Номер 110, страница 31 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 4. Плоскость. Прямая. Луч. Упражнения - номер 110, страница 31.

Условие.

110. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

Решение.

Решение 2.

Для определения наибольшего и наименьшего количества частей, на которые три прямые могут разбить плоскость, необходимо рассмотреть различные варианты их взаимного расположения.

Наибольшее количество частей

Чтобы получить максимальное количество частей, каждая новая прямая должна пересекать все уже существующие прямые, причём все точки пересечения должны быть различными.

1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая пересекает первую. Эта точка пересечения делит вторую прямую на 2 луча, каждый из которых проходит через одну из ранее существовавших частей и делит её надвое. Таким образом, добавляется 2 новые части, и общее их количество становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая пересекает две предыдущие прямые в двух разных точках. Эти две точки делят третью прямую на 3 части (два луча и отрезок). Каждая из этих частей рассекает одну из существующих областей, добавляя 3 новые части. Общее количество частей становится $4 + 3 = 7$.

Эта конфигурация, когда никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке (например, прямые образуют треугольник), дает максимально возможное число частей.

Ответ: 7

Наименьшее количество частей

Чтобы получить минимальное количество частей, необходимо, наоборот, минимизировать количество новых областей, создаваемых каждой следующей прямой. Это достигается при минимальном количестве точек пересечения.

Наименьшее число пересечений (ноль) достигается, если все три прямые параллельны друг другу.

1. Первая прямая делит плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая, параллельная первой, добавляет только одну новую часть. Общее количество становится $2 + 1 = 3$.

3. Третья прямая, параллельная первым двум, также добавляет одну новую часть. Итоговое количество частей: $3 + 1 = 4$.

Любая другая конфигурация для трех различных прямых (например, две прямые параллельны, а третья их пересекает, или все три пересекаются в одной точке) приводит к большему числу частей (в обоих случаях 6). Следовательно, 4 — это наименьшее возможное количество частей.

Ответ: 4