Страница 19 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как обозначают отрезок?

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Все точки, лежащие на прямой между концами, также принадлежат отрезку.

Существует два основных способа обозначения отрезка:

1. Двумя заглавными латинскими буквами. Этими буквами обозначают концы отрезка. Например, если концы отрезка — это точки $A$ и $B$, то отрезок обозначают как $AB$ или $BA$. Порядок букв в обозначении не имеет значения, так как отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — это одна и та же фигура.

2. Одной строчной латинской буквой. Иногда для краткости отрезок обозначают одной маленькой буквой, например, $a$, $b$ или $c$. Этот способ удобен, когда не нужно указывать конкретные концы отрезка, а важна, например, его длина.

Ответ: Отрезок обозначают двумя заглавными латинскими буквами, соответствующими его концам (например, $MK$), или одной строчной латинской буквой (например, $a$).

2. Какие вы знаете единицы длины?

Существует множество единиц измерения длины, которые можно сгруппировать в различные системы. Ниже приведены наиболее известные из них.

• Метрическая система

  Это наиболее распространенная в мире система, основанная на метре. Единицы в ней связаны друг с другом через степень числа 10.

  • Километр (км): Используется для измерения больших расстояний. $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
  • Метр (м): Основная единица длины в Международной системе единиц (СИ).
  • Дециметр (дм): $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
  • Сантиметр (см): $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
  • Миллиметр (мм): $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, следовательно $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$.
  • Микрометр (мкм): Используется в науке и технике для измерения очень малых объектов. $1 \text{ мм} = 1000 \text{ мкм}$.
  • Нанометр (нм): Используется в нанотехнологиях. $1 \text{ мкм} = 1000 \text{ нм}$.
• Британская/Имперская система мер

  Используется в основном в США, Великобритании и некоторых других странах.

  • Миля: $1 \text{ миля} = 1760 \text{ ярдов} \approx 1609.34 \text{ м}$.
  • Ярд: $1 \text{ ярд} = 3 \text{ фута} \approx 0.9144 \text{ м}$.
  • Фут: $1 \text{ фут} = 12 \text{ дюймов} \approx 30.48 \text{ см}$.
  • Дюйм: $1 \text{ дюйм} \approx 2.54 \text{ см}$.
• Старорусские единицы длины

  Исторические единицы, использовавшиеся на Руси до введения метрической системы.

  • Верста: $1 \text{ верста} = 500 \text{ саженей} \approx 1066.8 \text{ м}$.
  • Сажень: $1 \text{ сажень} = 3 \text{ аршина} \approx 2.1336 \text{ м}$.
  • Аршин: $1 \text{ аршин} = 16 \text{ вершков} \approx 71.12 \text{ см}$.
  • Вершок: $1 \text{ вершок} \approx 4.45 \text{ см}$.
• Морские единицы

  Специальные единицы, применяемые в мореплавании и авиации.

  • Морская миля: Равна одной минуте дуги меридиана. $1 \text{ морская миля} = 1852 \text{ м}$.
  • Кабельтов: $1 \text{ кабельтов} = \frac{1}{10} \text{ морской мили} = 185.2 \text{ м}$.
• Астрономические единицы

  Используются для измерения огромных расстояний в космосе.

  • Астрономическая единица (а.е.): Среднее расстояние от Земли до Солнца. $1 \text{ а.е.} \approx 1.496 \times 10^{11} \text{ м}$.
  • Световой год: Расстояние, которое свет проходит в вакууме за один год. $1 \text{ световой год} \approx 9.46 \times 10^{15} \text{ м}$.
  • Парсек (пк): Расстояние, с которого средний радиус земной орбиты виден под углом в одну угловую секунду. $1 \text{ пк} \approx 3.26 \text{ светового года}$.

Ответ: К известным единицам длины относятся: километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр, микрометр, нанометр (метрическая система); миля, ярд, фут, дюйм (имперская система); верста, сажень, аршин, вершок (старорусские); морская миля, кабельтов (морские); астрономическая единица, световой год, парсек (астрономические).

3. Объясните, что означает измерить длину отрезка.

Измерить длину отрезка — это значит сравнить его с другим отрезком, который принят за единицу измерения, и найти числовое значение этого сравнения. По сути, это процедура, позволяющая сопоставить геометрическому отрезку положительное число.

Процесс измерения включает в себя следующие ключевые этапы:

• Выбор единицы измерения. Сначала выбирается эталонный отрезок, длина которого принимается за единицу. Его называют единичным отрезком. В качестве единиц измерения могут выступать стандартные величины, такие как миллиметр, сантиметр, метр, дюйм и т.д.
• Процесс сравнения. Затем выясняется, сколько раз выбранный единичный отрезок и его части (например, десятые или сотые) укладываются вдоль измеряемого отрезка. Практически это делается с помощью измерительных инструментов, например, линейки, на которой уже нанесены деления, соответствующие долям единичного отрезка.
• Получение результата. Число, которое в результате сравнения показывает, во сколько раз измеряемый отрезок больше единичного, и называется его длиной.

Таким образом, если длина отрезка $AB$ равна $L$, это означает, что отношение длины отрезка $AB$ к длине единичного отрезка $e$ равно числу $L$, то есть $L = \frac{AB}{e}$. Длина отрезка обладает важным свойством аддитивности: если точка $C$ делит отрезок $AB$ на две части, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AC + CB$.

Ответ: Измерить длину отрезка — значит определить, сколько раз в этом отрезке укладывается другой отрезок, принятый за единицу измерения. Результатом измерения является положительное число, называемое длиной.

4. Каким свойством обладает длина отрезка?

Длина отрезка — это численная характеристика, которая сопоставляется каждому отрезку и обладает следующими основными свойствами, которые в геометрии принимаются как аксиомы:

• Неотрицательность

  Длина любого отрезка является неотрицательным числом. Она больше нуля для любого отрезка, у которого начало и конец не совпадают, и равна нулю только в том случае, если точки начала и конца отрезка совпадают. Для отрезка $AB$ его длина $d(A, B) \geq 0$.

• Аддитивность

  Это ключевое свойство для решения задач. Если точка $C$ принадлежит отрезку $AB$ (т.е. лежит между точками $A$ и $B$), то длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей — отрезков $AC$ и $CB$.

  Формула аддитивности: $AB = AC + CB$.

• Свойство равенства (Инвариантность)

  Равные отрезки имеют равные длины. И обратно: отрезки, имеющие равные длины, равны. Это означает, что длина отрезка является его внутренней характеристикой и не зависит от его расположения на плоскости или в пространстве.

• Свойство единицы измерения

  Существует отрезок, длина которого принимается за единицу (единичный отрезок). Длина любого другого отрезка выражается числом, которое показывает, сколько раз этот единичный отрезок (и его части) укладывается в измеряемом отрезке.

Хотя все эти свойства важны, в школьном курсе геометрии при ответе на вопрос "Каким свойством обладает длина отрезка?" чаще всего подразумевается свойство аддитивности, так как оно наиболее часто используется при решении задач.

Ответ: Длина отрезка обладает свойством аддитивности: если точка C лежит на отрезке AB, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей ($AB = AC + CB$). Также важными свойствами являются неотрицательность (длина всегда $\ge 0$), инвариантность (равные отрезки имеют равные длины) и существование единицы измерения.

5. Какие отрезки называют равными?

В геометрии существует два основных способа определить равенство отрезков.

1. Через длину. Два отрезка называют равными, если их длины одинаковы. Длина отрезка — это положительное число, которое показывает, сколько раз в отрезке укладывается единичный отрезок, принятый за эталон. Если длина отрезка $AB$ равна 7 см и длина отрезка $CD$ также равна 7 см, то отрезки $AB$ и $CD$ равны. Это записывается как $AB = CD$.

2. Через наложение. Два отрезка называют равными, если их можно совместить наложением так, чтобы их концы совпали. Это означает, что если взять один отрезок и переместить его в пространстве (не изгибая и не растягивая), то он может полностью совпасть с другим отрезком. Например, если приложить начало отрезка $AB$ к началу отрезка $CD$, то и их концы также совпадут.

Оба определения эквивалентны. На практике чаще всего используется определение через равенство длин, так как длину легко измерить и сравнить.

Ответ: Отрезки называют равными, если они имеют одинаковую длину.

6. Какие длины имеют равные отрезки?

В геометрии два отрезка считаются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Это означает, что их начальные и конечные точки можно совместить друг с другом одновременно.

Длина отрезка — это положительное число, которое характеризует его протяженность. Она измеряется в единицах длины (сантиметры, метры, дюймы и т. д.).

Из определения равных отрезков непосредственно следует, что у них должны быть одинаковые численные характеристики. Главной такой характеристикой является длина. Если отрезки $AB$ и $CD$ равны, то расстояние между точками $A$ и $B$ будет точно таким же, как и расстояние между точками $C$ и $D$.

Таким образом, равные отрезки имеют равные (одинаковые) длины. Справедливо и обратное утверждение: если длины двух отрезков равны, то и сами отрезки равны.

Математически это записывается так: отрезок $AB$ равен отрезку $CD$ ($AB = CD$) тогда и только тогда, когда их длины равны.

Ответ: равные отрезки имеют равные (одинаковые) длины.

7. Какой из двух неравных отрезков считают большим?

Чтобы определить, какой из двух неравных отрезков является большим, необходимо сравнить их длины. Большим считается тот отрезок, длина которого больше. Сравнение можно произвести двумя основными способами.

Метод измерения: Наиболее практичный способ — это измерение длины каждого отрезка с помощью инструмента, например, линейки. Отрезки измеряются в одинаковых единицах (сантиметрах, дюймах и т.д.). Тот отрезок, которому соответствует большее числовое значение длины, и является большим. Например, если длина отрезка $AB$ равна 7 см, а длина отрезка $CD$ равна 4 см, то так как $7 > 4$, отрезок $AB$ больше отрезка $CD$.

Метод наложения: Это фундаментальный геометрический способ сравнения. Один отрезок мысленно накладывают на другой так, чтобы их начальные точки совпадали, и они были расположены на одном луче. Например, совместим начало отрезка $CD$ (точку $C$) с началом отрезка $AB$ (точкой $A$). Если при этом конец отрезка $CD$ (точка $D$) оказывается между началом и концом отрезка $AB$ (между точками $A$ и $B$), то это означает, что отрезок $CD$ полностью помещается внутри отрезка $AB$. В этом случае отрезок $AB$ считается большим.

Ответ: Большим из двух неравных отрезков считают тот, у которого больше длина.

8. Что называют расстоянием между точками A и B?

Расстоянием между двумя точками A и B называют длину отрезка прямой, который соединяет эти две точки.

Это одно из фундаментальных понятий в евклидовой геометрии. Расстояние является неотрицательной величиной. Если точки A и B совпадают, расстояние между ними равно нулю. Расстояние между точками A и B обычно обозначается как $AB$ или $\rho(A, B)$.

Для вычисления расстояния в декартовой системе координат используются следующие формулы, основанные на теореме Пифагора:

• На координатной прямой (в 1D пространстве): если точка A имеет координату $x_A$, а точка B — координату $x_B$, то расстояние между ними равно модулю разности их координат:
  $AB = |x_B - x_A|$
• На координатной плоскости (в 2D пространстве): если точка A имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка B — координаты $(x_B, y_B)$, то расстояние между ними вычисляется по формуле:
  $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
• В трехмерном пространстве (в 3D пространстве): если точка A имеет координаты $(x_A, y_A, z_A)$, а точка B — координаты $(x_B, y_B, z_B)$, то формула для нахождения расстояния имеет вид:
  $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Ответ: Расстоянием между точками A и B называют длину отрезка, соединяющего эти точки.

1. Какое число больше числа 46 на 9? Какое число меньше числа 72 на 15? Какое число больше числа 21 в 7 раз? Какое число меньше числа 65 в 13 раз?

Какое число больше числа 46 на 9?

Чтобы найти число, которое больше числа 46 на 9, необходимо к числу 46 прибавить 9. Это действие выражается операцией сложения.

$46 + 9 = 55$

Ответ: 55

Какое число меньше числа 72 на 15?

Чтобы найти число, которое меньше числа 72 на 15, необходимо из числа 72 вычесть 15. Это действие выражается операцией вычитания.

$72 - 15 = 57$

Ответ: 57

Какое число больше числа 21 в 7 раз?

Чтобы найти число, которое больше числа 21 в 7 раз, необходимо число 21 умножить на 7. Это действие выражается операцией умножения.

$21 \cdot 7 = 147$

Ответ: 147

Какое число меньше числа 65 в 13 раз?

Чтобы найти число, которое меньше числа 65 в 13 раз, необходимо число 65 разделить на 13. Это действие выражается операцией деления.

$65 \div 13 = 5$

Ответ: 5

2. Назовите все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6.

Чтобы найти все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6, необходимо найти все пары цифр, удовлетворяющие этому условию. Двузначное число состоит из цифры десятков и цифры единиц. Обозначим цифру десятков как $a$, а цифру единиц как $b$. По условию задачи, их сумма должна быть равна 6:

$a + b = 6$

Так как число является двузначным, первая цифра $a$ (десятки) не может быть нулем. Она может быть любым целым числом от 1 до 9. Вторая цифра $b$ (единицы) может быть любым целым числом от 0 до 9.
Будем последовательно перебирать все возможные значения для первой цифры $a$ и находить соответствующее значение для $b$:

• Если $a = 1$, то $b = 6 - 1 = 5$. Получаем число 15.
• Если $a = 2$, то $b = 6 - 2 = 4$. Получаем число 24.
• Если $a = 3$, то $b = 6 - 3 = 3$. Получаем число 33.
• Если $a = 4$, то $b = 6 - 4 = 2$. Получаем число 42.
• Если $a = 5$, то $b = 6 - 5 = 1$. Получаем число 51.
• Если $a = 6$, то $b = 6 - 6 = 0$. Получаем число 60.

Если взять $a$ равным 7 или больше, то значение $b$ станет отрицательным ($b = 6 - 7 = -1$), что невозможно, так как $b$ должно быть цифрой. Следовательно, мы нашли все возможные числа.
Ответ: 15, 24, 33, 42, 51, 60.

3. Назовите три последовательных натуральных числа, наименьшим из которых является наибольшее четырёхзначное число.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо последовательно выполнить два действия: найти наибольшее четырёхзначное число, а затем найти два следующих за ним натуральных числа.

1. Найдём наибольшее четырёхзначное натуральное число. Четырёхзначные числа — это числа от 1000 до 9999. Самое большое число в этом диапазоне, состоящее из четырёх цифр, — это 9999.

2. По условию задачи, это число (9999) является наименьшим в искомой последовательности из трёх чисел. Последовательные натуральные числа отличаются друг от друга на единицу. Обозначим наименьшее число как $n$. Тогда следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$.

Зная, что наименьшее число $n = 9999$, найдём остальные:

• Первое число: $9999$
• Второе число: $9999 + 1 = 10000$
• Третье число: $10000 + 1 = 10001$

Таким образом, искомые три последовательных натуральных числа — это 9999, 10000 и 10001.

Ответ: 9999, 10000, 10001.

4. Назовите три последовательных натуральных числа, наибольшим из которых является наименьшее четырёхзначное число.

Чтобы найти три искомых последовательных натуральных числа, необходимо сначала определить, какое число является наименьшим четырехзначным.

Наибольшим трехзначным числом является 999. Следующее за ним натуральное число — это 1000. Оно состоит из четырех цифр и является наименьшим четырехзначным числом.

Согласно условию задачи, это число, 1000, является наибольшим из трех последовательных натуральных чисел. Пусть эти три числа $a$, $b$ и $c$, где $a < b < c$. Тогда $c = 1000$.

Поскольку числа являются последовательными, то каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Значит, чтобы найти предыдущие два числа, нужно вычесть 1:

• Второе число: $b = c - 1 = 1000 - 1 = 999$.
• Первое число: $a = b - 1 = 999 - 1 = 998$.

Таким образом, мы получаем три последовательных натуральных числа: 998, 999, 1000.

Ответ: 998, 999, 1000.