Страница 30 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

96. Рассмотрите рисунок 43. Верно ли утверждение:

1) точка $Q$ принадлежит отрезку $ME$;

2) точка $Q$ принадлежит лучу $EF$;

3) точка $Q$ принадлежит лучу $FE$;

4) точка $E$ принадлежит лучу $MF$ и лучу $FM$;

5) точка $M$ принадлежит отрезку $QE$;

6) точка $M$ принадлежит прямой $QE$?

Рис. 43

1) точка Q принадлежит отрезку ME

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Отрезок ME включает в себя точки M и E, а также все точки, расположенные между ними. Судя по рисунку 43, точка Q как раз находится между точками M и E. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

2) точка Q принадлежит лучу EF

Луч EF начинается в точке E и продолжается бесконечно в направлении точки F. Он включает в себя точку E и все точки прямой, лежащие с той же стороны от E, что и точка F. На рисунке точка Q находится с противоположной стороны от точки E по отношению к точке F. Следовательно, точка Q не принадлежит лучу EF. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) точка Q принадлежит лучу FE

Луч FE начинается в точке F и продолжается бесконечно в направлении точки E. Он включает в себя точку F и все точки прямой, лежащие с той же стороны от F, что и точка E. На рисунке видно, что точки Q и M лежат на этом луче. Следовательно, точка Q принадлежит лучу FE. Утверждение верно.
Ответ: верно.

4) точка E принадлежит лучу MF и лучу FM

Рассмотрим оба луча по отдельности. Луч MF начинается в точке M и идет в направлении точки F. Точка E лежит на этом луче. Луч FM начинается в точке F и идет в направлении точки M. Точка E также лежит на этом луче, так как она находится между F и M. Поскольку точка E принадлежит и лучу MF, и лучу FM, утверждение верно.
Ответ: верно.

5) точка M принадлежит отрезку QE

Отрезок QE — это часть прямой, ограниченная точками Q и E. На рисунке видно, что точка M не лежит между точками Q и E. Следовательно, точка M не принадлежит отрезку QE. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

6) точка M принадлежит прямой QE

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца. Прямая QE проходит через точки Q и E и продолжается бесконечно в обе стороны. На рисунке 43 все четыре точки (M, Q, E, F) лежат на одной прямой. Следовательно, точка M принадлежит прямой QE. Утверждение верно.
Ответ: верно.

97. Начертите луч $OA$ и отложите на нём отрезки $OB, BC, CD$ и $DE$, длина каждого из которых равна $1 \text{ см}$. Можно ли на этом луче отложить $100$ таких отрезков?

Для выполнения первой части задания нужно начертить луч с началом в точке O. Затем на этом луче последовательно отложить четыре отрезка, каждый длиной 1 см.
1. От точки O откладываем 1 см и ставим точку B. Получаем отрезок OB, длина которого $|OB| = 1$ см.
2. От точки B откладываем 1 см в том же направлении и ставим точку C. Получаем отрезок BC, длина которого $|BC| = 1$ см. Расстояние от начала луча до точки C будет равно $|OC| = |OB| + |BC| = 1 + 1 = 2$ см.
3. От точки C откладываем 1 см и ставим точку D. Длина отрезка $|CD| = 1$ см. Расстояние от начала луча до точки D: $|OD| = |OC| + |CD| = 2 + 1 = 3$ см.
4. От точки D откладываем 1 см и ставим точку E. Длина отрезка $|DE| = 1$ см. Расстояние от начала луча до точки E: $|OE| = |OD| + |DE| = 3 + 1 = 4$ см.

Можно ли на этом луче отложить 100 таких отрезков?
По определению, луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца. Он простирается бесконечно в одном направлении. Чтобы отложить 100 отрезков, каждый из которых имеет длину 1 см, потребуется участок луча общей длиной:
$L = 100 \times 1 \text{ см} = 100 \text{ см}$.
Поскольку 100 см — это конечная длина, а луч бесконечен, на нем можно отложить любое конечное количество отрезков заданной длины, в том числе и 100.
Ответ: Да, можно.

98. Пересекаются ли изображённые на рисунке 44:

1) прямая $CE$ и отрезок $AB$?

2) луч $OK$ и прямая $CE$?

3) луч $OK$ и отрезок $AB$?

Рис. 44

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения основных геометрических фигур:

• Прямая — линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.
• Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концами отрезка).
• Луч — часть прямой, которая имеет начальную точку и не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону.

Проанализируем каждую пару фигур, изображенных на рисунке 44.

1) прямая СЕ и отрезок АВ
Отрезок АВ имеет конечную длину и ограничен точками А и В. Прямая СЕ проходит через точки С и Е и продолжается бесконечно в обе стороны. Если мысленно продолжить изображенный на рисунке отрезок СЕ до прямой, то эта прямая пересечет отрезок АВ.
Ответ: да, пересекаются.

2) луч ОК и прямая СЕ
Луч ОК начинается в точке О и продолжается бесконечно в направлении точки К (вниз). Прямая СЕ бесконечна в обе стороны. Если мысленно продолжить луч ОК за точку К и прямую СЕ за точку Е, то видно, что они не параллельны и обязательно пересекутся в некоторой точке. Эта точка будет принадлежать как лучу ОК, так и прямой СЕ.
Ответ: да, пересекаются.

3) луч ОК и отрезок АВ
Луч ОК начинается в точке О и уходит бесконечно вниз. Отрезок АВ является конечным. На рисунке видно, что эти фигуры не имеют общих точек. Луч ОК направлен в сторону от отрезка АВ, поэтому при его бесконечном продолжении он не сможет пересечь отрезок АВ.
Ответ: нет, не пересекаются.

99. Пересекаются ли изображённые на рисунке 45:

1) прямая $MP$ и отрезок $EF$;

2) луч $ST$ и прямая $MP$;

3) отрезок $EF$ и луч $ST$?

Рис. 45

1) прямая MP и отрезок EF

Прямая — это геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца, она бесконечна. На рисунке изображена прямая MP. Отрезок EF — это часть прямой, ограниченная двумя точками E и F. Чтобы определить, пересекаются ли прямая MP и отрезок EF, нужно мысленно продолжить прямую MP в обе стороны. Визуально, если продолжить прямую MP, она пересечет отрезок EF в некоторой точке между E и F.
Ответ: да, пересекаются.

2) луч ST и прямая MP

Луч — это часть прямой, у которой есть начальная точка, но нет конца. Луч ST начинается в точке S и продолжается бесконечно в направлении точки T. Прямая MP, как мы уже знаем, бесконечна в обе стороны. На рисунке видно, что луч ST направлен в сторону прямой MP. Если мысленно продолжить луч ST за точку T, он обязательно пересечет прямую MP.
Ответ: да, пересекаются.

3) отрезок EF и луч ST

Отрезок EF ограничен точками E и F. Луч ST начинается в точке S и уходит в бесконечность через точку T. На рисунке видно, что отрезок EF и луч ST находятся по разные стороны от прямой MP. Более того, луч ST направлен в сторону от отрезка EF. При продолжении луча ST за точку T он будет только удаляться от отрезка EF, поэтому у них не будет общих точек.
Ответ: нет, не пересекаются.

100. Отметьте в тетради:

1) четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой;

2) пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой.

1) четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой

Чтобы отметить четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой, можно действовать поэтапно. Сначала отметьте первую точку (назовем ее A), затем вторую (B). Мысленно проведите через них прямую. Третью точку (C) отметьте в любом месте, не лежащем на прямой AB. Теперь точки A, B и C образуют вершины треугольника. Четвертую точку (D) нужно разместить так, чтобы она не лежала ни на одной из прямых, проходящих через уже отмеченные пары точек: AB, BC и AC.

Простейший и наиболее наглядный способ выполнить это условие — расположить точки как вершины выпуклого четырехугольника, например, квадрата, прямоугольника или произвольной трапеции. В этом случае, какую бы тройку вершин мы ни выбрали, они не будут лежать на одной прямой.

Например, если в системе координат отметить точки с координатами $A(0, 0)$, $B(3, 0)$, $C(3, 3)$ и $D(0, 3)$, которые являются вершинами квадрата, то условие будет выполнено. Прямая, проходящая через любые две из этих точек, не будет содержать ни одной из двух оставшихся.

Ответ: Отметьте четыре точки так, чтобы они являлись вершинами любого выпуклого четырехугольника (например, квадрата).

2) пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой

Для пяти точек можно использовать аналогичный пошаговый подход, но количество прямых, которые нужно избегать, становится больше, что усложняет задачу. Существует более простой и универсальный метод.

Нарисуйте (или просто представьте) любую окружность. Затем отметьте на этой окружности пять любых различных точек. Это расположение будет удовлетворять требуемому условию.

Причина в том, что любая прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Следовательно, невозможно найти три различные точки на окружности, которые одновременно лежали бы на одной прямой. Таким образом, какие бы три точки из пяти отмеченных мы ни выбрали, они не будут коллинеарными. Другим примером такого расположения являются вершины правильного пятиугольника.

Ответ: Отметьте пять различных точек так, чтобы все они лежали на одной воображаемой окружности.

101. Начертите прямую $AB$ и отметьте на ней две точки $M$ и $N$. Назовите все фигуры, которые при этом образовались.

Для решения задачи начертим прямую, которую можно обозначить как прямую $AB$. Прямая является бесконечной в обе стороны. Далее, на этой прямой отметим две любые различные точки, которые назовем $M$ и $N$.

Когда на прямой появляются две точки, они образуют новые геометрические фигуры. Давайте перечислим их все.

Отрезок

Точки $M$ и $N$, а также все точки прямой, которые находятся между ними, образуют отрезок $MN$. Точки $M$ и $N$ называются концами этого отрезка.

Лучи

Каждая точка на прямой делит ее на две части, называемые лучами. Луч имеет точку начала, но не имеет конца. Точки $M$ и $N$ являются началами для нескольких лучей.

• Точка $M$ является началом для двух лучей:
  1. Луч, который начинается в точке $M$ и проходит через точку $N$. Его можно обозначить как луч $MN$.
  2. Луч, который также начинается в точке $M$, но направлен в противоположную сторону от точки $N$.
• Точка $N$ также является началом для двух лучей:
  1. Луч, который начинается в точке $N$ и проходит через точку $M$. Его можно обозначить как луч $NM$.
  2. Луч, который также начинается в точке $N$, но направлен в противоположную сторону от точки $M$.

Таким образом, у нас образуются четыре различных луча.

Можно также сказать, что две точки $M$ и $N$ разбивают всю прямую на три части:

• Отрезок $MN$.
• Луч с началом в точке $M$, не содержащий точку $N$.
• Луч с началом в точке $N$, не содержащий точку $M$.

Ответ: При нанесении на прямую двух точек $M$ и $N$ образуются следующие фигуры: один отрезок ($MN$) и четыре луча (два с началом в точке $M$ и два с началом в точке $N$).

102. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 46.

Рис. 46

a) Прямые: $\overleftrightarrow{NC}$, $\overleftrightarrow{BD}$

Отрезки: $NA$, $AK$, $KC$, $NC$, $NK$, $AC$, $BA$, $AM$, $MD$, $BD$, $BM$, $AD$, $MK$

Лучи: $\overrightarrow{NA}$, $\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{KA}$, $\overrightarrow{KC}$, $\overrightarrow{CN}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{MK}$, $\overrightarrow{KM}$

б) Прямые: $\overleftrightarrow{AD}$, $\overleftrightarrow{EK}$, $\overleftrightarrow{BT}$

Отрезки: $AB$, $BC$, $CD$, $AC$, $AD$, $BD$, $EF$, $FK$, $EK$, $BF$, $FT$, $BT$

Лучи: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{BT}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EK}$, $\overrightarrow{FE}$, $\overrightarrow{FK}$, $\overrightarrow{FB}$, $\overrightarrow{FT}$, $\overrightarrow{KF}$, $\overrightarrow{KE}$, $\overrightarrow{TF}$, $\overrightarrow{TB}$

Отрезки

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками.
На рисунке а изображены следующие отрезки: отрезки, образующие фигуру с вершиной M (MA, AB, MB, MK, KD, MD), и отрезки, лежащие на прямой a (NA, AK, KC, а также их комбинации NK, AC, NC).
На рисунке б изображены следующие отрезки: на прямой AD (AB, AC, AD, BC, BD, CD), на прямой EK (EF, EK, FK) и сам отрезок BT, а также его части (BF, FT).

Ответ:
На рисунке а: MA, AB, MB, MK, KD, MD, NA, AK, KC, NK, AC, NC.
На рисунке б: AB, AC, AD, BC, BD, CD, EF, EK, FK, BF, FT, BT.

Прямые

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца.
На рисунке а изображена одна прямая, обозначенная буквой a. Ее также можно назвать по любым двум точкам, лежащим на ней, например, NC.
На рисунке б изображены две прямые: прямая, проходящая через точки A, B, C, D (можно назвать AD), и прямая, проходящая через точки E, F, K (можно назвать EK).

Ответ:
На рисунке а: прямая a (или NC).
На рисунке б: прямые AD и EK.

Лучи

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и бесконечно продолжается в одном направлении.
На рисунке а лучи можно построить на прямой a. Используя отмеченные на ней точки в качестве начальных, получаем следующие лучи: NC (с началом в N), AN и AC (с началом в A), KN и KC (с началом в K), CN (с началом в C).
На рисунке б лучи можно построить на прямых AD и EK:
1. На прямой AD: лучи AD, BA, BD, CA, CD, DA.
2. На прямой EK: лучи EK, FE, FK, KE.

Ответ:
На рисунке а: AN, AC, KN, KC, NC, CN.
На рисунке б: AD, BA, BD, CA, CD, DA, EK, FE, FK, KE.