Страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

103. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 47.

Рис. 47

Отрезки:

$ \overline{AB} $

$ \overline{AC} $

$ \overline{BC} $

$ \overline{AD} $

$ \overline{CD} $

$ \overline{BD} $

$ \overline{DE} $

$ \overline{DB} $

$ \overline{DF} $

$ \overline{EB} $

$ \overline{EF} $

$ \overline{BF} $

$ \overline{CK} $

Прямые:

$ \overleftrightarrow{AC} $

$ \overleftrightarrow{EF} $

$ \overleftrightarrow{CK} $

Лучи:

$ \vec{AD} $

$ \vec{CA} $

$ \vec{DA} $

$ \vec{DC} $

$ \vec{ED} $

$ \vec{EF} $

$ \vec{DE} $

$ \vec{DF} $

$ \vec{BD} $

$ \vec{BF} $

$ \vec{DB} $

$ \vec{EB} $

$ \vec{FB} $

$ \vec{FE} $

$ \vec{CK} $

$ \vec{KC} $

Отрезки

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. На рисунке можно выделить отрезки, лежащие на прямых $AK$ и $EF$, а также отрезки $AB$ и $BC$, соединяющие точки на этих прямых. Полный список отрезков, образованных отмеченными точками: $AB$, $BC$, $AC$, $AD$, $DC$, $CK$, $AK$, $DK$, $ED$, $EB$, $EF$, $DB$, $DF$, $BF$.
Ответ: $AB$, $BC$, $AC$, $AD$, $DC$, $CK$, $AK$, $DK$, $ED$, $EB$, $EF$, $DB$, $DF$, $BF$.

Прямые

Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца и простирается бесконечно в обе стороны. На рисунке изображены две прямые:
1. Прямая, проходящая через точки $A$, $D$, $C$, $K$. Обозначим её $AK$.
2. Прямая, проходящая через точки $E$, $D$, $B$, $F$. Обозначим её $EF$.
Ответ: $AK$, $EF$.

Лучи

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и простирается бесконечно в одном направлении. На каждой из двух прямых можно выделить лучи, исходящие из отмеченных на них точек.
Лучи, лежащие на прямой $AK$: $AK$ (или $AD$, $AC$), $DA$, $DK$ (или $DC$), $CA$ (или $CD$), $CK$, $KA$ (или $KC$, $KD$).
Лучи, лежащие на прямой $EF$: $EF$ (или $ED$, $EB$), $DE$, $DF$ (или $DB$), $BE$ (или $BD$), $BF$, $FE$ (или $FB$, $FD$).
Ответ: $AK$, $DA$, $DK$, $CA$, $CK$, $KA$, $EF$, $DE$, $DF$, $BE$, $BF$, $FE$.

104. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

1) точкой;

2) отрезком;

3) лучом.

1) точкой

Чтобы общей частью двух лучей была точка, они должны иметь общее начало и быть направлены в разные стороны. Возьмём точку O в качестве общего начала. Проведём из неё два луча, OA и OB, так, чтобы они не совпадали. Например, они могут образовывать угол. В этом случае их единственной общей точкой будет точка O. Математически, пересечение луча OA и луча OB есть множество, состоящее из одной точки O: $\text{луч } OA \cap \text{луч } OB = \{O\}$.

Ответ: Начертить два луча с общим началом, направленные в разные стороны.

2) отрезком

Чтобы общей частью двух лучей был отрезок, они должны лежать на одной прямой и быть направлены навстречу друг другу. Возьмём прямую и отметим на ней две точки, A и B. Начертим первый луч с началом в точке A, проходящий через точку B. Начертим второй луч с началом в точке B, проходящий через точку A. Общей частью (пересечением) этих лучей будет отрезок AB. Математически: $ \text{луч } AB \cap \text{луч } BA = [AB] $.

Ответ: Начертить два луча, лежащие на одной прямой и направленные навстречу друг другу.

3) лучом

Чтобы общей частью двух лучей был луч, они должны лежать на одной прямой, быть направлены в одну сторону (сонаправлены), а начало одного луча должно лежать на другом. Возьмём прямую и отметим на ней две точки, A и B. Начертим первый луч с началом в точке A, проходящий через точку B. Затем начертим второй луч с началом в точке B, направленный в ту же сторону, что и первый. В этом случае второй луч является частью первого, и их пересечением будет сам второй луч. Математически, если первый луч — $l_A$ (с началом в A), а второй — $l_B$ (с началом в B), то их пересечение: $l_A \cap l_B = l_B$.

Ответ: Начертить два сонаправленных луча, лежащие на одной прямой, причём начало одного луча лежит на другом.

105. Отметьте на плоскости точки $M$, $K$, $T$ и $F$ так, чтобы луч $MK$ пересекал прямую $TF$, а луч $TF$ не пересекал прямую $MK$.

Для решения данной задачи необходимо найти такое расположение точек $M$, $K$, $T$ и $F$ на плоскости, чтобы одновременно выполнялись два условия:

1. Луч $MK$ (луч с началом в точке $M$, проходящий через точку $K$) пересекал прямую $TF$ (прямую, проходящую через точки $T$ и $F$).
2. Луч $TF$ (луч с началом в точке $T$, проходящий через точку $F$) не пересекал прямую $MK$ (прямую, проходящую через точки $M$ и $K$).

Проанализируем эти условия. Из второго условия следует, что прямые $MK$ и $TF$ не могут быть параллельными, иначе ни один из лучей не пересекал бы другую прямую (за исключением случая, когда они лежат на одной прямой). Следовательно, прямые $MK$ и $TF$ должны пересекаться. Обозначим точку их пересечения буквой $P$.

• Условие, что луч $MK$ пересекает прямую $TF$, означает, что точка пересечения прямых $P$ должна лежать на луче $MK$. Это значит, что точка $P$ находится на прямой $MK$ по ту же сторону от начальной точки $M$, что и точка $K$. Например, точки могут быть расположены в порядке $M, K, P$.
• Условие, что луч $TF$ не пересекает прямую $MK$, означает, что точка пересечения прямых $P$ не должна лежать на луче $TF$. Луч $TF$ начинается в точке $T$ и проходит через $F$. Чтобы точка $P$ не принадлежала этому лучу, она должна находиться на продолжении отрезка $FT$ за точку $T$. Иными словами, точка $T$ должна лежать между точками $P$ и $F$.

Основываясь на этом анализе, можно построить требуемую конфигурацию точек. Для этого начертим две пересекающиеся прямые. На одной прямой (например, горизонтальной) расположим точки $M$ и $K$, а также точку их пересечения с другой прямой $P$ в порядке $M-K-P$. На второй прямой (вертикальной) расположим точки $T$ и $F$ так, чтобы точка $T$ оказалась между точкой пересечения $P$ и точкой $F$, то есть в порядке $P-T-F$.

Пример такого расположения точек показан на рисунке ниже.

В представленной конфигурации луч $MK$ (показан синим пунктиром) пересекает прямую $TF$ (вертикальная линия). В то же время луч $TF$ (показан красным пунктиром) не пересекает прямую $MK$ (горизонтальная линия), поскольку точка пересечения прямых находится вне этого луча.

Ответ: Один из возможных вариантов расположения точек, удовлетворяющий условиям задачи, представлен на рисунке выше.

106. Сколько лучей образуется, если на прямой отметить:

1) четыре точки;

2) 100 точек?

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и уходит в бесконечность в одном направлении. Каждая точка, отмеченная на прямой, делит её на две части, каждая из которых является лучом с началом в этой точке. Таким образом, из одной точки на прямой исходят два луча в противоположных направлениях.

Если на прямой отметить $n$ точек, то каждая из этих $n$ точек станет началом для двух лучей. Все эти лучи будут различными, так как у них разные начальные точки. Следовательно, общее количество образующихся лучей равно удвоенному количеству точек.

Общее количество лучей ($N$) можно вычислить по формуле: $N = 2 \times n$, где $n$ — количество точек на прямой.

1) четыре точки

В данном случае количество точек $n = 4$.
Применяем формулу для нахождения количества лучей:
$N = 2 \times 4 = 8$.
Таким образом, четыре точки на прямой образуют 8 лучей.
Ответ: 8

2) 100 точек

В данном случае количество точек $n = 100$.
Используем ту же формулу:
$N = 2 \times 100 = 200$.
Следовательно, сто точек на прямой образуют 200 лучей.
Ответ: 200

107. Точки A, B и C лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка BC, если $AB = 24 \text{ см}$, $AC = 32 \text{ см}$. Сколько решений имеет задача?

Поскольку в условии задачи сказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой, но не указан их порядок, необходимо рассмотреть все возможные случаи их взаимного расположения.

Найдите длину отрезка BC

Существует два возможных варианта расположения точек, которые удовлетворяют заданным условиям ($AB = 24$ см, $AC = 32$ см).

1. Точка B лежит между точками A и C.
В этом случае длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC.
$AC = AB + BC$
Чтобы найти длину отрезка BC, вычтем из длины AC длину AB:
$BC = AC - AB = 32 \text{ см} - 24 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

2. Точка A лежит между точками B и C.
В этом случае длина отрезка BC равна сумме длин отрезков BA и AC.
$BC = BA + AC$
Так как длина отрезка BA равна длине AB, то:
$BC = AB + AC = 24 \text{ см} + 32 \text{ см} = 56 \text{ см}$.

(Третий случай, когда точка C лежит между A и B, невозможен, так как это означало бы, что $AB = AC + CB$. Подставив значения, получим $24 = 32 + CB$, что неверно, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной).

Таким образом, длина отрезка BC может быть равна 8 см или 56 см.

Ответ: 8 см или 56 см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку существует два возможных варианта расположения точек на прямой, которые приводят к двум разным значениям длины отрезка BC, задача имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

108. Точки M, K и N лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка KN, если $MK = 15 \text{ см}$, $MN = 6 \text{ см}$.

Поскольку в условии задачи не указано, в каком порядке точки M, K и N расположены на прямой, то для решения задачи необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Точка N лежит между точками M и K

Если точка N находится между M и K, то длина отрезка MK является суммой длин отрезков MN и KN. Это можно записать с помощью формулы: $MK = MN + KN$.

Подставим в формулу известные значения длин отрезков:

$15 = 6 + KN$

Теперь найдем длину отрезка KN:

$KN = 15 - 6$

$KN = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Случай 2: Точка M лежит между точками K и N

Если точка M находится между K и N, то длина отрезка KN является суммой длин отрезков KM и MN. Это можно записать с помощью формулы: $KN = KM + MN$.

Так как длина отрезка не зависит от порядка его крайних точек, то $KM = MK = 15$ см. Подставим известные значения в формулу:

$KN = 15 + 6$

$KN = 21$ см.

Ответ: 21 см.

(Третий вариант расположения, при котором точка K лежит между M и N, невозможен. В этом случае $MN = MK + KN$, то есть $6 = 15 + KN$, что привело бы к отрицательной длине отрезка $KN$, а длина не может быть отрицательной).

109. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых.

Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых и каким — наибольшее?

Рассмотрим два крайних случая расположения пяти попарно пересекающихся прямых на плоскости, чтобы найти наименьшее и наибольшее количество точек пересечения. Условие "попарно пересекающиеся" означает, что среди прямых нет параллельных.

Чтобы минимизировать количество точек пересечения, необходимо, чтобы как можно больше прямых проходило через одну и ту же точку. Рассмотрим случай, когда все пять прямых пересекаются в одной единственной точке.

В этом случае условие "попарно пересекающихся прямых" выполняется, так как любая пара прямых из этих пяти имеет одну общую точку. При этом общее количество точек пересечения на плоскости равно 1.

Поскольку у нас есть как минимум две прямые, которые по условию пересекаются, то хотя бы одна точка пересечения должна существовать. Таким образом, 1 является наименьшим возможным числом точек пересечения.

Ответ: 1

Чтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в уникальной точке. Это означает, что никакие три (и более) прямые не должны проходить через одну и ту же точку.

В этом случае каждая точка пересечения однозначно определяется парой пересекающихся прямых. Следовательно, общее количество точек равно числу способов выбрать 2 прямые из 5, то есть числу сочетаний из 5 по 2.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставим наши значения: $n=5$ (всего прямых) и $k=2$ (прямых в одном пересечении):

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Можно также рассуждать последовательно: вторая прямая пересекает первую в 1 точке; третья прямая пересекает первые две в 2 новых точках; четвертая — в 3 новых; пятая — в 4 новых. Итого: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ точек.

Ответ: 10

110. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

Для определения наибольшего и наименьшего количества частей, на которые три прямые могут разбить плоскость, необходимо рассмотреть различные варианты их взаимного расположения.

Наибольшее количество частей

Чтобы получить максимальное количество частей, каждая новая прямая должна пересекать все уже существующие прямые, причём все точки пересечения должны быть различными.

1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая пересекает первую. Эта точка пересечения делит вторую прямую на 2 луча, каждый из которых проходит через одну из ранее существовавших частей и делит её надвое. Таким образом, добавляется 2 новые части, и общее их количество становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая пересекает две предыдущие прямые в двух разных точках. Эти две точки делят третью прямую на 3 части (два луча и отрезок). Каждая из этих частей рассекает одну из существующих областей, добавляя 3 новые части. Общее количество частей становится $4 + 3 = 7$.

Эта конфигурация, когда никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке (например, прямые образуют треугольник), дает максимально возможное число частей.

Ответ: 7

Наименьшее количество частей

Чтобы получить минимальное количество частей, необходимо, наоборот, минимизировать количество новых областей, создаваемых каждой следующей прямой. Это достигается при минимальном количестве точек пересечения.

Наименьшее число пересечений (ноль) достигается, если все три прямые параллельны друг другу.

1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая, параллельная первой, добавляет только одну новую часть. Общее количество становится $2 + 1 = 3$.

3. Третья прямая, параллельная первым двум, также добавляет одну новую часть. Итоговое количество частей: $3 + 1 = 4$.

Любая другая конфигурация для трех различных прямых (например, две прямые параллельны, а третья их пересекает, или все три пересекаются в одной точке) приводит к большему числу частей (в обоих случаях 6). Следовательно, 4 — это наименьшее возможное количество частей.

Ответ: 4

111. В парке растёт 168 дубов, берёз — в 4 раза меньше, чем дубов, а клёнов — на 37 деревьев больше, чем берёз. Сколько всего дубов, берёз и клёнов растёт в парке?

Для того чтобы узнать общее количество деревьев в парке, необходимо последовательно выполнить три действия.

1. Найдём количество берёз.
В условии сказано, что берёз в парке в 4 раза меньше, чем дубов. Количество дубов известно — 168. Чтобы найти количество берёз, разделим количество дубов на 4.
$168 \div 4 = 42$ (берёзы).

2. Найдём количество клёнов.
Из условия известно, что клёнов на 37 деревьев больше, чем берёз. Мы уже знаем, что в парке растёт 42 берёзы. Чтобы найти количество клёнов, прибавим 37 к количеству берёз.
$42 + 37 = 79$ (клёнов).

3. Найдём общее количество деревьев в парке.
Теперь, когда мы знаем количество деревьев каждого вида, мы можем найти их общее число. Для этого сложим количество дубов, берёз и клёнов.
$168 + 42 + 79 = 289$ (деревьев).

Ответ: 289 деревьев.

112. Отправившись в гости к Змею Горынычу, Баба-яга пролетела в своей ступе 276 км за 4 ч, а остальные 156 км прошла за 6 ч в сапогах-скороходах. На сколько скорость движения ступы больше, чем скорость движения сапог-скороходов?

Для решения задачи нужно последовательно выполнить три действия: найти скорость движения Бабы-яги в ступе, затем в сапогах-скороходах, и после этого найти разницу между полученными скоростями.

1. Найдём скорость движения ступы
Чтобы найти скорость, необходимо разделить расстояние на время. Баба-яга пролетела в ступе 276 км за 4 часа.
$v_{ступы} = S / t = 276 / 4 = 69$ (км/ч).
Ответ: скорость движения ступы равна 69 км/ч.

2. Найдём скорость движения сапог-скороходов
Баба-яга прошла в сапогах-скороходах 156 км за 6 часов. Вычислим скорость по той же формуле.
$v_{сапог} = S / t = 156 / 6 = 26$ (км/ч).
Ответ: скорость движения сапог-скороходов равна 26 км/ч.

3. Сравним скорости
Чтобы узнать, на сколько скорость ступы больше скорости сапог-скороходов, вычтем из большей скорости меньшую.
$v_{ступы} - v_{сапог} = 69 - 26 = 43$ (км/ч).
Ответ: скорость движения ступы больше скорости движения сапог-скороходов на 43 км/ч.