Номер 109, страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: голубой, зелёный
ISBN: 978-5-09-105796-6
Популярные ГДЗ в 5 классе
Упражнения. § 4. Плоскость. Прямая. Луч. Глава 1. Натуральные числа. Раздел I. Натуральные числа и действия над ними - номер 109, страница 31.
№109 (с. 31)
Условие. №109 (с. 31)
скриншот условия

109. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых.
Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых и каким — наибольшее?
Решение. №109 (с. 31)

Решение 2. №109 (с. 31)
Рассмотрим два крайних случая расположения пяти попарно пересекающихся прямых на плоскости, чтобы найти наименьшее и наибольшее количество точек пересечения. Условие "попарно пересекающиеся" означает, что среди прямых нет параллельных.
Наименьшее количество точек пересеченияЧтобы минимизировать количество точек пересечения, необходимо, чтобы как можно больше прямых проходило через одну и ту же точку. Рассмотрим случай, когда все пять прямых пересекаются в одной единственной точке.
В этом случае условие "попарно пересекающихся прямых" выполняется, так как любая пара прямых из этих пяти имеет одну общую точку. При этом общее количество точек пересечения на плоскости равно 1.
Поскольку у нас есть как минимум две прямые, которые по условию пересекаются, то хотя бы одна точка пересечения должна существовать. Таким образом, 1 является наименьшим возможным числом точек пересечения.
Ответ: 1
Наибольшее количество точек пересеченияЧтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в уникальной точке. Это означает, что никакие три (и более) прямые не должны проходить через одну и ту же точку.
В этом случае каждая точка пересечения однозначно определяется парой пересекающихся прямых. Следовательно, общее количество точек равно числу способов выбрать 2 прямые из 5, то есть числу сочетаний из 5 по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Подставим наши значения: $n=5$ (всего прямых) и $k=2$ (прямых в одном пересечении):
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
Можно также рассуждать последовательно: вторая прямая пересекает первую в 1 точке; третья прямая пересекает первые две в 2 новых точках; четвертая — в 3 новых; пятая — в 4 новых. Итого: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ точек.
Ответ: 10
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 5 класс, для упражнения номер 109 расположенного на странице 31 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №109 (с. 31), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.