Страница 24 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

79. Известно, что $MF = 30 \text{ см}$, $ME = 18 \text{ см}$, $KF = 22 \text{ см}$ (рис. 32).

Найдите длину отрезка $KE$.

Рис. 32

По условию задачи нам даны длины трех отрезков, расположенных на одной прямой: $MF = 30$ см, $ME = 18$ см и $KF = 22$ см. Необходимо найти длину отрезка KE.

Отрезок KE является общей частью (пересечением) отрезков ME и KF. Если мы сложим длины отрезков ME и KF, то длина отрезка KE будет учтена дважды, а длины крайних отрезков MK и EF — по одному разу.

Сумма длин $ME + KF$ покрывает весь отрезок $MF$ и дополнительно еще раз отрезок $KE$. Это можно записать в виде формулы: $ME + KF = MF + KE$

Чтобы найти длину неизвестного отрезка KE, выразим его из этой формулы: $KE = ME + KF - MF$

Теперь подставим в формулу известные значения длин отрезков: $KE = 18 \text{ см} + 22 \text{ см} - 30 \text{ см}$

Выполним вычисления: $KE = 40 \text{ см} - 30 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

80. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 33, а.

5 мм

а

Чтобы найти длину ломаной, нужно сложить длины всех её звеньев. Из рисунка мы можем определить длину каждого звена в клетках и затем, используя масштаб, перевести её в миллиметры.

1. Определение масштаба. На рисунке указано, что отрезок, равный стороне одной клетки, имеет длину 5 мм. Следовательно, 1 клетка = 5 мм.

2. Измерение длины звеньев ломаной в клетках. Двигаясь от внешнего конца ломаной к её центру, последовательно измерим длину каждого звена:

• Первое звено (самое длинное, горизонтальное) = 5 клеток.
• Второе звено (вертикальное) = 4 клетки.
• Третье звено (горизонтальное) = 4 клетки.
• Четвертое звено (вертикальное) = 3 клетки.
• Пятое звено (горизонтальное) = 3 клетки.
• Шестое звено (вертикальное) = 2 клетки.
• Седьмое звено (горизонтальное) = 2 клетки.
• Восьмое звено (вертикальное) = 1 клетка.
• Девятое звено (горизонтальное) = 1 клетка.

3. Вычисление общей длины ломаной в клетках. Сложим длины всех звеньев:

$L_{клетки} = 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$L_{клетки} = 5 + (4+4) + (3+3) + (2+2) + (1+1) = 5 + 8 + 6 + 4 + 2 = 25$ клеток.

4. Перевод общей длины в миллиметры. Умножим общую длину в клетках на масштаб:

$L_{мм} = L_{клетки} \times 5 \text{ мм/клетка}$

$L_{мм} = 25 \times 5 = 125 \text{ мм}$.

Ответ: 125 мм.

81. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 33, б.

Рис. 33

a

5 мм

б

4 мм

Хотя в вопросе указано вычислить длину ломаной только для рисунка б, для полноты приведем решение для обоих случаев.

а

На рисунке а изображена ломаная линия, состоящая из горизонтальных и вертикальных отрезков, длина которых кратна стороне клетки. Из условия видно, что длина стороны одной клетки составляет 5 мм. Чтобы найти общую длину ломаной, нужно посчитать суммарную длину всех ее звеньев в клетках и умножить на 5 мм.
Двигаясь от внешнего конца ломаной к внутреннему, последовательно запишем длины ее звеньев в клетках: 6, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1.
Найдем их сумму:
$L_{клетки} = 6 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 = 35$ клеток.
Теперь вычислим общую длину ломаной в миллиметрах, умножив количество клеток на длину стороны одной клетки:
$L_{мм} = 35 \cdot 5 = 175$ мм.

Ответ: 175 мм.

б

На рисунке б ломаная линия состоит из отрезков, являющихся диагоналями клеток. Из условия известно, что длина диагонали одной клетки равна 4 мм. Чтобы найти общую длину ломаной, нужно посчитать суммарную длину всех ее звеньев в диагоналях и умножить на 4 мм.
Двигаясь от внешнего конца ломаной к внутреннему, последовательно запишем длины ее звеньев в диагоналях клеток: 5, 5, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1.
Найдем их сумму:
$L_{диагонали} = 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 = 29$ диагоналей.
Теперь вычислим общую длину ломаной в миллиметрах, умножив количество диагоналей на длину одной диагонали:
$L_{мм} = 29 \cdot 4 = 116$ мм.

Ответ: 116 мм.

82. Точка C принадлежит отрезку $AB$, длина отрезка $AC$ равна 15 см, а отрезок $AB$ на 5 см больше отрезка $AC$. Чему равна длина отрезка $BC$? Есть ли в условии задачи лишние данные?

Чему равна длина отрезка BC?

Согласно условию, точка С принадлежит отрезку AB. Это означает, что длина отрезка AB является суммой длин отрезков AC и BC. Математически это можно выразить так:
$AB = AC + BC$

Также в условии сказано, что отрезок AB на 5 см больше отрезка AC. Запишем это в виде уравнения:
$AB = AC + 5$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (это длина отрезка AB), мы можем приравнять их правые части:
$AC + BC = AC + 5$

Теперь, чтобы найти длину BC, вычтем из обеих частей равенства длину AC:
$BC = 5$ см

Ответ: длина отрезка BC равна 5 см.

Есть ли в условии задачи лишние данные?

Да, в условии задачи есть лишние данные.

Как видно из решения выше, для нахождения длины отрезка BC мы использовали только два факта:
1. Точка C лежит на отрезке AB ($AB = AC + BC$).
2. Отрезок AB на 5 см больше отрезка AC ($AB = AC + 5$).

Информация о том, что "длина отрезка AC равна 15 см", не была использована для нахождения длины BC. Это данное является избыточным (лишним) для ответа на основной вопрос задачи.

Ответ: да, лишними данными является информация о том, что длина отрезка AC равна 15 см.

83. Известно, что $KP = PE = EF = FT = 2 \text{ см}$ (рис. 34). Какие ещё равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

Рис. 34

По условию задачи даны четыре равных отрезка: $KP = PE = EF = FT = 2$ см. Точки K, P, E, F, T лежат на одной прямой в указанном порядке. Чтобы найти другие равные отрезки, нужно рассмотреть отрезки, которые являются комбинацией этих четырех.

Отрезки, состоящие из двух частей

Найдем длины отрезков, составленных из двух смежных частей по 2 см:

• Длина отрезка KE равна сумме длин отрезков KP и PE: $KE = KP + PE = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
• Длина отрезка PF равна сумме длин отрезков PE и EF: $PF = PE + EF = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
• Длина отрезка ET равна сумме длин отрезков EF и FT: $ET = EF + FT = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Следовательно, мы нашли первую группу равных отрезков: KE, PF и ET. Их длина составляет 4 см.
Ответ: $KE = PF = ET = 4$ см.

Отрезки, состоящие из трех частей

Найдем длины отрезков, составленных из трех смежных частей по 2 см:

• Длина отрезка KF равна сумме длин отрезков KP, PE и EF: $KF = KP + PE + EF = 2 + 2 + 2 = 6 \text{ см}$.
• Длина отрезка PT равна сумме длин отрезков PE, EF и FT: $PT = PE + EF + FT = 2 + 2 + 2 = 6 \text{ см}$.

Следовательно, мы нашли вторую группу равных отрезков: KF и PT. Их длина составляет 6 см.
Ответ: $KF = PT = 6$ см.

84. На первом отрезке отметили семь точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, а на втором — десять точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Расстояние между какими крайними точками больше: лежащими на первом отрезке или лежащими на втором отрезке?

Для того чтобы определить, на каком отрезке расстояние между крайними точками больше, необходимо вычислить это расстояние для каждого из двух случаев.

Расстояние между крайними точками на первом отрезке

На первом отрезке отмечено 7 точек. Количество промежутков между $n$ точками, расположенными на одной прямой, равно $n-1$. Следовательно, между семью точками находится $7 - 1 = 6$ промежутков. Поскольку расстояние между любыми соседними точками составляет 3 см, общее расстояние между крайними точками (т.е. длина отрезка, ограниченного этими точками) равно произведению количества промежутков на их длину:

$L_1 = (7 - 1) \times 3 \text{ см} = 6 \times 3 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Расстояние между крайними точками на втором отрезке

На втором отрезке отмечено 10 точек. Аналогично первому случаю, количество промежутков между ними равно $10 - 1 = 9$. Расстояние между соседними точками на этом отрезке равно 2 см. Вычислим расстояние между крайними точками:

$L_2 = (10 - 1) \times 2 \text{ см} = 9 \times 2 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Сравнение расстояний

Сравнивая полученные значения, мы видим, что расстояние между крайними точками на первом отрезке ($18$ см) равно расстоянию между крайними точками на втором отрезке ($18$ см).

Ответ: Расстояния между крайними точками на первом и втором отрезках равны.

85. Известно, что $AE = 12$ см, $AQ = QB$, $BM = MC$, $CK = KD$, $DR = RE$, $MK = 4$ см (рис. 35). Найдите длину отрезка $QR$.

Рис. 35

A Q B M C K D R E

По условию задачи, точки Q, M, K, R являются серединами отрезков AB, BC, CD и DE соответственно. Это означает, что:
$AQ = QB$
$BM = MC$
$CK = KD$
$DR = RE$

Длина всего отрезка AE может быть выражена как сумма длин составляющих его отрезков AB, BC, CD и DE:
$AE = AB + BC + CD + DE$

Используя свойство середин отрезков, выразим длины этих отрезков через их половины:
$AB = AQ + QB = 2 \cdot QB$
$BC = BM + MC = 2 \cdot MC$
$CD = CK + KD = 2 \cdot KD$
$DE = DR + RE = 2 \cdot DR$

Подставим эти выражения в формулу для длины AE и используем известное значение $AE = 12$ см:
$AE = 2 \cdot QB + 2 \cdot MC + 2 \cdot KD + 2 \cdot DR = 2 \cdot (QB + MC + KD + DR)$
$12 = 2 \cdot (QB + MC + KD + DR)$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$QB + MC + KD + DR = 6$ см. (1)

Теперь выразим длину искомого отрезка QR. Отрезок QR состоит из отрезков QB, BC, CD и DR:
$QR = QB + BC + CD + DR$

Заменим отрезки BC и CD на удвоенные длины их половин MC и CK (так как из $CK=KD$ следует $CD=2 \cdot CK$):
$QR = QB + (2 \cdot MC) + (2 \cdot CK) + DR = QB + DR + 2 \cdot (MC + CK)$

По условию, длина отрезка MK равна 4 см. Отрезок MK состоит из отрезков MC и CK:
$MK = MC + CK = 4$ см.

Подставим значение MK в выражение для QR:
$QR = QB + DR + 2 \cdot MK = QB + DR + 2 \cdot 4 = (QB + DR) + 8$

Для того чтобы найти QR, нам нужно найти сумму $QB + DR$. Вернемся к уравнению (1):
$QB + MC + KD + DR = 6$
Сгруппируем слагаемые: $(QB + DR) + (MC + KD) = 6$.

Мы знаем, что $CK = KD$ и $MC + CK = 4$ см. Заменив в последнем равенстве CK на KD, получим:
$MC + KD = 4$ см.

Теперь подставим это значение в сгруппированное уравнение:
$(QB + DR) + 4 = 6$
Отсюда находим сумму $QB + DR$:
$QB + DR = 6 - 4 = 2$ см.

Наконец, подставим найденное значение в формулу для QR:
$QR = (QB + DR) + 8 = 2 + 8 = 10$ см.

Ответ: 10 см.