Страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

31. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

1) 34 729;

$3 \cdot 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 7 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0$

2) 478 254;

$4 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0$

3) 23 487 901.

$2 \cdot 10^7 + 3 \cdot 10^6 + 4 \cdot 10^5 + 8 \cdot 10^4 + 7 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^0$

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно определить значение каждой цифры в зависимости от её позиции (разряда) и сложить эти значения.

1)

Разложим число 34 729 на разрядные слагаемые:

• Цифра 3 находится в разряде десятков тысяч, её значение равно $3 \cdot 10000 = 30000$.
• Цифра 4 находится в разряде тысяч, её значение равно $4 \cdot 1000 = 4000$.
• Цифра 7 находится в разряде сотен, её значение равно $7 \cdot 100 = 700$.
• Цифра 2 находится в разряде десятков, её значение равно $2 \cdot 10 = 20$.
• Цифра 9 находится в разряде единиц, её значение равно $9 \cdot 1 = 9$.

Таким образом, сумма разрядных слагаемых для числа 34 729 будет:

$34729 = 30000 + 4000 + 700 + 20 + 9$.

Ответ: $34729 = 30000 + 4000 + 700 + 20 + 9$.

2)

Разложим число 478 254 на разрядные слагаемые:

• Цифра 4 находится в разряде сотен тысяч, её значение: $4 \cdot 100000 = 400000$.
• Цифра 7 находится в разряде десятков тысяч, её значение: $7 \cdot 10000 = 70000$.
• Цифра 8 находится в разряде тысяч, её значение: $8 \cdot 1000 = 8000$.
• Цифра 2 находится в разряде сотен, её значение: $2 \cdot 100 = 200$.
• Цифра 5 находится в разряде десятков, её значение: $5 \cdot 10 = 50$.
• Цифра 4 находится в разряде единиц, её значение: $4 \cdot 1 = 4$.

Сумма разрядных слагаемых для числа 478 254:

$478254 = 400000 + 70000 + 8000 + 200 + 50 + 4$.

Ответ: $478254 = 400000 + 70000 + 8000 + 200 + 50 + 4$.

3)

Разложим число 23 487 901 на разрядные слагаемые:

• Цифра 2 находится в разряде десятков миллионов, её значение: $2 \cdot 10000000 = 20000000$.
• Цифра 3 находится в разряде миллионов, её значение: $3 \cdot 1000000 = 3000000$.
• Цифра 4 находится в разряде сотен тысяч, её значение: $4 \cdot 100000 = 400000$.
• Цифра 8 находится в разряде десятков тысяч, её значение: $8 \cdot 10000 = 80000$.
• Цифра 7 находится в разряде тысяч, её значение: $7 \cdot 1000 = 7000$.
• Цифра 9 находится в разряде сотен, её значение: $9 \cdot 100 = 900$.
• Цифра 0 находится в разряде десятков, её значение равно 0, поэтому это слагаемое можно опустить.
• Цифра 1 находится в разряде единиц, её значение: $1 \cdot 1 = 1$.

Сумма разрядных слагаемых для числа 23 487 901:

$23487901 = 20000000 + 3000000 + 400000 + 80000 + 7000 + 900 + 1$.

Ответ: $23487901 = 20000000 + 3000000 + 400000 + 80000 + 7000 + 900 + 1$.

32. Запишите число, которое:

1) на 1 меньше наименьшего трёхзначного числа;

2) на 4 больше наибольшего трёхзначного числа;

3) на 5 меньше наименьшего пятизначного числа;

4) на 6 больше наибольшего шестизначного числа;

5) на 7 больше наименьшего восьмизначного числа.

1) Наименьшее трёхзначное число — это 100. Чтобы найти число, которое на 1 меньше, нужно из 100 вычесть 1. Выполним вычисление:
$100 - 1 = 99$
Ответ: 99.

2) Наибольшее трёхзначное число — это 999. Чтобы найти число, которое на 4 больше, нужно к 999 прибавить 4. Выполним сложение:
$999 + 4 = 1003$
Ответ: 1003.

3) Наименьшее пятизначное число — это 10 000. Чтобы найти число, которое на 5 меньше, нужно из 10 000 вычесть 5. Выполним вычисление:
$10\,000 - 5 = 9\,995$
Ответ: 9 995.

4) Наибольшее шестизначное число — это 999 999. Чтобы найти число, которое на 6 больше, нужно к 999 999 прибавить 6. Выполним сложение:
$999\,999 + 6 = 1\,000\,005$
Ответ: 1 000 005.

5) Наименьшее восьмизначное число — это 10 000 000. Чтобы найти число, которое на 7 больше, нужно к 10 000 000 прибавить 7. Выполним сложение:
$10\,000\,000 + 7 = 10\,000\,007$
Ответ: 10 000 007.

33. Запишите наибольшее восьмизначное число, а также следующее и предыдущее числа.

Наибольшее восьмизначное число
Восьмизначное число — это число, состоящее из 8 цифр. Чтобы число было наибольшим, каждая его цифра в каждом разряде должна быть самой большой из возможных, то есть 9. Таким образом, наибольшее восьмизначное число состоит из восьми цифр 9.
Ответ: 99 999 999.

Следующее число
Чтобы найти число, следующее за данным, нужно прибавить к нему единицу. Выполним сложение:
$99\ 999\ 999 + 1 = 100\ 000\ 000$
Следующее число — сто миллионов. Это наименьшее девятизначное число.
Ответ: 100 000 000.

Предыдущее число
Чтобы найти число, предыдущее данному, нужно вычесть из него единицу. Выполним вычитание:
$99\ 999\ 999 - 1 = 99\ 999\ 998$
Предыдущее число также является восьмизначным.
Ответ: 99 999 998.

34. Запишите наименьшее семизначное число, а также следующее и предыдущее числа.

Наименьшее семизначное число

Семизначное число — это натуральное число, в записи которого используется семь цифр. Чтобы число было наименьшим, его первая (старшая) цифра должна быть наименьшей из возможных, но не равной нулю. Это цифра 1. Все остальные шесть цифр должны быть наименьшими из возможных, то есть 0. Таким образом, наименьшее семизначное число — это 1 000 000.

Ответ: 1 000 000.

Следующее число

Чтобы найти число, следующее за 1 000 000, необходимо прибавить к нему единицу:$1\;000\;000 + 1 = 1\;000\;001$

Ответ: 1 000 001.

Предыдущее число

Чтобы найти число, предыдущее числу 1 000 000, необходимо вычесть из него единицу:$1\;000\;000 - 1 = 999\;999$Это число является наибольшим шестизначным числом.

Ответ: 999 999.

35. Двузначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное четырёхзначное число больше данного двузначного числа?

Пусть исходное двузначное число будет $x$.

Когда мы записываем это число два раза подряд, мы получаем четырехзначное число. Например, если исходное число — 58, то новое число — 5858.

Это новое четырехзначное число можно представить следующим образом: $5858 = 5800 + 58 = 58 \times 100 + 58$.

В общем виде для любого двузначного числа $x$ полученное четырехзначное число будет равно $x \times 100 + x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x \times 100 + x = x \times (100 + 1) = 101x$.

Чтобы определить, во сколько раз полученное число больше исходного, нужно разделить новое число на исходное: $\frac{101x}{x} = 101$.

Таким образом, полученное четырехзначное число в 101 раз больше данного двузначного числа.

Ответ: 101

36. Трёхзначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное шестизначное число больше данного трёхзначного числа?

Обозначим исходное трёхзначное число переменной $N$.

Когда мы записываем это число подряд два раза, мы получаем шестизначное число. Например, если исходное число было 123, то новое число будет 123123.

Новое шестизначное число можно представить в виде суммы. Используя тот же пример, $123123 = 123000 + 123$.

Мы можем выразить это алгебраически для любого трёхзначного числа $N$. Записать число $N$ и затем снова $N$ — это то же самое, что умножить $N$ на 1000 (чтобы "сдвинуть" его на три разряда влево) и затем прибавить исходное число $N$.

Таким образом, новое шестизначное число равно $N \times 1000 + N$.

Чтобы найти, во сколько раз полученное число больше данного, нужно разделить полученное число на данное:

$\frac{N \times 1000 + N}{N}$

Вынесем $N$ за скобки в числителе:

$\frac{N \times (1000 + 1)}{N}$

Теперь можно сократить $N$ в числителе и знаменателе:

$1000 + 1 = 1001$

Следовательно, полученное шестизначное число всегда больше исходного трёхзначного числа в 1001 раз, независимо от того, какое именно трёхзначное число было взято.

Ответ: в 1001 раз.

37. В книге пронумерованы страницы с первой по сто семьдесят вторую. Сколько цифр напечатано при нумерации страниц?

Для решения задачи необходимо посчитать, сколько цифр требуется для нумерации страниц с однозначными, двузначными и трехзначными номерами в диапазоне от 1 до 172, а затем сложить эти значения.

1. Подсчет цифр для однозначных номеров.

Страницы с однозначными номерами — это страницы с 1 по 9.
Количество таких страниц: $9 - 1 + 1 = 9$ страниц.
Так как каждый номер состоит из одной цифры, общее количество цифр для этой группы:
$9 \times 1 = 9$ цифр.

2. Подсчет цифр для двузначных номеров.

Страницы с двузначными номерами — это страницы с 10 по 99.
Количество таких страниц: $99 - 10 + 1 = 90$ страниц.
Так как каждый номер состоит из двух цифр, общее количество цифр для этой группы:
$90 \times 2 = 180$ цифр.

3. Подсчет цифр для трехзначных номеров.

Страницы с трехзначными номерами в данной книге — это страницы со 100 по 172.
Количество таких страниц: $172 - 100 + 1 = 73$ страницы.
Так как каждый номер состоит из трех цифр, общее количество цифр для этой группы:
$73 \times 3 = 219$ цифр.

4. Подсчет общего количества цифр.

Теперь сложим количество цифр из всех трех групп, чтобы найти итоговое количество напечатанных цифр:
$9 + 180 + 219 = 408$ цифр.

Ответ: 408.

38. Для нумерации страниц книги напечатано 672 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать, сколько цифр требуется для нумерации страниц с разным количеством знаков (однозначных, двузначных, трехзначных и т.д.), пока мы не используем все 672 цифры.

1. Нумерация страниц с однозначными номерами.
Это страницы с 1 по 9. Всего их 9.Для их нумерации требуется $9 \times 1 = 9$ цифр.

2. Нумерация страниц с двузначными номерами.
Это страницы с 10 по 99. Всего их $99 - 10 + 1 = 90$ страниц.Для их нумерации требуется $90 \times 2 = 180$ цифр.

Суммарно для нумерации первых 99 страниц требуется $9 + 180 = 189$ цифр.

3. Нумерация страниц с трехзначными номерами.
По условию, всего было использовано 672 цифры. Поскольку $672 > 189$, в книге есть страницы с трехзначными номерами.Вычислим, сколько цифр осталось для нумерации страниц, идущих после 99-й:$672 - 189 = 483$ цифры.

Каждый номер такой страницы состоит из трех цифр. Найдем количество страниц с трехзначными номерами:$483 \div 3 = 161$ страница.

4. Определение общего количества страниц.
Общее количество страниц в книге равно сумме страниц со всеми типами номеров:$9 \text{ (однозначных)} + 90 \text{ (двузначных)} + 161 \text{ (трехзначная)} = 260$ страниц.

Ответ: 260 страниц.

39. Вычислите:

1) $754 \cdot 60;$

2) $2504 \cdot 82;$

3) $364 \cdot 276;$

4) $407 \cdot 306;$

5) $852 : 6;$

6) $67216 : 8;$

7) $782 : 34;$

8) $3198 : 26;$

9) $4532 : 22.$

1) $754 \cdot 60$

Чтобы умножить число на 60, можно сначала умножить его на 6, а затем к результату приписать ноль.

Умножим 754 на 6:

$4 \cdot 6 = 24$. Пишем 4, 2 запоминаем.

$5 \cdot 6 = 30$, плюс 2, которые запомнили, будет 32. Пишем 2, 3 запоминаем.

$7 \cdot 6 = 42$, плюс 3, которые запомнили, будет 45. Пишем 45.

Получаем $754 \cdot 6 = 4524$.

Теперь приписываем ноль в конце: 45240.

Ответ: 45240.

2) $2504 \cdot 82$

Выполним умножение в столбик.

Сначала умножим 2504 на 2:

$2504 \cdot 2 = 5008$. Это первое неполное произведение.

Теперь умножим 2504 на 8:

$2504 \cdot 8 = 20032$. Это второе неполное произведение. Запишем его со сдвигом на один разряд влево.

Сложим неполные произведения:

$5008 + 200320 = 205328$.

Ответ: 205328.

3) $364 \cdot 276$

Выполним умножение в столбик.

Умножим 364 на 6: $364 \cdot 6 = 2184$.

Умножим 364 на 7: $364 \cdot 7 = 2548$. Запишем результат 2548 со сдвигом на один разряд влево.

Умножим 364 на 2: $364 \cdot 2 = 728$. Запишем результат 728 со сдвигом на два разряда влево.

Сложим полученные произведения:

$2184 + 25480 + 72800 = 100464$.

Ответ: 100464.

4) $407 \cdot 306$

Выполним умножение в столбик.

Умножим 407 на 6: $407 \cdot 6 = 2442$.

Умножим 407 на 0: $407 \cdot 0 = 0$.

Умножим 407 на 3: $407 \cdot 3 = 1221$.

Сложим полученные произведения с учетом разрядов:

$2442 + 0 \cdot 10 + 1221 \cdot 100 = 2442 + 122100 = 124542$.

Ответ: 124542.

5) $852 : 6$

Выполним деление в столбик.

Делим 8 на 6. Получаем 1. Остаток $8 - 6 \cdot 1 = 2$.

Сносим 5. Делим 25 на 6. Получаем 4. Остаток $25 - 6 \cdot 4 = 1$.

Сносим 2. Делим 12 на 6. Получаем 2. Остаток $12 - 6 \cdot 2 = 0$.

Результат деления: 142.

Ответ: 142.

6) $67216 : 8$

Выполним деление в столбик.

Делим 67 на 8. Получаем 8. Остаток $67 - 8 \cdot 8 = 3$.

Сносим 2. Делим 32 на 8. Получаем 4. Остаток $32 - 8 \cdot 4 = 0$.

Сносим 1. Делим 1 на 8. Получаем 0. Остаток $1 - 8 \cdot 0 = 1$.

Сносим 6. Делим 16 на 8. Получаем 2. Остаток $16 - 8 \cdot 2 = 0$.

Результат деления: 8402.

Ответ: 8402.

7) $782 : 34$

Выполним деление в столбик.

Делим 78 на 34. Ближайшее произведение $34 \cdot 2 = 68$. В частное пишем 2. Остаток $78 - 68 = 10$.

Сносим 2. Делим 102 на 34. $34 \cdot 3 = 102$. В частное пишем 3. Остаток $102 - 102 = 0$.

Результат деления: 23.

Ответ: 23.

8) $3198 : 26$

Выполним деление в столбик.

Делим 31 на 26. Получаем 1. В частное пишем 1. Остаток $31 - 26 = 5$.

Сносим 9. Делим 59 на 26. Ближайшее произведение $26 \cdot 2 = 52$. В частное пишем 2. Остаток $59 - 52 = 7$.

Сносим 8. Делим 78 на 26. $26 \cdot 3 = 78$. В частное пишем 3. Остаток $78 - 78 = 0$.

Результат деления: 123.

Ответ: 123.

9) $4532 : 22$

Выполним деление в столбик.

Делим 45 на 22. Ближайшее произведение $22 \cdot 2 = 44$. В частное пишем 2. Остаток $45 - 44 = 1$.

Сносим 3. Делим 13 на 22. Получаем 0. В частное пишем 0. Остаток $13 - 0 = 13$.

Сносим 2. Делим 132 на 22. $22 \cdot 6 = 132$. В частное пишем 6. Остаток $132 - 132 = 0$.

Результат деления: 206.

Ответ: 206.

40. Выполните действия:

1) $49 + 26 \cdot (54 - 27);$

2) $36 : 9 + 18 \cdot 5;$

3) $(801 - 316) \cdot 29;$

4) $(488 + 808) : 18.$

1) Для решения выражения $49 + 26 \cdot (54 - 27)$ необходимо следовать порядку выполнения математических операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, и в последнюю очередь сложение и вычитание.
1. Выполним действие в скобках: $54 - 27 = 27$.
2. Теперь выполним умножение: $26 \cdot 27 = 702$.
3. И, наконец, сложение: $49 + 702 = 751$.
Таким образом, $49 + 26 \cdot (54 - 27) = 49 + 702 = 751$.
Ответ: 751.

2) В выражении $36 : 9 + 18 \cdot 5$ скобок нет, поэтому сначала выполняем операции умножения и деления в порядке их следования (слева направо), а затем сложение.
1. Выполним деление: $36 : 9 = 4$.
2. Выполним умножение: $18 \cdot 5 = 90$.
3. Выполним сложение полученных результатов: $4 + 90 = 94$.
Таким образом, $36 : 9 + 18 \cdot 5 = 4 + 90 = 94$.
Ответ: 94.

3) Для решения выражения $(801 - 316) \cdot 29$ сначала выполняем действие в скобках, а затем умножение.
1. Выполним вычитание в скобках: $801 - 316 = 485$.
2. Умножим полученный результат на 29: $485 \cdot 29 = 14065$.
Таким образом, $(801 - 316) \cdot 29 = 485 \cdot 29 = 14065$.
Ответ: 14065.

4) Для решения выражения $(488 + 808) : 18$ сначала выполняем действие в скобках, а затем деление.
1. Выполним сложение в скобках: $488 + 808 = 1296$.
2. Разделим полученный результат на 18: $1296 : 18 = 72$.
Таким образом, $(488 + 808) : 18 = 1296 : 18 = 72$.
Ответ: 72.

41. Первый полёт в космос совершил в 1961 г. гражданин Советского Союза Юрий Гагарин. Через восемь лет после этого на Луну ступил первый человек — гражданин США Нил Армстронг. Ещё через 31 год на Международной космической станции (МКС) начал работать первый экипаж. Сколько лет работают космонавты на МКС?

38

28

410

107

Чтобы определить, сколько лет работают космонавты на Международной космической станции (МКС), необходимо сначала вычислить год начала ее эксплуатации первым экипажем.

1. Первый полет в космос состоялся в 1961 году. Через 8 лет после этого на Луну ступил первый человек. Найдем этот год:

$1961 + 8 = 1969$ год.

2. Первый экипаж на МКС начал работать еще через 31 год после высадки человека на Луну. Вычислим год начала работы на МКС:

$1969 + 31 = 2000$ год.

3. Теперь, зная год начала работы, можно рассчитать, сколько лет космонавты работают на МКС. Для этого из текущего года (расчет ведется на 2024 год) вычтем год начала работы:

$2024 - 2000 = 24$ года.

Ответ: На 2024 год космонавты работают на МКС 24 года.