Страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Как называют группы по три цифры, на которые разбивают много-значные числа справа налево?

Группы по три цифры, на которые разбивают многозначные числа при записи, двигаясь справа налево, для удобства чтения и произношения, называются классами.

Каждый класс имеет свое название. Разделение на классы происходит по следующему принципу:

• Первые три цифры справа (с 1-й по 3-ю) образуют класс единиц.
• Следующие три цифры (с 4-й по 6-ю) образуют класс тысяч.
• Следующие три цифры (с 7-й по 9-ю) образуют класс миллионов.
• Далее следуют классы миллиардов, триллионов и так далее.

Например, рассмотрим число 1 234 567 890. Оно разбивается на классы так:

• 890 — класс единиц.
• 567 — класс тысяч.
• 234 — класс миллионов.
• 1 — класс миллиардов (в данном случае неполный).

Такое деление позволяет легко прочитать число: "один миллиард двести тридцать четыре миллиона пятьсот шестьдесят семь тысяч восемьсот девяносто".

Ответ: классы.

4. Назовите по порядку первые четыре класса в записи натуральных чисел.

В десятичной системе счисления для удобства чтения и записи больших натуральных чисел их цифры разбивают на группы (справа налево) по три цифры в каждой. Эти группы называются классами.

Первые четыре класса в записи натуральных чисел, начиная с самого младшего (справа), называются по порядку:

• Первый класс — класс единиц. Он включает в себя разряды: единицы, десятки и сотни.
• Второй класс — класс тысяч. Он включает разряды: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.
• Третий класс — класс миллионов. Он включает разряды: единицы миллионов, десятки миллионов и сотни миллионов.
• Четвертый класс — класс миллиардов. Он включает разряды: единицы миллиардов, десятки миллиардов и сотни миллиардов.

Ответ: Класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов.

5. Сколько разрядов имеет каждый класс? Как их называют?

Сколько разрядов имеет каждый класс?

В принятой десятичной системе счисления для удобства чтения и записи больших чисел их разбивают на группы справа налево. Эти группы называются классами. Каждый класс, начиная с первого (класса единиц), содержит в себе ровно три разряда.

Ответ: каждый класс имеет 3 разряда.

Как их называют?

Разряды внутри любого класса имеют стандартные названия. Если считать справа налево (от младшего разряда к старшему), то они называются:

• Первый разряд — разряд единиц.
• Второй разряд — разряд десятков.
• Третий разряд — разряд сотен.

К названию разряда добавляется название самого класса. Например, в классе тысяч разряды будут называться «единицы тысяч», «десятки тысяч», «сотни тысяч». В классе миллионов — «единицы миллионов», «десятки миллионов», «сотни миллионов» и так далее.

Ответ: разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.

6. Как называют запись натурального числа, которой мы пользуемся?

Запись натурального числа, которой мы пользуемся в повседневной жизни, называется десятичной системой счисления или десятичной записью.

Эта система имеет две ключевые характеристики:

1. Она десятичная, так как для записи любого числа используется десять основных знаков — арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Основание этой системы счисления равно 10.

2. Она позиционная. Это означает, что значение (вес) каждой цифры в числе зависит от её положения (позиции или разряда). Одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни и так далее в зависимости от того, где она находится. Например, в числе 484 первая цифра «4» обозначает четыре сотни ($400$), а последняя — четыре единицы ($4$). Развернутая запись числа выглядит так: $484 = 4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0$.

Ответ: десятичная запись (или десятичная система счисления).

1. На сколько:

1) 18 больше 6;

2) 4 меньше 12?

1) 18 больше 6;

Чтобы определить, на сколько число 18 больше числа 6, необходимо найти их разность. Для этого нужно из большего числа (18) вычесть меньшее (6).

Выполним вычисление:

$18 - 6 = 12$

Таким образом, число 18 больше числа 6 на 12.

Ответ: 12

2) 4 меньше 12?

Чтобы определить, на сколько число 4 меньше числа 12, необходимо найти разность между этими числами. Для этого из большего числа (12) вычитаем меньшее (4).

Выполним вычисление:

$12 - 4 = 8$

Таким образом, число 4 меньше числа 12 на 8.

Ответ: 8

2. Во сколько раз:

1) 18 больше 6;

2) 4 меньше 12?

1) 18 больше 6;
Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, необходимо разделить большее число на меньшее.
Выполним деление:
$18 \div 6 = 3$
Это означает, что число 18 в 3 раза больше числа 6.
Ответ: в 3 раза.

2) 4 меньше 12?
Чтобы узнать, во сколько раз одно число меньше другого, необходимо разделить большее число на меньшее.
Выполним деление:
$12 \div 4 = 3$
Это означает, что число 4 в 3 раза меньше числа 12.
Ответ: в 3 раза.

3. Вычислите:

1) $12 \cdot 5 + 1$;

2) $12 \cdot 5 - 1$;

3) $12 \cdot (5 + 1)$;

4) $12 \cdot (5 - 1)$;

5) $12 : (5 + 1)$;

6) $12 : (5 - 1)$.

1) $12 \cdot 5 + 1$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняется умножение, а затем сложение.

Первое действие: $12 \cdot 5 = 60$.

Второе действие: $60 + 1 = 61$.

Ответ: 61

2) $12 \cdot 5 - 1$

В этом примере сначала выполняется умножение, а потом вычитание.

Первое действие: $12 \cdot 5 = 60$.

Второе действие: $60 - 1 = 59$.

Ответ: 59

3) $12 \cdot (5 + 1)$

Согласно порядку действий, сначала выполняется операция в скобках, а затем умножение.

Первое действие (в скобках): $5 + 1 = 6$.

Второе действие: $12 \cdot 6 = 72$.

Ответ: 72

4) $12 \cdot (5 - 1)$

Сначала выполняется вычитание в скобках, а после — умножение.

Первое действие (в скобках): $5 - 1 = 4$.

Второе действие: $12 \cdot 4 = 48$.

Ответ: 48

5) $12 : (5 + 1)$

Первым действием выполняется операция в скобках, а затем деление.

Первое действие (в скобках): $5 + 1 = 6$.

Второе действие: $12 : 6 = 2$.

Ответ: 2

6) $12 : (5 - 1)$

Сначала выполняется вычитание в скобках, а после — деление.

Первое действие (в скобках): $5 - 1 = 4$.

Второе действие: $12 : 4 = 3$.

Ответ: 3

4. Назовите пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:

1) 423;

2) 1658;

3) 2997.

Последовательные натуральные числа — это числа, которые следуют друг за другом при счете. Каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Чтобы найти пять последовательных натуральных чисел, начиная с заданного, нужно к этому числу и к каждому последующему результату прибавить 1.

1) 423
Начинаем с числа 423.
Второе число: $423 + 1 = 424$
Третье число: $424 + 1 = 425$
Четвертое число: $425 + 1 = 426$
Пятое число: $426 + 1 = 427$
Искомые числа: 423, 424, 425, 426, 427.
Ответ: 423, 424, 425, 426, 427.

2) 1658
Начинаем с числа 1658.
Второе число: $1658 + 1 = 1659$
Третье число: $1659 + 1 = 1660$
Четвертое число: $1660 + 1 = 1661$
Пятое число: $1661 + 1 = 1662$
Искомые числа: 1658, 1659, 1660, 1661, 1662.
Ответ: 1658, 1659, 1660, 1661, 1662.

3) 2997
Начинаем с числа 2997.
Второе число: $2997 + 1 = 2998$
Третье число: $2998 + 1 = 2999$
Четвертое число: $2999 + 1 = 3000$
Пятое число: $3000 + 1 = 3001$
Искомые числа: 2997, 2998, 2999, 3000, 3001.
Ответ: 2997, 2998, 2999, 3000, 3001.

5. Назовите в обратном порядке пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:

1) 358;

2) 1573;

3) 4001.

1) Чтобы назвать пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа 358, нужно найти это число и четыре следующих за ним. Получаем последовательность: 358, 359, 360, 361, 362. Далее, согласно условию, необходимо расположить эти числа в обратном порядке, то есть от наибольшего к наименьшему. Ответ: 362, 361, 360, 359, 358.

2) Пять последовательных натуральных чисел, начиная с 1573, – это 1573 и четыре последующих числа: 1574, 1575, 1576, 1577. Полная последовательность: 1573, 1574, 1575, 1576, 1577. Запишем эти числа в обратном порядке (от большего к меньшему). Ответ: 1577, 1576, 1575, 1574, 1573.

3) Найдём пять последовательных натуральных чисел, первым из которых является 4001. Для этого к числу 4001 последовательно прибавим 1 четыре раза. Получаем числа: 4001, 4002, 4003, 4004, 4005. В обратном порядке эта последовательность будет выглядеть следующим образом. Ответ: 4005, 4004, 4003, 4002, 4001.

6. Двузначное число оканчивается цифрой 4. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим число 99. Найдите эти два числа.

Обозначим искомое двузначное число как $\overline{ab}$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. В виде суммы разрядных слагаемых это число можно записать как $10a + b$.

Согласно условию, число оканчивается цифрой 4. Это означает, что $b = 4$. Таким образом, искомое число имеет вид $10a + 4$.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет $\overline{ba}$, или $10b + a$. Подставив значение $b=4$, получим число $10 \cdot 4 + a = 40 + a$.

Сумма этих двух чисел равна 99. Составим уравнение на основе этого условия:

$(10a + 4) + (40 + a) = 99$

Теперь решим это уравнение:

$11a + 44 = 99$

$11a = 99 - 44$

$11a = 55$

$a = \frac{55}{11}$

$a = 5$

Мы нашли цифру десятков — она равна 5.

Следовательно, первое (изначальное) число — это $10 \cdot 5 + 4 = 54$.

Второе число (записанное в обратном порядке) — это $40 + 5 = 45$.

Проверим: $54 + 45 = 99$. Условие выполняется.

Ответ: искомые числа — 54 и 45.

21. Назовите разряд, в котором стоит цифра 4 в записи числа:

1) 34;

2) 246;

3) 473;

4) 24 569.

1) Чтобы определить разряд, в котором стоит цифра в записи числа, нужно посмотреть на её позицию, считая справа налево. В числе $34$ первая цифра справа – $4$. Эта позиция соответствует разряду единиц.
Ответ: разряд единиц.

2) В числе $246$ считаем разряды справа налево: $6$ – разряд единиц, $4$ – разряд десятков. Таким образом, цифра $4$ стоит во втором разряде справа.
Ответ: разряд десятков.

3) В числе $473$ считаем разряды справа налево: $3$ – разряд единиц, $7$ – разряд десятков, $4$ – разряд сотен. Цифра $4$ стоит в третьем разряде справа.
Ответ: разряд сотен.

4) В числе $24 569$ разряды также считаются справа налево. Первые три разряда (справа) образуют класс единиц, следующие три — класс тысяч.
$9$ — единицы
$6$ — десятки
$5$ — сотни
$4$ — единицы тысяч
$2$ — десятки тысяч
Следовательно, цифра $4$ находится в разряде единиц тысяч.
Ответ: разряд единиц тысяч.

22. Прочитайте число:

1) 234 642;

2) 502 013;

3) 9 145 679;

4) 105 289 001;

5) 6 704 917 320;

6) 72 016 050 400;

7) 491 872 653 000;

8) 305 002 800 748.

1) Для того чтобы прочитать число 234 642, его необходимо разбить на классы (группы по три цифры) справа налево. Получаем класс тысяч и класс единиц.
- Класс тысяч: 234 (двести тридцать четыре).
- Класс единиц: 642 (шестьсот сорок два).
Теперь читаем число слева направо, добавляя название класса: двести тридцать четыре тысячи шестьсот сорок два.
Ответ: двести тридцать четыре тысячи шестьсот сорок два.

2) Для того чтобы прочитать число 502 013, разобьем его на классы справа налево: класс тысяч и класс единиц.
- Класс тысяч: 502 (пятьсот две).
- Класс единиц: 013 (тринадцать).
Читаем число по классам, начиная со старшего: пятьсот две тысячи тринадцать.
Ответ: пятьсот две тысячи тринадцать.

3) Для того чтобы прочитать число 9 145 679, разобьем его на классы справа налево: класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
- Класс миллионов: 9 (девять).
- Класс тысяч: 145 (сто сорок пять).
- Класс единиц: 679 (шестьсот семьдесят девять).
Читаем число по классам, начиная со старшего: девять миллионов сто сорок пять тысяч шестьсот семьдесят девять.
Ответ: девять миллионов сто сорок пять тысяч шестьсот семьдесят девять.

4) Для того чтобы прочитать число 105 289 001, разобьем его на классы справа налево: класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
- Класс миллионов: 105 (сто пять).
- Класс тысяч: 289 (двести восемьдесят девять).
- Класс единиц: 001 (один).
Читаем число по классам, начиная со старшего: сто пять миллионов двести восемьдесят девять тысяч один.
Ответ: сто пять миллионов двести восемьдесят девять тысяч один.

5) Для того чтобы прочитать число 6 704 917 320, разобьем его на классы справа налево: класс миллиардов, класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
- Класс миллиардов: 6 (шесть).
- Класс миллионов: 704 (семьсот четыре).
- Класс тысяч: 917 (девятьсот семнадцать).
- Класс единиц: 320 (триста двадцать).
Читаем число по классам, начиная со старшего: шесть миллиардов семьсот четыре миллиона девятьсот семнадцать тысяч триста двадцать.
Ответ: шесть миллиардов семьсот четыре миллиона девятьсот семнадцать тысяч триста двадцать.

6) Для того чтобы прочитать число 72 016 050 400, разобьем его на классы справа налево: класс миллиардов, класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
- Класс миллиардов: 72 (семьдесят два).
- Класс миллионов: 016 (шестнадцать).
- Класс тысяч: 050 (пятьдесят).
- Класс единиц: 400 (четыреста).
Читаем число по классам, начиная со старшего: семьдесят два миллиарда шестнадцать миллионов пятьдесят тысяч четыреста.
Ответ: семьдесят два миллиарда шестнадцать миллионов пятьдесят тысяч четыреста.

7) Для того чтобы прочитать число 491 872 653 000, разобьем его на классы справа налево: класс миллиардов, класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
- Класс миллиардов: 491 (четыреста девяносто один).
- Класс миллионов: 872 (восемьсот семьдесят два).
- Класс тысяч: 653 (шестьсот пятьдесят три).
- Класс единиц: 000 (ноль, в конце числа не произносится).
Читаем число по классам, начиная со старшего: четыреста девяносто один миллиард восемьсот семьдесят два миллиона шестьсот пятьдесят три тысячи.
Ответ: четыреста девяносто один миллиард восемьсот семьдесят два миллиона шестьсот пятьдесят три тысячи.

8) Для того чтобы прочитать число 305 002 800 748, разобьем его на классы справа налево: класс миллиардов, класс миллионов, класс тысяч и класс единиц.
- Класс миллиардов: 305 (триста пять).
- Класс миллионов: 002 (два).
- Класс тысяч: 800 (восемьсот).
- Класс единиц: 748 (семьсот сорок восемь).
Читаем число по классам, начиная со старшего: триста пять миллиардов два миллиона восемьсот тысяч семьсот сорок восемь.
Ответ: триста пять миллиардов два миллиона восемьсот тысяч семьсот сорок восемь.

23. Запишите десятичной записью число:

1) 34 миллиона 384 тысячи 523;

2) 85 миллионов 128 тысяч 23;

3) 16 миллионов 26 тысяч 4;

4) 8 миллиардов 801 миллион 30 тысяч 5;

5) 22 миллиарда 33 миллиона 418;

6) 251 миллиард 538;

7) 607 миллиардов 3.

1) Число "34 миллиона 384 тысячи 523" состоит из трех классов: класс миллионов (34), класс тысяч (384) и класс единиц (523). Для записи числа цифрами мы последовательно записываем каждый класс. Математически это можно выразить как сумму: $34 \cdot 1 000 000 + 384 \cdot 1 000 + 523 = 34 000 000 + 384 000 + 523 = 34 384 523$.
Ответ: 34 384 523

2) Число "85 миллионов 128 тысяч 23" состоит из класса миллионов (85), класса тысяч (128) и класса единиц (23). Каждый класс, кроме самого старшего, должен быть представлен тремя цифрами. Поэтому класс единиц "23" мы записываем как "023". Соединив все классы, получаем: 85 128 023. В виде суммы: $85 \cdot 1 000 000 + 128 \cdot 1 000 + 23 = 85 000 000 + 128 000 + 23 = 85 128 023$.
Ответ: 85 128 023

3) В числе "16 миллионов 26 тысяч 4" класс миллионов равен 16. Класс тысяч "26" записываем как "026". Класс единиц "4" записываем как "004", так как в каждом классе должно быть по три цифры. Собираем число: 16 026 004. В виде суммы: $16 \cdot 1 000 000 + 26 \cdot 1 000 + 4 = 16 000 000 + 26 000 + 4 = 16 026 004$.
Ответ: 16 026 004

4) Число "8 миллиардов 801 миллион 30 тысяч 5" состоит из четырех классов. Класс миллиардов: 8. Класс миллионов: 801. Класс тысяч: 30 (записываем как 030). Класс единиц: 5 (записываем как 005). Записывая классы последовательно, получаем число 8 801 030 005. В виде суммы: $8 \cdot 1 000 000 000 + 801 \cdot 1 000 000 + 30 \cdot 1 000 + 5 = 8 801 030 005$.
Ответ: 8 801 030 005

5) В числе "22 миллиарда 33 миллиона 418" есть класс миллиардов (22), класс миллионов (33, записываем как 033) и класс единиц (418). Класс тысяч в названии числа отсутствует, поэтому на его месте мы пишем три нуля "000". Соединяем все классы: 22 033 000 418. В виде суммы: $22 \cdot 1 000 000 000 + 33 \cdot 1 000 000 + 418 = 22 033 000 418$.
Ответ: 22 033 000 418

6) В числе "251 миллиард 538" есть класс миллиардов (251) и класс единиц (538). Классы миллионов и тысяч пропущены. Это означает, что на их месте в записи числа будут стоять нули. Каждый пропущенный класс заменяется тремя нулями. Таким образом, получаем: 251 000 000 538. В виде суммы: $251 \cdot 1 000 000 000 + 538 = 251 000 000 538$.
Ответ: 251 000 000 538

7) В числе "607 миллиардов 3" есть класс миллиардов (607) и класс единиц (3). Классы миллионов и тысяч пропущены, поэтому на их месте ставим по три нуля. Класс единиц "3" записываем как "003". Собираем число: 607 000 000 003. В виде суммы: $607 \cdot 1 000 000 000 + 3 = 607 000 000 003$.
Ответ: 607 000 000 003