Страница 22 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

60. Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 23, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Рис. 23

Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 23

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Эти отрезки называются звеньями ломаной. В данном случае ломаная линия образована точками A, B, E, K, P, R. Её звеньями являются отрезки, соединяющие эти точки по порядку.

Ответ: Звенья ломаной: AB, BE, EK, KP, PR.

Измерьте их длины (в миллиметрах)

Для определения длины каждого звена необходимо воспользоваться измерительным инструментом, например, линейкой. (Важно: результаты измерений могут незначительно варьироваться в зависимости от масштаба изображения в вашем учебнике или на экране).

При измерении получаем следующие длины:
Длина звена AB ≈ 25 мм.
Длина звена BE ≈ 22 мм.
Длина звена EK ≈ 20 мм.
Длина звена KP ≈ 18 мм.
Длина звена PR ≈ 15 мм.

Ответ: Длины звеньев ломаной примерно равны: $AB = 25$ мм, $BE = 22$ мм, $EK = 20$ мм, $KP = 18$ мм, $PR = 15$ мм.

Вычислите длину ломаной

Длина ломаной линии равна сумме длин всех её звеньев. Обозначим искомую длину буквой $L$.

Формула для расчёта будет выглядеть так:

$L = AB + BE + EK + KP + PR$

Теперь подставим в формулу измеренные значения длин:

$L = 25 \text{ мм} + 22 \text{ мм} + 20 \text{ мм} + 18 \text{ мм} + 15 \text{ мм}$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые:

$L = (25 + 15) + (22 + 18) + 20 = 40 + 40 + 20 = 100 \text{ мм}$

Полученный результат можно также перевести в сантиметры, учитывая, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

$100 \text{ мм} = 10 \text{ см}$

Ответ: Длина ломаной составляет 100 мм, или 10 см.

61. Запишите звенья ломаной, изображённой на рисунке 24, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Рис. 24

$ST$, $TK$, $KM$, $MD$, $DO$, $OF$

Запишите звенья ломаной, изображённой на рисунке 24, и измерьте их длины (в миллиметрах)

Ломаная линия, показанная на рисунке, состоит из следующих отрезков, которые называются звеньями:
ST, TK, KM, MD, DO, OF.
После измерения длин этих звеньев с помощью линейки получаем следующие результаты в миллиметрах:
Длина звена ST = 30 мм
Длина звена TK = 15 мм
Длина звена KM = 20 мм
Длина звена MD = 15 мм
Длина звена DO = 20 мм
Длина звена OF = 15 мм
Ответ: звенья ломаной: ST, TK, KM, MD, DO, OF. Их соответствующие длины: 30 мм, 15 мм, 20 мм, 15 мм, 20 мм, 15 мм.

Вычислите длину ломаной

Длина ломаной линии равна сумме длин всех её звеньев. Чтобы найти общую длину, сложим длины всех отрезков:
$L = ST + TK + KM + MD + DO + OF$
$L = 30 \text{ мм} + 15 \text{ мм} + 20 \text{ мм} + 15 \text{ мм} + 20 \text{ мм} + 15 \text{ мм} = 115 \text{ мм}$.
Ответ: длина ломаной равна 115 мм.

62. Отметьте в узле клеток тетради точку $A$; точку $B$ разместите на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки $A$; точку $C$ — на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки $B$; точку $D$ — на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки $C$; точку $E$ — на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки $D$. Соедините последовательно отрезками точки $A, B, C, D$ и $E$. Какая фигура образовалась? Запишите её название и укажите количество звеньев.

Для решения задачи введем систему координат, где одна клетка соответствует единичному отрезку. Поместим точку $A$ в начало координат, тогда ее координаты будут $A(0, 0)$. Теперь последовательно найдем координаты остальных точек:

• Точка B расположена на 4 клетки левее (координата $x$ уменьшается на 4) и на 5 клеток выше (координата $y$ увеличивается на 5) точки $A$. Ее координаты: $x_B = 0 - 4 = -4$; $y_B = 0 + 5 = 5$. Таким образом, $B(-4, 5)$.
• Точка C расположена на 3 клетки правее ($x$ увеличивается на 3) и на 1 клетку выше ($y$ увеличивается на 1) точки $B$. Ее координаты: $x_C = -4 + 3 = -1$; $y_C = 5 + 1 = 6$. Таким образом, $C(-1, 6)$.
• Точка D расположена на 3 клетки правее ($x$ увеличивается на 3) и на 3 клетки ниже ($y$ уменьшается на 3) точки $C$. Ее координаты: $x_D = -1 + 3 = 2$; $y_D = 6 - 3 = 3$. Таким образом, $D(2, 3)$.
• Точка E расположена на 1 клетку правее ($x$ увеличивается на 1) и на 2 клетки ниже ($y$ уменьшается на 2) точки $D$. Ее координаты: $x_E = 2 + 1 = 3$; $y_E = 3 - 2 = 1$. Таким образом, $E(3, 1)$.

Соединив последовательно точки $A, B, C, D$ и $E$ отрезками, мы получаем фигуру, которая является ломаной линией.

Какая фигура образовалась?
Образовалась геометрическая фигура, которая называется ломаная линия. Так как ее начало (точка $A$) и конец (точка $E$) не совпадают, то это незамкнутая ломаная.
Ответ: незамкнутая ломаная линия.

Запишите её название
Название ломаной линии образуется путем перечисления ее вершин по порядку.
Ответ: $ABCDE$.

Укажите количество звеньев
Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит. В данном случае это отрезки $AB, BC, CD, DE$. Их общее количество — 4.
Ответ: 4 звена.

63. Вычислите длину ломаной ABCDE, если $AB = 8$ см, $BC = 14$ см, $CD = 23$ см, $DE = 10$ см.

Длина ломаной линии — это сумма длин всех отрезков (звеньев), из которых она состоит. В данном случае ломаная $ABCDE$ состоит из четырех звеньев: $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$.

По условию задачи нам даны длины этих отрезков:
$AB = 8$ см
$BC = 14$ см
$CD = 23$ см
$DE = 10$ см

Чтобы вычислить общую длину ломаной, необходимо сложить длины всех ее звеньев. Обозначим длину ломаной буквой $L$.
$L = AB + BC + CD + DE$

Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:
$L = 8 + 14 + 23 + 10 = 55$ см.

Ответ: 55 см.

64. Вычислите длину ломаной $MNKPEF$, если $MN = 42$ мм, $NK = 38$ мм, $KP = 19$ мм, $PE = 12$ мм, $EF = 29$ мм.

Длина ломаной линии — это сумма длин всех составляющих ее отрезков (звеньев). В данном случае ломаная MNKPEF состоит из звеньев MN, NK, KP, PE и EF.

Для того чтобы найти общую длину ломаной, необходимо сложить длины всех ее звеньев.

Длина ломаной (обозначим ее L) вычисляется по формуле:

$L = MN + NK + KP + PE + EF$

Подставим значения длин из условия задачи:

$L = 42 \text{ мм} + 38 \text{ мм} + 19 \text{ мм} + 12 \text{ мм} + 29 \text{ мм}$

Выполним сложение:

$42 + 38 + 19 + 12 + 29 = 80 + 19 + 12 + 29 = 99 + 12 + 29 = 111 + 29 = 140$

Таким образом, длина ломаной MNKPEF равна 140 мм.

Ответ: 140 мм.

65. Начертите в тетради ломаную, изображённую на рисунке 25. Измерьте длины звеньев (в миллиметрах) и найдите длину ломаной.

Рис. 25

Для решения задачи необходимо сначала измерить длину каждого звена ломаной (AB, BC и CD), а затем сложить полученные значения для нахождения общей длины ломаной. Так как рисунок дан на клетчатой бумаге, мы можем вычислить длины звеньев точно, приняв сторону одной клетки за условную единицу. В стандартной школьной тетради сторона клетки равна 5 мм. Будем использовать этот масштаб для перевода в миллиметры.

Для вычисления длины каждого звена воспользуемся теоремой Пифагора, рассматривая каждое звено как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого проходят по линиям сетки.

Измерение длины звена AB

Звено AB является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали.
Длина в клетках: $L_{AB} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ клеток.
Переведем в миллиметры: $L_{AB} = 5 \times \sqrt{13} \approx 5 \times 3,606 \approx 18,03$ мм.
При измерении линейкой, округляем до ближайшего целого.
Ответ: Длина звена AB примерно равна 18 мм.

Измерение длины звена BC

Звено BC является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 4 клетки по горизонтали и 1 клетка по вертикали.
Длина в клетках: $L_{BC} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$ клеток.
Переведем в миллиметры: $L_{BC} = 5 \times \sqrt{17} \approx 5 \times 4,123 \approx 20,62$ мм.
Округляем до ближайшего целого.
Ответ: Длина звена BC примерно равна 21 мм.

Измерение длины звена CD

Звено CD является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3 клетки по горизонтали и 4 клетки по вертикали.
Длина в клетках: $L_{CD} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ клеток.
Переведем в миллиметры: $L_{CD} = 5 \times 5 = 25$ мм.
Ответ: Длина звена CD равна 25 мм.

Нахождение длины ломаной

Длина всей ломаной — это сумма длин всех её звеньев.
$L = L_{AB} + L_{BC} + L_{CD}$
$L \approx 18 \text{ мм} + 21 \text{ мм} + 25 \text{ мм} = 64 \text{ мм}$.
Ответ: Длина ломаной примерно равна 64 мм.

66. Известно, что отрезок SK в 3 раза больше отрезка RS (рис. 26). Найдите длину отрезка RK, если $RS = 34 \text{ см}$.

Рис. 26

R S K

По условию задачи известно, что длина отрезка $RS$ составляет 34 см, а отрезок $SK$ в 3 раза больше отрезка $RS$.

Сначала найдем длину отрезка $SK$. Для этого необходимо умножить длину отрезка $RS$ на 3:
$SK = 3 \cdot RS = 3 \cdot 34 \text{ см} = 102 \text{ см}$.

Из рисунка видно, что точка S лежит между точками R и K, следовательно, отрезок $RK$ состоит из двух отрезков: $RS$ и $SK$. Чтобы найти длину отрезка $RK$, нужно сложить длины этих двух отрезков:
$RK = RS + SK = 34 \text{ см} + 102 \text{ см} = 136 \text{ см}$.

Ответ: 136 см.

67. Известно, что отрезок $DB$ в 5 раз меньше отрезка $AD$ (рис. 27). Найдите длину отрезка $AB$, если $AD = 135$ см.

Рис. 27

По условию задачи, отрезок $DB$ в 5 раз меньше отрезка $AD$. Это означает, что для нахождения длины отрезка $DB$ необходимо разделить длину отрезка $AD$ на 5.

Известно, что $AD = 135$ см.

Найдем длину отрезка $DB$:

$DB = AD \div 5 = 135 \div 5 = 27$ см.

Из рисунка видно, что отрезок $AB$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DB$.

Следовательно, чтобы найти длину отрезка $AB$, нужно сложить длины отрезков $AD$ и $DB$:

$AB = AD + DB$

$AB = 135 \text{ см} + 27 \text{ см} = 162 \text{ см}.$

Ответ: 162 см.