A$, радиус которой:

1) 2 см;

2) 2 см 5 мм;

3) 1 см 5 мм.

Сколько общих точек имеют окружности в каждом из этих случаев?

По условию задачи, у нас есть две окружности. Первая окружность имеет центр в точке $O$ и радиус $R_1 = 3$ см. Вторая окружность имеет центр в точке $A$. Расстояние между центрами окружностей $d = OA = 5$ см.

Количество общих точек двух окружностей зависит от соотношения между расстоянием $d$ между их центрами и суммой ($R_1 + R_2$) или разностью ($|R_1 - R_2|$) их радиусов.

• Если $d > R_1 + R_2$, окружности не пересекаются (0 точек).
• Если $d = R_1 + R_2$, окружности касаются внешне (1 точка).
• Если $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$, окружности пересекаются (2 точки).
• Если $d = |R_1 - R_2|$, окружности касаются внутренне (1 точка).
• Если $d < |R_1 - R_2|$, одна окружность находится внутри другой (0 точек).

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) Радиус второй окружности $R_2 = 2$ см.
Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 2 \text{ см} = 5$ см.
Расстояние между центрами $d = 5$ см.
Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются друг друга внешним образом в одной точке.
Ответ: 1 общая точка.

2) Радиус второй окружности $R_2 = 2 \text{ см } 5 \text{ мм} = 2,5$ см.
Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 5,5$ см.
Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |3 \text{ см} - 2,5 \text{ см}| = 0,5$ см.
Расстояние между центрами $d = 5$ см.
Проверяем условие: $0,5 \text{ см} < 5 \text{ см} < 5,5 \text{ см}$.
Так как выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2 общие точки.

3) Радиус второй окружности $R_2 = 1 \text{ см } 5 \text{ мм} = 1,5$ см.
Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 1,5 \text{ см} = 4,5$ см.
Расстояние между центрами $d = 5$ см.
Проверяем условие: $5 \text{ см} > 4,5 \text{ см}$.
Так как расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R_1 + R_2$), окружности расположены одна вне другой и не имеют общих точек.
Ответ: 0 общих точек.

127. Радиус окружности с центром A равен $9 \text{ см}$, а радиус окружности с центром B — $2 \text{ см}$ (рис. 57). Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Рис. 57

а

б

а)

На рисунке «а» показан случай внешнего касания двух окружностей. В этом случае расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов.
Пусть $R_A$ — радиус окружности с центром в точке A, а $R_B$ — радиус окружности с центром в точке B.
Согласно условию, $R_A = 9$ см и $R_B = 2$ см.
Расстояние между центрами (AB) вычисляется по формуле:
$AB = R_A + R_B$
$AB = 9 + 2 = 11$ см.
Ответ: 11 см.

б)

На рисунке «б» показан случай внутреннего касания двух окружностей. В этом случае расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов (из радиуса большей окружности вычитается радиус меньшей).
Пусть $R_A$ — радиус большей окружности с центром в точке A, а $R_B$ — радиус меньшей окружности с центром в точке B.
Согласно условию, $R_A = 9$ см и $R_B = 2$ см.
Расстояние между центрами (AB) вычисляется по формуле:
$AB = R_A - R_B$
$AB = 9 - 2 = 7$ см.
Ответ: 7 см.

128. На рисунке 58 $OC = 6 \text{ см}$, $BD = 25 \text{ мм}$. Найдите длину отрезка OK.

Рис. 58

Проанализируем условие задачи и представленный рисунок. Нам даны три окружности, две из которых (малые) касаются друг друга в точке K и касаются третьей (большой) окружности внутренним образом в точках C и D соответственно.

Точка O — центр одной из малых окружностей.
Точка B — центр другой малой окружности.

Рассмотрим отрезок OC. Он соединяет центр O малой окружности с точкой C на ее окружности (точка C является точкой касания, поэтому она принадлежит как большой, так и малой окружности). По определению, отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней, является радиусом. Таким образом, OC — это радиус окружности с центром в O.
Из условия задачи известно, что $OC = 6$ см. Следовательно, радиус окружности с центром в O равен 6 см.

Теперь рассмотрим отрезок OK, длину которого необходимо найти. Этот отрезок соединяет центр O с точкой K. Точка K — это точка касания двух малых окружностей, а значит, она лежит на окружности с центром O. Следовательно, отрезок OK также является радиусом этой окружности.

Так как все радиусы одной и той же окружности равны, мы можем заключить, что длина отрезка OK равна длине отрезка OC.
$OK = OC$

Подставляя известное значение, получаем:
$OK = 6$ см.

Информация о длине отрезка $BD = 25$ мм, который является радиусом второй малой окружности, для нахождения длины отрезка OK не требуется.

Ответ: 6 см.

129. Постройте окружность, центр которой лежит на прямой, содержащей отрезки, изображённые на рисунке 59, и проходящей через один конец каждого из этих отрезков. Сколько решений имеет задача?

Рис. 59

По условию задачи, центр искомой окружности должен лежать на прямой, содержащей данные отрезки. Также окружность должна проходить через один конец первого отрезка и один конец второго отрезка.

Пусть прямая, на которой лежат отрезки, является осью координат. Обозначим концы левого отрезка как точки A и B, а правого — как C и D. Согласно рисунку, выберем начало отсчета и масштаб (длина стороны одной клетки) так, чтобы координаты концов отрезков были: A=2, B=5, C=7, D=9.

Если окружность проходит через две точки P и Q, а её центр O лежит на прямой PQ, то O является серединой отрезка PQ, а радиус равен половине длины этого отрезка. Рассмотрим все четыре возможные комбинации выбора точек.

1. Окружность проходит через точки A и C (левые концы отрезков).
Центр окружности $O_1$ является серединой отрезка AC. Его координата вычисляется как среднее арифметическое координат точек A и C:
$x_1 = \frac{2 + 7}{2} = 4,5$.
Радиус окружности $R_1$ равен расстоянию от центра $O_1$ до точки A (или C):
$R_1 = |4,5 - 2| = 2,5$.
Это первое решение.
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 4,5, радиус равен 2,5.

2. Окружность проходит через точки A и D (левый конец первого и правый конец второго).
Центр окружности $O_2$ является серединой отрезка AD. Его координата:
$x_2 = \frac{2 + 9}{2} = 5,5$.
Радиус окружности $R_2$ равен расстоянию от центра $O_2$ до точки A (или D):
$R_2 = |5,5 - 2| = 3,5$.
Это второе решение.
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 5,5, радиус равен 3,5.

3. Окружность проходит через точки B и C (правый конец первого и левый конец второго).
Центр окружности $O_3$ является серединой отрезка BC. Его координата:
$x_3 = \frac{5 + 7}{2} = 6$.
Радиус окружности $R_3$ равен расстоянию от центра $O_3$ до точки B (или C):
$R_3 = |6 - 5| = 1$.
Это третье решение.
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 6, радиус равен 1.

4. Окружность проходит через точки B и D (правые концы отрезков).
Центр окружности $O_4$ является серединой отрезка BD. Его координата:
$x_4 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.
Радиус окружности $R_4$ равен расстоянию от центра $O_4$ до точки B (или D):
$R_4 = |7 - 5| = 2$.
Это четвертое решение. (Заметим, что в этом случае центр окружности совпадает с точкой C).
Ответ: центр окружности находится в точке с координатой 7, радиус равен 2.

Всего существует четыре различных комбинации выбора конечных точек, и каждая из них приводит к уникальному решению, так как центры и радиусы всех четырех окружностей различны.
Ответ: задача имеет 4 решения.