Страница 23 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

68. Известно, что $AC = 32 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$ (рис. 28). Найдите длины отрезков $AB$ и $BD$.

Рис. 28

AB

Исходя из рисунка, точка B лежит на отрезке AC. Это означает, что длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. Математически это можно записать так:

$AC = AB + BC$

Чтобы найти длину неизвестного отрезка AB, необходимо из длины всего отрезка AC вычесть длину известной его части BC:

$AB = AC - BC$

Подставим в формулу данные из условия задачи ($AC = 32$ см, $BC = 9$ см):

$AB = 32 - 9 = 23$ см.

Ответ: 23 см.

BD

Отрезок BD состоит из двух отрезков: BC и CD. Чтобы найти его общую длину, нужно сложить длины составляющих его отрезков:

$BD = BC + CD$

Подставим в формулу известные значения ($BC = 9$ см, $CD = 12$ см):

$BD = 9 + 12 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

69. Известно, что $MF = 43$ см, $ME = 26$ см, $KE = 18$ см (рис. 29). Найдите длины отрезков $MK$ и $EF$.

Рис. 29

Найдем длину отрезка MK
Из рисунка видно, что точка K расположена между точками M и E. Это означает, что отрезок ME состоит из двух отрезков: MK и KE. Длина всего отрезка равна сумме длин его частей. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:
$ME = MK + KE$
Чтобы найти длину отрезка MK, нам нужно из длины отрезка ME вычесть длину отрезка KE. По условию задачи известно, что $ME = 26$ см и $KE = 18$ см.
Выполним вычисление:
$MK = ME - KE = 26 - 18 = 8$ см.
Ответ: 8 см.

Найдем длину отрезка EF
Аналогично, из рисунка видно, что точка E расположена между точками M и F. Это означает, что отрезок MF состоит из двух отрезков: ME и EF. Длина всего отрезка равна сумме длин его частей. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:
$MF = ME + EF$
Чтобы найти длину отрезка EF, нам нужно из длины отрезка MF вычесть длину отрезка ME. По условию задачи известно, что $MF = 43$ см и $ME = 26$ см.
Выполним вычисление:
$EF = MF - ME = 43 - 26 = 17$ см.
Ответ: 17 см.

70. Даны две точки А и В. Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки? Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?

Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки?

Согласно одной из основных аксиом евклидовой геометрии, через любые две различные точки можно провести только одну прямую линию. Отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$, является частью этой единственной прямой и однозначно определяется своими концами. Таким образом, между двумя данными точками можно провести только один отрезок.

Ответ: 1.

Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединенных отрезков (звеньев). Ломаная, соединяющая точки $A$ и $B$, должна начинаться в точке $A$ и заканчиваться в точке $B$.

Ломаная может состоять из разного количества звеньев.

Если ломаная состоит из одного звена, то это будет сам отрезок $AB$. Такая ломаная единственна.

Если ломаная состоит из двух звеньев, то для ее построения нам понадобится третья, промежуточная точка, назовем ее $C$. Ломаная будет образована отрезками $AC$ и $CB$. Точку $C$ можно выбрать в любом месте на плоскости (или в пространстве), не совпадающем с $A$ и $B$. Поскольку существует бесконечное множество вариантов выбора положения точки $C$, то существует и бесконечно много ломаных из двух звеньев, соединяющих точки $A$ и $B$.

Аналогично, можно построить ломаные из трех, четырех и любого другого количества звеньев, выбирая соответствующее число промежуточных точек. В каждом из этих случаев количество возможных ломаных будет бесконечным.

Следовательно, общее количество ломаных линий, которые можно провести между двумя точками, является бесконечным.

Ответ: бесконечно много.

71. Начертите отрезок $MK$ и отметьте на нём точки $A$ и $C$. Запишите все образовавшиеся отрезки.

Для решения задачи сначала начертим отрезок $МК$. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые являются его концами. В нашем случае это точки $М$ и $К$.

Затем на этом отрезке отметим две точки — $А$ и $С$. Порядок их расположения между точками $М$ и $К$ может быть любым, но это не повлияет на общее количество и названия образовавшихся отрезков. Для наглядности представим, что точки расположены в последовательности $М, А, С, К$.

Теперь нам нужно записать все отрезки, которые можно составить, используя любые две из четырех точек: $М, А, С, К$. Отрезок определяется двумя его концами, при этом порядок букв в названии не важен (например, отрезок $МА$ — это тот же самый отрезок, что и $АМ$).

Систематически перечислим все возможные отрезки:

1. Отрезки, одним из концов которых является точка $М$:
• $МА$ (концы $М$ и $А$)
• $МС$ (концы $М$ и $С$)
• $МК$ (концы $М$ и $К$ — это исходный отрезок)

2. Отрезки, одним из концов которых является точка $А$ (исключая уже названный $МА$):
• $АС$ (концы $А$ и $С$)
• $АК$ (концы $А$ и $К$)

3. Отрезки, одним из концов которых является точка $С$ (исключая уже названные $МС$ и $АС$):
• $СК$ (концы $С$ и $К$)

Больше отрезков нет, так как все возможные пары точек мы рассмотрели. Всего у нас получилось 6 отрезков.

Ответ: $МА, МС, МК, АС, АК, СК$.

72. Длина отрезка $AB$ равна $28$ см. Точки $M$ и $K$ принадлежат этому отрезку, причём точка $K$ лежит между точками $M$ и $B$, $AM = 12$ см, $BK = 9$ см. Найдите длину отрезка $MK$.

По условию задачи, на отрезке AB расположены точки M и K. Точка K лежит между точками M и B. Это означает, что точки на отрезке следуют в порядке A, M, K, B.

Длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей: AM, MK и KB. Это можно выразить формулой:

$AB = AM + MK + KB$

Нам известны следующие значения:

Длина отрезка $AB = 28$ см.

Длина отрезка $AM = 12$ см.

Длина отрезка $BK = 9$ см.

Чтобы найти длину искомого отрезка MK, нужно из длины всего отрезка AB вычесть длины известных отрезков AM и BK.

Выразим MK из формулы:

$MK = AB - AM - BK$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$MK = 28 - 12 - 9$

$MK = 16 - 9$

$MK = 7$ (см)

Ответ: 7 см.

73. Отрезки $MT$ и $FK$ равны (рис. 30). Сравните отрезки $MF$ и $TK$.

Рис. 30

M F T K

Согласно условию и рисунку, точки M, F, T, K лежат на одной прямой.

Длина отрезка $MT$ является суммой длин составляющих его отрезков $MF$ и $FT$. Это можно записать в виде равенства:
$MT = MF + FT$

Аналогичным образом, длина отрезка $FK$ является суммой длин отрезков $FT$ и $TK$:
$FK = FT + TK$

По условию задачи известно, что отрезки $MT$ и $FK$ равны:
$MT = FK$

Так как левые части наших равенств равны ($MT$ и $FK$), то мы можем приравнять и их правые части:
$MF + FT = FT + TK$

В полученном равенстве отрезок $FT$ является общим слагаемым. Если вычесть его из обеих частей равенства, то равенство останется верным:
$MF + FT - FT = FT + TK - FT$
$MF = TK$

Следовательно, отрезки $MF$ и $TK$ равны.

Ответ: отрезки $MF$ и $TK$ равны.

74. Постройте ломаную ACDM так, чтобы $AC = 15$ мм, $CD = 24$ мм, $DM = 32$ мм. Вычислите длину ломаной.

Построение ломаной ACDM

Ломаная линия ACDM состоит из трех последовательно соединенных отрезков (звеньев): AC, CD и DM. Для ее построения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать на плоскости произвольную точку A — начало ломаной.
2. От точки A отложить отрезок AC длиной 15 мм в любом направлении.
3. Из точки C (конец первого отрезка) отложить отрезок CD длиной 24 мм в любом направлении.
4. Из точки D (конец второго отрезка) отложить отрезок DM длиной 32 мм в любом направлении.

Поскольку углы между звеньями ломаной в условии не заданы, ее форма не является строго определенной и может быть разной.

Вычисление длины ломаной

Длина ломаной линии представляет собой сумму длин всех составляющих ее звеньев. Для ломаной ACDM ее общая длина, обозначим ее $L$, вычисляется по формуле:

$L = AC + CD + DM$

Из условия задачи известны длины каждого звена:

• $AC = 15$ мм
• $CD = 24$ мм
• $DM = 32$ мм

Подставим эти значения в формулу и найдем общую длину:

$L = 15 \text{ мм} + 24 \text{ мм} + 32 \text{ мм} = 71 \text{ мм}$

Ответ: 71 мм.

75. Постройте ломаную $CEFK$ так, чтобы звено $CE$ было равно 8 мм, звено $EF$ было на 14 мм больше звена $CE$, а звено $FK$ — на 7 мм меньше звена $EF$. Вычислите длину ломаной.

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить длины звеньев EF и FK, а затем найти общую длину ломаной, сложив длины всех ее звеньев.

1. Вычисление длины звена EF

По условию, длина звена CE составляет 8 мм, а звено EF на 14 мм длиннее. Чтобы найти длину звена EF, нужно к длине CE прибавить 14 мм:

$8 + 14 = 22$ (мм).

Ответ: 22 мм.

2. Вычисление длины звена FK

Звено FK на 7 мм короче звена EF. Поскольку мы уже знаем, что длина EF равна 22 мм, для нахождения длины FK нужно из длины EF вычесть 7 мм:

$22 - 7 = 15$ (мм).

Ответ: 15 мм.

3. Вычисление длины ломаной CEFK

Общая длина ломаной равна сумме длин всех ее звеньев: CE, EF и FK. Сложим полученные значения:

$8 + 22 + 15 = 45$ (мм).

Ответ: 45 мм.

76. Начертите на клетчатой бумаге ломаную, состоящую из 4 звеньев, длина которой равна 6 см (длина стороны клетки равна 5 мм).

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько шагов: сначала рассчитать общую длину ломаной в клетках, а затем начертить один из возможных вариантов.

1. Расчет длины в клетках.

По условию, длина стороны одной клетки составляет 5 мм. Общая длина ломаной равна 6 см.

Сначала переведем общую длину ломаной в миллиметры, чтобы единицы измерения были одинаковыми:
$6 \text{ см} = 6 \times 10 \text{ мм} = 60 \text{ мм}$

Теперь разделим общую длину в миллиметрах на длину стороны одной клетки, чтобы найти, сколько всего клеток составляет длина ломаной:
$60 \text{ мм} \div 5 \text{ мм/клетку} = 12 \text{ клеток}$

2. Определение длин звеньев.

Ломаная состоит из 4 звеньев, и их общая длина должна быть 12 клеток. Нам нужно найти четыре целых числа, сумма которых равна 12. Существует множество комбинаций. Например:

• $3 + 3 + 3 + 3 = 12$
• $2 + 3 + 4 + 3 = 12$
• $1 + 2 + 3 + 6 = 12$

Выберем самый простой вариант, где все 4 звена имеют одинаковую длину:
$12 \text{ клеток} \div 4 \text{ звена} = 3 \text{ клетки на звено}$

Итак, мы можем начертить ломаную, состоящую из четырех звеньев, каждое длиной в 3 клетки.

3. Построение ломаной.

Начертить такую ломаную можно по-разному, меняя направление каждого следующего звена. Ниже представлен один из возможных вариантов, начерченный на клетчатом поле.

В этом примере:

1. Первое звено (3 клетки) проведено вправо.
2. Второе звено (3 клетки) проведено вверх.
3. Третье звено (3 клетки) проведено вправо.
4. Четвертое звено (3 клетки) проведено вниз.

Общая длина: $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ клеток, что соответствует $12 \times 5 \text{ мм} = 60 \text{ мм} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Для решения задачи необходимо рассчитать общую длину ломаной в клетках ($60 \text{ мм} \div 5 \text{ мм} = 12 \text{ клеток}$) и разбить ее на 4 звена (например, 4 звена по 3 клетки каждое). Затем нужно начертить на клетчатой бумаге получившуюся ломаную, как показано на рисунке выше.

77. Начертите на клетчатой бумаге ломаную, состоящую из 3 звеньев, длина которой равна $5 \text{ см}$ (длина стороны клетки равна $5 \text{ мм}$).

Сначала определим общую длину ломаной в единицах измерения клетчатой бумаги. Длина стороны одной клетки составляет 5 мм, а общая длина ломаной — 5 см. Переведем сантиметры в миллиметры, чтобы работать в единых единицах: $5 \text{ см} = 5 \times 10 \text{ мм} = 50 \text{ мм}$.

Теперь найдем общую длину ломаной в клетках, разделив ее длину в миллиметрах на длину стороны одной клетки: $50 \text{ мм} \div 5 \text{ мм/клетку} = 10 \text{ клеток}$.

Итак, нам нужно начертить ломаную из 3 звеньев, сумма длин которых составляет 10 клеток. Для этого нужно подобрать три натуральных числа, сумма которых равна 10. Существует несколько таких комбинаций, например: 1, 2 и 7; или 2, 3 и 5; или 3, 4 и 3.

Возьмем для примера последнюю комбинацию: длины звеньев равны 3, 4 и 3 клетки. Для построения ломаной нужно последовательно начертить эти три отрезка так, чтобы конец предыдущего был началом следующего, и чтобы соседние звенья не лежали на одной прямой (то есть, на каждом стыке направление должно меняться).

Пример построения такой ломаной на клетчатой бумаге показан на рисунке ниже. Первое звено длиной 3 клетки нарисовано вправо, второе звено длиной 4 клетки — вниз, третье звено длиной 3 клетки — снова вправо.

Проверим общую длину полученной ломаной: $3 \text{ клетки} + 4 \text{ клетки} + 3 \text{ клетки} = 10 \text{ клеток}$. Переведем эту длину обратно в сантиметры: $10 \text{ клеток} \times 5 \text{ мм/клетку} = 50 \text{ мм} = 5 \text{ см}$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Один из возможных вариантов ломаной, удовлетворяющей условиям задачи, представлен на рисунке. Она состоит из трех звеньев длиной 3 клетки (1,5 см), 4 клетки (2 см) и 3 клетки (1,5 см).

78. Известно, что $AC = 8 \text{ см}$, $BD = 6 \text{ см}$, $BC = 2 \text{ см}$ (рис. 31). Найдите длину отрезка $AD$.

Рис. 31

Согласно условию и рисунку, точки A, B, C, D расположены на одной прямой последовательно. Длина всего отрезка AD равна сумме длин отрезков, его составляющих.

Мы можем представить длину отрезка AD как сумму длин отрезков AC и CD:

$AD = AC + CD$

Или как сумму длин отрезков AB и BD:

$AD = AB + BD$

Также можно выразить длину AD через сумму длин всех трех последовательных отрезков:

$AD = AB + BC + CD$

Для решения задачи воспользуемся одним из следующих способов.

Способ 1:

1. Найдем длину отрезка AB. Отрезок AC состоит из отрезков AB и BC, следовательно, $AC = AB + BC$. Отсюда $AB = AC - BC$.

$AB = 8 \text{ см} - 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

2. Теперь мы можем найти длину AD, используя формулу $AD = AB + BD$.

$AD = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Способ 2:

1. Найдем длину отрезка CD. Отрезок BD состоит из отрезков BC и CD, следовательно, $BD = BC + CD$. Отсюда $CD = BD - BC$.

$CD = 6 \text{ см} - 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

2. Теперь мы можем найти длину AD, используя формулу $AD = AC + CD$.

$AD = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Способ 3:

Рассмотрим сумму длин отрезков AC и BD. При их сложении отрезок BC учитывается дважды:

$AC + BD = (AB + BC) + (BC + CD) = AB + 2 \cdot BC + CD$

Зная, что $AD = AB + BC + CD$, мы можем переписать предыдущее выражение как:

$AC + BD = (AB + BC + CD) + BC = AD + BC$

Из этого равенства выразим искомую длину AD:

$AD = AC + BD - BC$

Подставим известные значения:

$AD = 8 \text{ см} + 6 \text{ см} - 2 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 12 см.