Номер 109, страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 4. Плоскость. Прямая. Луч. Упражнения - номер 109, страница 31.

Условие.

109. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых.

Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых и каким — наибольшее?

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим два крайних случая расположения пяти попарно пересекающихся прямых на плоскости, чтобы найти наименьшее и наибольшее количество точек пересечения. Условие "попарно пересекающиеся" означает, что среди прямых нет параллельных.

Наименьшее количество точек пересечения

Чтобы минимизировать количество точек пересечения, необходимо, чтобы как можно больше прямых проходило через одну и ту же точку. Рассмотрим случай, когда все пять прямых пересекаются в одной единственной точке.

В этом случае условие "попарно пересекающихся прямых" выполняется, так как любая пара прямых из этих пяти имеет одну общую точку. При этом общее количество точек пересечения на плоскости равно 1.

Поскольку у нас есть как минимум две прямые, которые по условию пересекаются, то хотя бы одна точка пересечения должна существовать. Таким образом, 1 является наименьшим возможным числом точек пересечения.

Ответ: 1

Наибольшее количество точек пересечения

Чтобы получить наибольшее количество точек пересечения, необходимо, чтобы каждая пара прямых пересекалась в уникальной точке. Это означает, что никакие три (и более) прямые не должны проходить через одну и ту же точку.

В этом случае каждая точка пересечения однозначно определяется парой пересекающихся прямых. Следовательно, общее количество точек равно числу способов выбрать 2 прямые из 5, то есть числу сочетаний из 5 по 2.

Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставим наши значения: $n=5$ (всего прямых) и $k=2$ (прямых в одном пересечении):

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Можно также рассуждать последовательно: вторая прямая пересекает первую в 1 точке; третья прямая пересекает первые две в 2 новых точках; четвертая — в 3 новых; пятая — в 4 новых. Итого: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ точек.

Ответ: 10