Страница 21 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

51. Значения каких из данных величин могут быть равными 165 см:

1) длина карандаша;

2) высота дерева;

3) высота шкафа;

4) длина улицы?

Для того чтобы определить, какие из предложенных величин могут иметь значение 165 см, проанализируем каждую из них, исходя из жизненного опыта и общепринятых представлений о размерах этих объектов.

1) длина карандаша

Стандартная длина нового карандаша составляет примерно 17–20 см. Величина 165 см ($1.65$ м) более чем в 8 раз превышает эту длину и сопоставима с ростом взрослого человека. Такая длина не является реалистичной для обычного карандаша, используемого для письма или рисования.

Ответ: длина карандаша не может быть равной 165 см.

2) высота дерева

Высота деревьев сильно варьируется в зависимости от их вида и возраста. Хотя большинство взрослых деревьев намного выше, высота 165 см является вполне нормальной для молодого саженца, карликового или декоративного дерева, а также для многих видов кустарников. Следовательно, такое значение возможно.

Ответ: высота дерева может быть равной 165 см.

3) высота шкафа

Шкафы, как и другая мебель, производятся в различных размерах для разных нужд и помещений. Высота 165 см является распространённым и стандартным размером для многих моделей шкафов, комодов или стеллажей. Это удобная высота, позволяющая человеку среднего роста легко доставать вещи с верхних полок.

Ответ: высота шкафа может быть равной 165 см.

4) длина улицы

Улицы — это протяжённые объекты в населённых пунктах, их длина измеряется в метрах, а чаще всего в километрах. Даже самые короткие улицы в мире имеют длину в несколько десятков метров. Длина 165 см ($1.65$ м) — это очень маленькое расстояние, меньше длины или даже ширины автомобиля. Улица не может иметь такую длину.

Ответ: длина улицы не может быть равной 165 см.

52. Начертите отрезки MN и AC так, чтобы $MN = 6 \text{ см } 3 \text{ мм}$, $AC = 5 \text{ см } 3 \text{ мм}$.

Для выполнения данного задания необходимо использовать линейку с делениями в сантиметрах и миллиметрах. Задача состоит из двух частей: построение отрезка MN и построение отрезка AC.

Для удобства работы с линейкой переведем заданные длины в миллиметры. Вспомним, что в одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$).

Длина отрезка MN: $6 \text{ см } 3 \text{ мм} = 6 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 63 \text{ мм}$.

Длина отрезка AC: $5 \text{ см } 3 \text{ мм} = 5 \times 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 53 \text{ мм}$.

Построение отрезка MN

1. Поставьте на листе бумаги точку и обозначьте её буквой M. Это будет начало отрезка.
2. Приложите линейку к точке M так, чтобы нулевая отметка на шкале линейки совпала с точкой M.
3. Отмерьте по линейке расстояние 63 мм (что соответствует 6 см и 3 мм) и поставьте вторую точку.
4. Обозначьте эту вторую точку буквой N.
5. Соедините точки M и N прямой линией, используя линейку.
В результате вы получите отрезок MN необходимой длины.
Ответ: Начерчен отрезок MN, длина которого составляет 6 см 3 мм.

Построение отрезка AC

1. В любом свободном месте на листе бумаги поставьте точку и обозначьте её буквой A.
2. Приложите к точке A нулевую отметку линейки.
3. Отмерьте вдоль линейки расстояние 53 мм (что соответствует 5 см и 3 мм) и поставьте вторую точку.
4. Обозначьте эту точку буквой C.
5. Соедините точки A и C по линейке.
В результате вы получите отрезок AC необходимой длины.
Ответ: Начерчен отрезок AC, длина которого составляет 5 см 3 мм.

53. Начертите отрезки $EF$ и $BK$ так, чтобы $EF = 9 \text{ см } 2 \text{ мм}$, $BK = 7 \text{ см } 6 \text{ мм}.

Отрезок EF

Для того чтобы начертить отрезок EF длиной 9 см 2 мм, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сначала нужно перевести заданную длину в одну единицу измерения. Удобнее всего перевести сантиметры в миллиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
   $EF = 9 \text{ см } 2 \text{ мм} = 9 \times 10 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 90 \text{ мм} + 2 \text{ мм} = 92 \text{ мм}$.
2. На листе бумаги с помощью карандаша поставьте точку и назовите её E.
3. Приложите к точке E линейку так, чтобы её нулевое деление (начало шкалы) совпало с этой точкой.
4. Отмерьте вдоль линейки расстояние, равное 92 мм (это 9 сантиметров и 2 миллиметра). Поставьте в конце этого расстояния вторую точку и назовите её F.
5. Соедините точки E и F с помощью карандаша и линейки.

Ответ: В результате будет начерчен отрезок EF, длина которого составляет 9 см 2 мм.

Отрезок BK

Для того чтобы начертить отрезок BK длиной 7 см 6 мм, необходимо выполнить следующие действия:

1. Переведем заданную длину в миллиметры, используя соотношение $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
   $BK = 7 \text{ см } 6 \text{ мм} = 7 \times 10 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 70 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 76 \text{ мм}$.
2. На листе бумаги поставьте точку и назовите её B.
3. Приложите к точке B линейку так, чтобы её нулевое деление совпало с этой точкой.
4. Отмерьте вдоль линейки расстояние, равное 76 мм (это 7 сантиметров и 6 миллиметров). Поставьте в конце этого расстояния вторую точку и назовите её K.
5. Соедините точки B и K с помощью карандаша и линейки.

Ответ: В результате будет начерчен отрезок BK, длина которого составляет 7 см 6 мм.

54. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 8 см 9 мм. Отметьте на нём точку $C$ так, чтобы $CB = 3 \text{ см } 4 \text{ мм}$. Какова длина отрезка $AC$?

По условию задачи, на отрезке $AB$ отмечена точка $C$. Это означает, что отрезок $AB$ состоит из двух отрезков: $AC$ и $CB$. Длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей. Это можно записать в виде формулы:
$AB = AC + CB$

Нам известна длина всего отрезка $AB$ и длина его части $CB$:
$AB = 8$ см $9$ мм
$CB = 3$ см $4$ мм

Чтобы найти длину неизвестной части, отрезка $AC$, нужно из длины всего отрезка $AB$ вычесть длину известной части $CB$:
$AC = AB - CB$

Выполним вычитание. Удобнее всего вычитать сантиметры из сантиметров, а миллиметры из миллиметров:
$AC = (8$ см $9$ мм$) - (3$ см $4$ мм$) = (8 - 3)$ см $(9 - 4)$ мм $= 5$ см $5$ мм.

Проверим решение, переведя все значения в миллиметры (в 1 см = 10 мм):
$AB = 8$ см $9$ мм $= 8 \times 10 + 9 = 89$ мм.
$CB = 3$ см $4$ мм $= 3 \times 10 + 4 = 34$ мм.
$AC = 89$ мм $- 34$ мм $= 55$ мм.
$55$ мм $= 5$ см $5$ мм.
Результаты совпадают.

Ответ: длина отрезка $AC$ равна $5$ см $5$ мм.

55. Начертите отрезок $TP$, длина которого равна 7 см 8 мм. Отметьте на нём точку $E$ так, чтобы $TE = 2 \text{ см } 6 \text{ мм}$. Какова длина отрезка $EP$?

Чтобы найти длину отрезка EP, необходимо из общей длины отрезка TP вычесть длину известной его части — отрезка TE. Это следует из того, что точка E, согласно условию, лежит на отрезке TP, а значит, разбивает его на две части: TE и EP.

Длина всего отрезка TP составляет 7 см 8 мм.

Длина его части, отрезка TE, составляет 2 см 6 мм.

Математически это можно записать следующим образом:

$TP = TE + EP$

Отсюда, чтобы найти длину EP, выполним вычитание:

$EP = TP - TE = (7 \text{ см } 8 \text{ мм}) - (2 \text{ см } 6 \text{ мм})$

Вычтем сантиметры из сантиметров, а миллиметры из миллиметров:

$7 \text{ см } - 2 \text{ см } = 5 \text{ см }$
$8 \text{ мм } - 6 \text{ мм } = 2 \text{ мм }$

Таким образом, длина отрезка EP равна 5 см 2 мм.

Проверка: можно перевести все длины в миллиметры.

$TP = 7 \text{ см } 8 \text{ мм } = 78 \text{ мм }$
$TE = 2 \text{ см } 6 \text{ мм } = 26 \text{ мм }$

$EP = 78 \text{ мм } - 26 \text{ мм } = 52 \text{ мм }$

$52 \text{ мм }$ это то же самое, что $5 \text{ см } 2 \text{ мм }$. Расчеты верны.

Ответ: длина отрезка EP равна 5 см 2 мм.

56. Сравните на глаз отрезки $AB$ и $CD$ (рис. 20). Проверьте свой вывод измерением.

Рис. 20

Сравните на глаз отрезки AB и CD

При визуальном сравнении отрезков $AB$ и $CD$ создается оптическая иллюзия (иллюзия Мюллера-Лайера). Из-за стрелок, направленных наружу, отрезок $AB$ кажется короче, чем отрезок $CD$, у которого стрелки направлены внутрь.

Ответ: на глаз кажется, что отрезок $AB$ короче отрезка $CD$, то есть $AB < CD$.

Проверьте свой вывод измерением

Чтобы проверить первоначальный вывод, необходимо измерить длину каждого отрезка с помощью линейки. Измеряется только длина основной линии, без учета "стрелок" на концах.

Измерение показывает, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$. Таким образом, первоначальное визуальное предположение было неверным из-за оптической иллюзии.

Ответ: измерение показывает, что длины отрезков равны: $AB = CD$.

57. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна 5 мм, отмечены точки A, B и C (рис. 21). Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC.

Рис. 21

Для решения задачи введем систему координат, в которой начало отсчета совпадает с левым нижним углом сетки, а единичный отрезок равен стороне одной клетки. Длина стороны клетки по условию равна 5 мм.

1. Определение координат точек.
В выбранной системе координат точки имеют следующие координаты (в клетках):

• Точка A: $(2; 1)$
• Точка B: $(1; 4)$
• Точка C: $(4; 4)$

2. Нахождение середины отрезка BC.
Пусть точка M является серединой отрезка BC. Ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат точек B и C: $x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ $y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Таким образом, координаты точки M: $(2,5; 4)$.

3. Нахождение расстояния от точки A до точки M.
Искомое расстояние — это длина отрезка AM. Мы можем найти ее по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, где AM — гипотенуза, а катеты — разности соответствующих координат.

Длина горизонтального катета в клетках: $\Delta x = |x_M - x_A| = |2,5 - 2| = 0,5$ клетки.
Длина вертикального катета в клетках: $\Delta y = |y_M - y_A| = |4 - 1| = 3$ клетки.

Теперь переведем длины катетов в миллиметры, умножив их на 5 мм (длину стороны клетки):
Длина горизонтального катета: $0,5 \times 5 = 2,5$ мм.
Длина вертикального катета: $3 \times 5 = 15$ мм.

По теореме Пифагора, искомое расстояние AM равно: $AM = \sqrt{(2,5)^2 + (15)^2} = \sqrt{6,25 + 225} = \sqrt{231,25}$ мм.

Ответ: $\sqrt{231,25}$ мм.

58. На клетчатой бумаге, длина стороны клетки которой равна 5 мм, отмечены точки $M$, $N$ и $K$ (рис. 22). Найдите расстояние от точки $K$ до середины отрезка $MN$.

Рис. 22

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем за единицу измерения длину стороны одной клетки. Расположим начало координат, точку O(0,0), в левом нижнем углу видимой части сетки. Ось абсцисс (Ox) направим горизонтально вправо, а ось ординат (Oy) — вертикально вверх.

В этой системе координат определим координаты заданных точек, подсчитав количество клеток от осей:

• Точка K смещена на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх от начала координат, следовательно, её координаты $K(1; 2)$.
• Точка M смещена на 7 клеток вправо и 3 клетки вверх, следовательно, её координаты $M(7; 3)$.
• Точка N смещена на 7 клеток вправо и 1 клетку вверх, следовательно, её координаты $N(7; 1)$.

Теперь найдем координаты середины отрезка MN. Обозначим эту точку буквой P. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов по формулам:

$x_P = \frac{x_M + x_N}{2}$

$y_P = \frac{y_M + y_N}{2}$

Подставим координаты точек M и N:

$x_P = \frac{7 + 7}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$y_P = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, середина отрезка MN — это точка $P$ с координатами $(7; 2)$.

Далее найдем расстояние от точки $K(1; 2)$ до точки $P(7; 2)$. Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле расстояния:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим в формулу координаты точек K и P:

$d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$

Полученное расстояние равно 6 единичным отрезкам, то есть 6 сторонам клеток.

По условию задачи, длина стороны одной клетки равна 5 мм. Чтобы найти искомое расстояние в миллиметрах, умножим полученное значение на 5:

$6 \times 5 \text{ мм} = 30 \text{ мм}$

Ответ: 30 мм.

59. Назовите все ломаные, изображённые на рисунке 13. Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?

Поскольку изображение с рисунком 13 отсутствует, приведем решение на основе гипотетического примера. Допустим, на рисунке изображены три ломаные: ABCDE, KMN и FXYZP.

Назовите все ломаные, изображённые на рисунке 13.

Ломаная линия — это фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых в вершинах. На условном рисунке изображены следующие ломаные:

• ABCDE
• KMN
• FXYZP

Ответ: ABCDE, KMN, FXYZP.

Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо посчитать количество звеньев (отрезков) в каждой ломаной. Количество звеньев в ломаной на единицу меньше количества ее вершин.

• Ломаная ABCDE имеет вершины A, B, C, D, E. Она состоит из 4 звеньев: AB, BC, CD, DE.
• Ломаная KMN имеет вершины K, M, N. Она состоит из 2 звеньев: KM, MN.
• Ломаная FXYZP имеет вершины F, X, Y, Z, P. Она состоит из 4 звеньев: FX, XY, YZ, ZP.

Сравним количество звеньев: $4 = 4 > 2$.

Наибольшее количество звеньев (по 4) имеют ломаные ABCDE и FXYZP.

Ответ: Ломаные ABCDE и FXYZP.