Страница 29 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. О каких геометрических фигурах вы узнали в этом параграфе?

В этом параграфе были изучены основные (простейшие) геометрические фигуры, которые являются строительными блоками для всей геометрии. Ниже приведено их описание.

Точка
Это самая основная геометрическая фигура. Она не имеет никаких размеров: ни длины, ни ширины, ни высоты. Точка лишь указывает на положение в пространстве. Точки принято обозначать заглавными латинскими буквами. Например, точка А, точка В.

Прямая
Это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, то есть она бесконечна в обе стороны. Через любые две точки можно провести только одну прямую. Прямые обозначают либо одной строчной латинской буквой (например, прямая a), либо двумя заглавными буквами, обозначающими точки, лежащие на этой прямой (например, прямая АВ).

Отрезок
Это часть прямой, которая ограничена двумя точками. Эти точки называют концами отрезка. В отличие от прямой, отрезок имеет конечную длину, которую можно измерить. Отрезок обозначают по его концам. Например, отрезок CD.

Луч
Это часть прямой, у которой есть начальная точка, но нет конца. Луч уходит в бесконечность в одном направлении от своей начальной точки. Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами: первая указывает на его начало, а вторая – на любую другую точку, лежащую на луче. Например, луч ОК.

Плоскость
Это идеально ровная, гладкая поверхность, которая простирается бесконечно во все стороны. Примером части плоскости может служить поверхность стола или лист бумаги. Плоскости обычно обозначают греческими буквами, например: $\alpha, \beta, \gamma$.

Ответ: В этом параграфе были изучены следующие геометрические фигуры: точка, прямая, отрезок, луч и плоскость.

2. Какие природные объекты могут давать наглядное представление о плоскости?

В геометрии плоскость — это абстрактное, идеализированное понятие, представляющее собой бесконечную, идеально ровную поверхность, не имеющую толщины. В природе мы можем найти лишь объекты, которые дают наглядное, но приближенное представление о части плоскости. К таким природным объектам можно отнести:

• Поверхность спокойной воды. Водная гладь озера, пруда или моря в безветренную погоду является одним из самых точных природных аналогов плоскости. Сила тяжести выравнивает поверхность жидкости, делая ее горизонтальной и гладкой.
• Ледяная гладь. Подобно поверхности воды, ровная поверхность льда на замерзшем озере или реке также представляет собой наглядную модель плоскости.
• Ровные участки суши. Обширные пустыни, солончаки (например, высохшее соляное озеро Уюни в Боливии) или степи могут простираться на многие километры, создавая впечатление почти идеальной плоскости.
• Грани природных кристаллов. Многие минералы в природе, такие как кварц, слюда или галит (каменная соль), образуют кристаллы с очень плоскими и гладкими гранями. Каждая такая грань является отличным примером участка плоскости.

Ответ: Наглядное представление о плоскости могут давать такие природные объекты, как поверхность спокойной воды (озера, пруда), ледяная гладь, ровные участки пустыни или степи, а также грани природных кристаллов.

3. Сколько прямых проходит через две точки?

Этот вопрос является одним из фундаментальных в евклидовой геометрии. Ответ на него формулируется в виде аксиомы, то есть утверждения, принимаемого без доказательства.

Аксиома принадлежности прямой гласит: через любые две различные точки проходит прямая, и притом только одна.

Это означает, что если у нас есть две точки, например, точка А и точка В, то мы можем провести через них ровно одну прямую линию. Невозможно провести вторую, третью или любое другое количество прямых линий через те же самые две точки. Любая другая линия, соединяющая эти точки, будет уже не прямой, а кривой.

Можно представить это наглядно: приложив линейку к двум точкам на листе бумаги, вы сможете начертить только одну-единственную прямую линию, которая их соединит.

Ответ: Через две точки проходит только одна прямая.

4. Как обозначают прямую?

Как обозначают прямую?

В геометрии существует два общепринятых способа обозначения прямой линии.

1. Одной строчной латинской буквой.
Прямую можно назвать любой строчной (маленькой) буквой латинского алфавита. Например, прямая $a$, прямая $b$ или прямая $c$. На чертеже эта буква пишется рядом с линией.

2. Двумя прописными латинскими буквами.
Этот способ используется, когда на прямой отмечены две точки. Прямую называют по именам этих точек, которые обозначаются прописными (большими) буквами. Например, если на прямой лежат точки $A$ и $B$, то прямую можно назвать $AB$ или $BA$. Порядок букв в этом случае не имеет значения.

Ответ: Прямую обозначают либо одной строчной латинской буквой (например, $a$), либо двумя прописными латинскими буквами, соответствующими двум точкам на этой прямой (например, $AB$).

5. Как называют части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой? Как при этом называют эту точку?

Как называют части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой?

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца, она бесконечна в обе стороны. Когда на прямой отмечается любая точка, она разделяет эту прямую на две части. Каждая такая часть, которая начинается в данной точке и уходит в бесконечность в одном направлении, называется лучом (или полупрямой). Таким образом, любая точка делит прямую на два луча, которые направлены в противоположные стороны.

Ответ: лучи (или полупрямые).

Как при этом называют эту точку?

Точка, которая делит прямую, является общей для двух образовавшихся лучей. Эту точку называют началом этих лучей или их граничной точкой. У каждого луча есть только одна начальная точка, и в данном случае эта точка является началом для обоих лучей.

Ответ: начало лучей (или граничная точка).

6. Как обозначают луч?

В геометрии луч (или полупрямая) — это часть прямой линии, которая имеет начальную точку и не имеет конца, то есть она бесконечна только в одном направлении.

Существует два основных способа обозначения луча:

1. Обозначение двумя заглавными буквами.
Это самый распространенный способ. Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами. На первом месте всегда ставится точка, которая является началом луча. На втором месте — любая другая точка, лежащая на этом луче и задающая его направление. Например, луч с началом в точке $A$ и проходящий через точку $B$ обозначается как $AB$.
Крайне важно помнить, что порядок букв имеет значение. Луч $AB$ и луч $BA$ — это два совершенно разных луча. Луч $BA$ начинается в точке $B$ и проходит через точку $A$.

2. Обозначение одной строчной буквой.
Иногда, для удобства, луч могут обозначать одной строчной (маленькой) латинской буквой. Например, луч $a$ или луч $k$. Этот способ используется, когда не требуется указывать конкретные точки на луче, а важно лишь выделить сам луч как геометрический объект.

Пример:
Представим прямую, на которой лежат три точки $C$, $O$, $D$ в указанном порядке. Луч $OD$ начинается в точке $O$ и проходит через точку $D$. Луч $OC$ также начинается в точке $O$, но направлен в противоположную сторону, через точку $C$. Лучи $OC$ и $OD$ вместе образуют прямую $CD$.

Ответ: Луч обозначают двумя заглавными латинскими буквами, например $AB$, где точка $A$ — начало луча, а $B$ — любая другая точка на луче. Также возможно обозначение одной строчной латинской буквой, например $a$.

1. Вычислите:

1) $312 \cdot 10$; 4) $720 : 9$; 7) $480 : 60$;

2) $5 \cdot 1000$; 5) $480 : 4$; 8) $1212 : 12$;

3) $100 \cdot 10000$; 6) $480 : 16$; 9) $1010 : 5$.

1) Чтобы умножить натуральное число на 10, достаточно приписать к этому числу справа один ноль.

$312 \cdot 10 = 3120$

Ответ: $3120$.

2) Чтобы умножить натуральное число на 1000, достаточно приписать к этому числу справа три ноля.

$5 \cdot 1000 = 5000$

Ответ: $5000$.

3) Чтобы перемножить $100$ и $10\;000$, нужно записать единицу, а после неё столько нулей, сколько их в обоих множителях вместе. В числе $100$ два ноля, в числе $10\;000$ — четыре ноля, итого $2+4=6$ нулей.

$100 \cdot 10\;000 = 1\;000\;000$

Ответ: $1\;000\;000$.

4) Для того чтобы разделить $720$ на $9$, можно представить $720$ как $72 \cdot 10$. Тогда выражение примет вид $(72 \cdot 10) : 9$. Пользуясь свойством деления, получим $(72 : 9) \cdot 10$.

$720 : 9 = (72 : 9) \cdot 10 = 8 \cdot 10 = 80$

Ответ: $80$.

5) Разделим $480$ на $4$. Для этого сначала разделим $48$ на $4$, а затем умножим результат на $10$.

$480 : 4 = (48 : 4) \cdot 10 = 12 \cdot 10 = 120$

Ответ: $120$.

6) Разделим $480$ на $16$. Для этого сначала разделим $48$ на $16$, а затем умножим результат на $10$.

$480 : 16 = (48 : 16) \cdot 10 = 3 \cdot 10 = 30$

Ответ: $30$.

7) При делении числа, оканчивающегося нулём ($480$), на число, оканчивающееся нулём ($60$), можно отбросить по одному нулю в делимом и делителе и выполнить деление полученных чисел.

$480 : 60 = 48 : 6 = 8$

Ответ: $8$.

8) Для деления $1212$ на $12$ представим делимое в виде суммы слагаемых, каждое из которых легко делится на $12$. $1212 = 1200 + 12$.

$1212 : 12 = (1200 + 12) : 12 = 1200 : 12 + 12 : 12 = 100 + 1 = 101$

Ответ: $101$.

9) Для деления $1010$ на $5$ представим делимое в виде суммы слагаемых, каждое из которых легко делится на $5$. $1010 = 1000 + 10$.

$1010 : 5 = (1000 + 10) : 5 = 1000 : 5 + 10 : 5 = 200 + 2 = 202$

Ответ: $202$.

2. Около школы растут берёзы и тополя, причём берёз восемь, а тополей на 16 больше. Сколько всего деревьев растёт около школы? Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

Сколько всего деревьев растёт около школы?

1. Сначала найдём количество тополей. По условию, их на 16 больше, чем берёз. Количество берёз — 8. Чтобы найти количество тополей, нужно к количеству берёз прибавить 16.

$8 + 16 = 24$ (тополя)

2. Теперь, зная количество берёз (8) и тополей (24), найдём общее количество деревьев, сложив эти два числа.

$8 + 24 = 32$ (дерева)

Ответ: 32 дерева.

Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

Чтобы узнать, во сколько раз одно число меньше другого, нужно большее число разделить на меньшее. В данном случае разделим количество тополей (24) на количество берёз (8).

$24 / 8 = 3$ (раза)

Ответ: в 3 раза.

3. В 10 ч утра со станции отправился поезд со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии от станции будет поезд в 15 ч того же дня, если будет двигаться с этой же скоростью и без остановок?

Чтобы найти расстояние, которое проехал поезд, необходимо сначала определить, сколько времени он находился в пути, а затем умножить это время на его скорость.

1. Найдем время в пути.
Поезд отправился в 10 ч, а интересующее нас время — 15 ч. Чтобы найти, сколько времени поезд был в движении ($t$), вычтем из конечного времени начальное:
$t = 15\ ч - 10\ ч = 5\ ч$

2. Найдем расстояние.
Расстояние ($S$) вычисляется по формуле: $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.Скорость поезда по условию задачи составляет $v = 60$ км/ч.
Теперь подставим известные значения в формулу:
$S = 60\ км/ч \cdot 5\ ч = 300\ км$

Ответ: в 15 ч поезд будет на расстоянии 300 км от станции.

4. Таня и Миша учатся в одной школе. Таня живёт в доме около одной конечной остановки автобуса, а Миша — в доме около другой конечной остановки этого же маршрута. Когда они едут в школу, то Таня выходит на пятой остановке, а Миша — на седьмой. Сколько всего остановок на этом маршруте?

Для решения задачи представим весь маршрут автобуса как одну линию остановок, идущих от конечной станции, где живет Таня, до конечной станции, где живет Миша.

Путь Тани от ее дома до школы состоит из 5 остановок (включая остановку посадки и остановку выхода).

Путь Миши от его дома, который находится на другом конце маршрута, до той же школы состоит из 7 остановок.

Весь маршрут можно представить как объединение пути Тани и пути Миши. Остановка "Школа" является общей для обоих путей. Если мы просто сложим количество остановок в их путях ($5 + 7$), то мы посчитаем общую остановку "Школа" дважды. Поэтому, чтобы найти итоговое количество остановок на маршруте, нужно из полученной суммы вычесть 1.

Выполним вычисление: $5 + 7 - 1 = 11$

Таким образом, всего на маршруте 11 остановок.

Для проверки можно пронумеровать остановки от 1 до 11. Пусть Таня садится на остановке №1. Тогда пятая по счету остановка для нее будет иметь номер 5. Это и есть школа. Миша садится на противоположной конечной, то есть на остановке №11. Посчитаем его остановки в обратном порядке: 11 (первая для него), 10 (вторая), 9 (третья), 8 (четвертая), 7 (пятая), 6 (шестая), 5 (седьмая). Он выходит на седьмой по счету остановке, и это та же самая остановка №5. Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 11.

93. Какие из точек, изображённых на рисунке 42, принадлежат прямой $a$, а какие не принадлежат?

Рис. 42

$F$

$D$

$A$

$B$

$a$

$C$

$M$

Точки, принадлежащие прямой a

Прямой принадлежат те точки, которые на ней лежат. На рисунке 42 видно, что на прямой a находятся точки A и B. В геометрии это обозначается символом $ \in $ (принадлежит). Таким образом, можно записать: $ A \in a $ и $ B \in a $.
Ответ: Точки A и B.

Точки, не принадлежащие прямой a

Точки, которые не лежат на прямой, ей не принадлежат. На рисунке 42 точки D, C, F и M расположены вне прямой a. Этот факт записывается с помощью символа $ \notin $ (не принадлежит). Таким образом: $ D \notin a $, $ C \notin a $, $ F \notin a $, $ M \notin a $.
Ответ: Точки D, C, F, M.

94. Отметьте в тетради точки $M$ и $K$ и проведите через них прямую. Отметьте на отрезке $MK$ точку $N$. Принадлежит ли точка $N$ прямой $MK$? Отметьте на прямой $MK$ точку $P$, лежащую вне отрезка $MK$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Сначала выполним построение по шагам.

1. Отметим в произвольных местах две точки и назовем их M и K.

2. С помощью линейки проведем через эти две точки прямую. Согласно аксиоме, через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

3. На отрезке MK (часть прямой между точками M и K, включая сами точки) отметим точку N.

Принадлежит ли точка N прямой МК?
Да, точка N принадлежит прямой MK. Отрезок MK является частью (подмножеством) прямой MK. Если точка лежит на отрезке, то она обязательно лежит и на прямой, которая содержит этот отрезок. Математически это можно записать так: если $N \in [MK]$, то $N \in MK$.
Ответ: Да, принадлежит.

4. Теперь отметим на прямой MK точку P, которая лежит вне отрезка MK. Это означает, что точка P находится на прямой, но не между точками M и K. Например, она может лежать на прямой "левее" точки M или "правее" точки K. Таким образом, на одной прямой у нас теперь расположены четыре точки: M, K, N, P.

Запишите все возможные обозначения этой прямой.
Прямую можно обозначать любыми двумя точками, лежащими на ней. На нашей прямой лежат четыре точки: M, K, N, P. Мы можем составить пары из этих точек для обозначения прямой. Порядок букв в обозначении прямой не важен (прямая MK и прямая KM — это одна и та же прямая), но они являются разными вариантами записи. Перечислим все возможные записи:

• Начинающиеся с M: MK, MN, MP
• Начинающиеся с K: KM, KN, KP
• Начинающиеся с N: NM, NK, NP
• Начинающиеся с P: PM, PK, PN

Всего получается 12 различных вариантов записи для одной и той же прямой.
Ответ: MK, KM, MN, NM, MP, PM, KN, NK, KP, PK, NP, PN.

95. Проведите произвольную прямую и отметьте на ней точки $A, B$ и $C$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Сначала проведем произвольную прямую линию и отметим на ней три точки: A, B и C.

Согласно аксиомам геометрии, прямую можно однозначно определить (и, соответственно, обозначить) любыми двумя различными точками, которые на ней лежат. Порядок этих точек в названии не имеет значения, то есть прямая AB и прямая BA — это одна и та же прямая. Однако AB и BA являются разными формами записи, то есть разными обозначениями.

Чтобы найти все возможные обозначения нашей прямой, нам нужно составить все возможные упорядоченные пары из точек A, B и C.

1. Выберем точки A и B. Из них можно составить два обозначения: AB и BA.

2. Выберем точки A и C. Из них можно составить два обозначения: AC и CA.

3. Выберем точки B и C. Из них можно составить два обозначения: BC и CB.

Таким образом, всего существует 6 различных способов обозначить данную прямую с помощью трех точек, лежащих на ней.

Ответ: AB, BA, AC, CA, BC, CB.