Страница 34 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как расположены точки окружности относительно её центра?

По определению, окружность — это геометрическая фигура на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности.

Это означает, что каждая точка, лежащая на окружности, является равноудаленной от её центра. Данное расстояние от центра до любой точки на окружности называется радиусом и обычно обозначается латинской буквой $R$ или $r$.

Например, если точка $O$ — это центр окружности, а точки $A$, $B$ и $C$ лежат на этой окружности, то расстояния от центра до этих точек будут равны между собой и равны радиусу: $OA = OB = OC = R$.

Ответ: Все точки окружности расположены на одинаковом (равном) расстоянии от её центра.

2. Какой отрезок называют радиусом окружности?

Радиусом окружности называют отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, находящейся на этой окружности. Также термин "радиус" используется для обозначения длины этого отрезка.

Основные свойства радиуса:

• Все радиусы одной и той же окружности равны по длине.
• Длина радиуса обычно обозначается латинской буквой $r$ или $R$.
• Радиус связан с диаметром ($d$) окружности, который представляет собой отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Длина радиуса равна ровно половине длины диаметра. Это соотношение выражается следующими формулами: $r = \frac{d}{2}$ и, соответственно, $d = 2r$.

Таким образом, если O — это центр окружности, а A — любая точка на окружности, то отрезок OA является радиусом этой окружности.

Ответ: Радиусом окружности называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на этой окружности.

3. Объясните, какую фигуру называют кругом.

Кругом называется геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек этой плоскости, находящихся на расстоянии, не превышающем заданное, от одной данной точки. Эта точка называется центром круга, а заданное расстояние — радиусом круга.

Таким образом, круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность является границей круга, и её точки удалены от центра на расстояние, в точности равное радиусу. Круг же включает в себя и саму окружность, и все точки, расположенные внутри нее.

Если центр круга — это точка $O$ с координатами $(x_0, y_0)$, а радиус равен $R$, то любая точка $M$ с координатами $(x, y)$ принадлежит этому кругу, если её координаты удовлетворяют неравенству:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le R^2$.

Ответ: Круг — это часть плоскости, состоящая из всех точек, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает заданного неотрицательного числа (радиуса).

1. Удвойте число 26. Найдите половину числа 26. Утройте число 27. Найдите треть числа 27.

Удвойте число 26.

Чтобы удвоить число, его необходимо умножить на 2. Выполним умножение для числа 26:

$26 \times 2 = 52$

Ответ: 52

Найдите половину числа 26.

Чтобы найти половину числа, его необходимо разделить на 2. Выполним деление для числа 26:

$26 \div 2 = 13$

Ответ: 13

Утройте число 27.

Чтобы утроить число, его необходимо умножить на 3. Выполним умножение для числа 27:

$27 \times 3 = 81$

Ответ: 81

Найдите треть числа 27.

Чтобы найти треть числа, его необходимо разделить на 3. Выполним деление для числа 27:

$27 \div 3 = 9$

Ответ: 9

2. Чему равна длина ломаной, которая состоит из шести равных звеньев длиной 7 см каждое?

Длина ломаной линии — это сумма длин всех её звеньев (отрезков).

В данной задаче ломаная состоит из 6 одинаковых звеньев, и длина каждого звена равна 7 см.

Чтобы найти общую длину ломаной, нужно количество звеньев умножить на длину одного звена.

$6 \times 7 \text{ см} = 42 \text{ см}$

Ответ: 42 см.

3. Какие три цифры надо зачеркнуть в записи числа 8 724 516, чтобы число, записанное оставшимися цифрами в той же последовательности, было:

1) наибольшим из возможных;

2) наименьшим из возможных?

В исходном числе $8\,724\,516$ семь цифр. После зачеркивания трех цифр должно остаться четырехзначное число, составленное из оставшихся цифр в их исходной последовательности.

1) наибольшим из возможных

Чтобы получить наибольшее число, его старшие разряды (цифры слева) должны быть как можно больше. Будем подбирать цифры для искомого четырехзначного числа последовательно, слева направо.

Первая цифра: Чтобы после нее можно было выбрать еще три цифры, ее нужно искать среди первых $7 - 3 = 4$ цифр исходного числа: $8, 7, 2, 4$. Самая большая из них — $8$. Оставляем ее.

Вторая цифра: Ищем ее среди цифр, идущих после $8$: $7, 2, 4, 5, 1, 6$. Чтобы после нее можно было выбрать еще две, ее нужно искать среди первых $6 - 2 = 4$ цифр этого набора: $7, 2, 4, 5$. Самая большая из них — $7$. Оставляем ее.

Третья цифра: Ищем ее среди цифр, идущих после $7$: $2, 4, 5, 1, 6$. Чтобы после нее можно было выбрать еще одну, ищем ее среди первых $5 - 1 = 4$ цифр этого набора: $2, 4, 5, 1$. Самая большая из них — $5$. Чтобы ее оставить, мы должны зачеркнуть цифры $2$ и $4$, стоящие между $7$ и $5$.

Четвертая цифра: Ищем ее среди цифр, идущих после $5$: $1, 6$. Нам осталось зачеркнуть еще одну, последнюю, цифру. Чтобы итоговое число было наибольшим, из $1$ и $6$ мы оставляем большую, то есть $6$. Для этого зачеркиваем $1$.

Таким образом, мы зачеркнули цифры $2, 4$ и $1$. Оставшиеся цифры в том же порядке образуют число $8756$.

Ответ: нужно зачеркнуть цифры 2, 4 и 1.

2) наименьшим из возможных

Чтобы получить наименьшее число, его старшие разряды должны быть как можно меньше. Действуем аналогично.

Первая цифра: Выбираем наименьшую из первых четырех цифр ($8, 7, 2, 4$). Это $2$. Чтобы она стала первой, зачеркиваем все цифры перед ней: $8$ и $7$.

Вторая цифра: Ищем ее среди цифр, идущих после $2$: $4, 5, 1, 6$. Выбираем наименьшую из первых $4 - 2 = 2$ цифр этого набора: $4, 5$. Это $4$. Оставляем ее.

Третья цифра: Ищем ее среди цифр, идущих после $4$: $5, 1, 6$. Выбираем наименьшую из первых $3 - 1 = 2$ цифр этого набора: $5, 1$. Это $1$. Чтобы ее оставить, зачеркиваем стоящую перед ней $5$. Это третья зачеркнутая цифра.

Четвертая цифра: После $1$ осталась только цифра $6$. Так как мы уже зачеркнули три цифры, мы должны ее оставить.

Таким образом, мы зачеркнули цифры $8, 7$ и $5$. Оставшиеся цифры в том же порядке образуют число $2416$.

Ответ: нужно зачеркнуть цифры 8, 7 и 5.

4. Елена и Николай живут в деревне Грушёвка, а учатся в разных университетах областного центра, до вокзала которого они едут электропоездом.

В университете, в котором учится Елена, занятия начинаются в 8:30, а на путь от железнодорожного вокзала до университета она тратит 35 мин. В университете, в котором учится Николай, занятия начинаются в 9:00, а на путь от вокзала до университета он тратит 40 мин. В таблице приведён фрагмент расписания движения электропоездов.

Отправление от станции Грушёвка | Прибытие на вокзал областного центра

6:27 | 7:23

6:39 | 8:00

6:45 | 8:08

7:15 | 8:23

В котором часу самое позднее может выехать Елена, а в котором — Николай, чтобы не опоздать на занятия?

Елена

Занятия в университете у Елены начинаются в 8:30. Путь от железнодорожного вокзала до университета занимает 35 минут. Чтобы не опоздать, ей нужно прибыть на вокзал не позднее, чем за 35 минут до начала занятий.
Рассчитаем крайнее время прибытия на вокзал:
$8 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 35 \text{ мин} = 7 \text{ ч } 55 \text{ мин}$.
Согласно расписанию, единственный электропоезд, который прибывает на вокзал областного центра до 7:55, — это поезд с временем прибытия 7:23.
Этот поезд отправляется от станции Грушёвка в 6:27. Следовательно, это самое позднее время, когда Елена может выехать.
Ответ: самое позднее время выезда для Елены — 6:27.

Николай

Занятия в университете у Николая начинаются в 9:00. Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Чтобы не опоздать, ему нужно прибыть на вокзал не позднее, чем за 40 минут до начала занятий.
Рассчитаем крайнее время прибытия на вокзал:
$9 \text{ ч } 00 \text{ мин} - 40 \text{ мин} = 8 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.
Согласно расписанию, есть несколько поездов, прибывающих до 8:20: в 7:23, 8:00 и 8:08. Чтобы выехать как можно позже, Николаю нужно выбрать самый поздний из этих поездов. Самый поздний подходящий поезд — тот, что прибывает в 8:08.
Этот поезд отправляется от станции Грушёвка в 6:45. Следовательно, это самое позднее время, когда Николай может выехать.
Ответ: самое позднее время выезда для Николая — 6:45.