Страница 6 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Как называют числа, используемые при счёте предметов?

1. Числа, которые используются при счёте предметов (например, один, два, три...), называют натуральными числами.

Это самые первые числа, с которыми познакомилось человечество, так как они возникли из естественной потребности считать предметы. Натуральные числа образуют ряд, начинающийся с единицы, в котором каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой $N$:

$N = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$

Стоит отметить, что число 0, как правило, не относят к натуральным, так как оно обозначает отсутствие предметов и не используется в процессе счёта (мы не говорим "ноль яблок", когда начинаем считать).

Ответ: натуральные числа.

2. Есть ли среди натуральных чисел наименьшее число? Наибольшее число? В случае утвердительного ответа назовите это число.

Наименьшее число
Натуральными числами называют числа, используемые для счёта предметов. Ряд натуральных чисел начинается с 1 и продолжается бесконечно: $1, 2, 3, 4, ...$
Множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$: $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Из этого определения следует, что самое первое и самое маленькое число в этом ряду — это 1. Любое другое натуральное число будет больше единицы. Следовательно, наименьшее натуральное число существует.
Ответ: Да, существует. Наименьшее натуральное число — это 1.

Наибольшее число
Ряд натуральных чисел является бесконечным. Это значит, что у него нет конца. Какое бы большое натуральное число $n$ мы ни взяли, всегда можно найти число, которое будет еще больше — например, $n+1$.
Поскольку для любого натурального числа всегда найдётся число, которое его превосходит, это означает, что наибольшего натурального числа не существует.
Ответ: Нет, наибольшего натурального числа не существует.

3. Каждое ли число в ряду натуральных чисел имеет последующее число? Предыдущее число?

Каждое ли число в ряду натуральных чисел имеет последующее число?

Да, каждое. Ряд натуральных чисел, используемых для счета предметов, начинается с $1$ и продолжается бесконечно: $1, 2, 3, 4, ...$ .

Для любого натурального числа $n$ последующее (или следующее за ним) число можно найти, прибавив к нему единицу: $n+1$. Поскольку ряд натуральных чисел не имеет конца (он бесконечен), у каждого, даже самого большого, мыслимого числа всегда будет следующее за ним число.

Например, для числа $15$ последующим будет $15+1=16$. Для числа $999$ последующим будет $999+1=1000$.

Ответ: Да, каждое натуральное число имеет последующее число.

Предыдущее число?

Нет, не каждое. Предыдущее число для натурального числа $n$ можно найти, вычтя из него единицу: $n-1$.

Это правило работает для всех натуральных чисел, кроме самого первого — единицы ($1$).

Например, для числа $25$ предыдущим является $25-1=24$, и $24$ — это натуральное число. Для числа $2$ предыдущим является $2-1=1$, и $1$ — это натуральное число.

Однако для числа $1$ предыдущим будет $1-1=0$. Число $0$ не входит в ряд натуральных чисел, так как счет предметов начинается с единицы. Таким образом, у числа $1$ нет предыдущего числа в ряду натуральных чисел.

Ответ: Нет, не каждое. Число $1$ не имеет предыдущего натурального числа.

1. Сложите:

1) 48 и 7;

2) 16 и 9;

3) 25 и 34;

4) 52 и 49.

1) Чтобы найти сумму чисел 48 и 7, можно выполнить сложение по частям. Сначала дополним 48 до ближайшего круглого числа (50), для этого нужно прибавить 2. Возьмем 2 из 7, останется 5. Тогда $48 + 7 = (48 + 2) + 5 = 50 + 5 = 55$.
Другой способ – это сложить единицы: $8 + 7 = 15$. Затем к десяткам (40) прибавить результат: $40 + 15 = 55$.
Вычисление: $48 + 7 = 55$.
Ответ: 55

2) Для сложения 16 и 9 удобно дополнить 16 до 20. Для этого нужно прибавить 4. Заберем 4 у 9, останется 5. Получаем: $16 + 9 = (16 + 4) + 5 = 20 + 5 = 25$.
Можно также сложить единицы $6 + 9 = 15$ и прибавить к десяткам (10): $10 + 15 = 25$.
Вычисление: $16 + 9 = 25$.
Ответ: 25

3) Чтобы сложить два двузначных числа, 25 и 34, можно сложить их поразрядно. Сначала складываем десятки: $20 + 30 = 50$. Затем складываем единицы: $5 + 4 = 9$. Суммируем полученные результаты: $50 + 9 = 59$.
Вычисление в столбик:
25
+ 34
-----
59
Вычисление: $25 + 34 = 59$.
Ответ: 59

4) Для сложения чисел 52 и 49 можно использовать метод округления. Число 49 близко к 50. Представим 49 как $50 - 1$. Тогда пример будет выглядеть так: $52 + 49 = 52 + (50 - 1) = (52 + 50) - 1 = 102 - 1 = 101$.
Можно также сложить по разрядам: десятки $50 + 40 = 90$, единицы $2 + 9 = 11$. Сложим результаты: $90 + 11 = 101$.
Вычисление: $52 + 49 = 101$.
Ответ: 101

2. Вычтите:

1) 6 из 14;

2) 7 из 23;

3) из 32 число 8;

4) из 45 число 19.

1) 6 из 14;
Чтобы выполнить вычитание, необходимо от уменьшаемого 14 отнять вычитаемое 6. Произведем вычисление:
$14 - 6 = 8$
Ответ: 8

2) 7 из 23;
Для выполнения вычитания, обратимся к разрядам. В разряде единиц из 3 вычесть 7 нельзя, поэтому занимаем 1 десяток из разряда десятков (от числа 2). Получаем 13 единиц. Теперь вычитаем единицы: $13 - 7 = 6$. В разряде десятков остался 1 десяток. Таким образом, итоговый результат равен 16.
$23 - 7 = 16$
Ответ: 16

3) из 32 число 8;
Выполним вычитание. В разряде единиц из 2 вычесть 8 нельзя, поэтому занимаем 1 десяток из разряда десятков (от числа 3). Получаем 12 единиц. Вычитаем единицы: $12 - 8 = 4$. В разряде десятков осталось 2 десятка. Следовательно, итоговый результат равен 24.
$32 - 8 = 24$
Ответ: 24

4) из 45 число 19.
Выполним вычитание по разрядам. Начнем с разряда единиц: из 5 вычесть 9 нельзя, поэтому занимаем 1 десяток из разряда десятков (от числа 4). Получаем 15 единиц. Вычитаем единицы: $15 - 9 = 6$. Теперь перейдем к разряду десятков. У нас осталось 3 десятка ($4 - 1 = 3$), из которых вычитаем 1 десяток. Получаем $3 - 1 = 2$ десятка. Итоговый результат — 2 десятка и 6 единиц, то есть 26.
$45 - 19 = 26$
Ответ: 26

3. Умножьте:

1) $12 \times 4$;

2) $5 \times 20$;

3) $13 \times 6$;

4) $10 \times 100$.

1) Чтобы умножить 12 на 4, выполним действие умножения. Можно представить число 12 в виде суммы двух слагаемых (10 и 2) и умножить каждое из них на 4, а затем сложить результаты:
$12 \times 4 = (10 + 2) \times 4 = 10 \times 4 + 2 \times 4 = 40 + 8 = 48$.
Ответ: 48

2) Чтобы умножить 5 на 20, выполним действие умножения. Это то же самое, что умножить 2 на 5 и приписать в конце один ноль:
$5 \times 20 = 100$.
Ответ: 100

3) Чтобы умножить 13 на 6, выполним действие умножения. Можно представить число 13 в виде суммы (10 и 3) и умножить каждое слагаемое на 6, а затем сложить результаты:
$13 \times 6 = (10 + 3) \times 6 = 10 \times 6 + 3 \times 6 = 60 + 18 = 78$.
Ответ: 78

4) Чтобы умножить 10 на 100, нужно к числу 10 дописать справа столько нулей, сколько их в множителе 100, то есть два нуля:
$10 \times 100 = 1000$.
Ответ: 1000

4. Разделите:

1) $36$ на $12$;

2) $55$ на $11$;

3) на $8$ число $96$;

4) на $20$ число $160$.

1) 36 на 12;
Чтобы разделить 36 на 12, необходимо найти такое число, которое при умножении на 12 даст в результате 36. Этим числом является 3.
Проверка: $12 \times 3 = 36$.
Таким образом, $36 \div 12 = 3$.
Ответ: 3

2) 55 на 11;
Для того чтобы разделить 55 на 11, нужно найти число, которое при умножении на 11 равно 55. Это число 5.
Проверка: $11 \times 5 = 55$.
Следовательно, $55 \div 11 = 5$.
Ответ: 5

3) на 8 число 96;
В данном случае необходимо разделить число 96 на 8. Это можно сделать, представив 96 как сумму чисел, которые легко делятся на 8, например, $80$ и $16$.
Вычисление: $96 \div 8 = (80 + 16) \div 8 = 80 \div 8 + 16 \div 8 = 10 + 2 = 12$.
Проверка: $8 \times 12 = 96$.
Ответ: 12

4) на 20 число 160.
Чтобы разделить 160 на 20, можно упростить операцию, убрав по одному нулю в конце у делимого (160) и делителя (20). Задача сводится к делению 16 на 2.
Вычисление: $160 \div 20 = 16 \div 2 = 8$.
Проверка: $20 \times 8 = 160$.
Ответ: 8

5. В школе учатся 370 учеников. Найдутся ли среди них хотя бы два ученика, которые родились в один и тот же день?

Для решения этой задачи применяется принцип Дирихле. Согласно этому принципу, если необходимо разместить $N$ объектов по $M$ контейнерам, и число объектов $N$ больше числа контейнеров $M$, то как минимум в одном контейнере окажется более одного объекта.

В данном контексте:

• "Объекты" — это ученики. Их количество $N = 370$.
• "Контейнеры" — это дни в году.

Максимальное количество дней в году — 366 (в високосном году). В обычном году 365 дней. Чтобы дать гарантированный ответ, мы должны рассмотреть случай с максимальным количеством возможных дней рождения. Таким образом, количество "контейнеров" $M = 366$.

Сравним количество учеников и количество дней в году:

$N = 370$ (учеников)

$M = 366$ (дней)

Поскольку число учеников больше максимального числа дней в году ($370 > 366$), то по принципу Дирихле, по крайней мере два ученика обязательно родились в один и тот же день.

Если представить, что мы пытаемся распределить дни рождения так, чтобы они не совпадали, то мы можем дать уникальные дни рождения первым 366 ученикам. Но для 367-го ученика уже не останется нового, уникального дня в году, и его день рождения неизбежно совпадет с днем рождения одного из предыдущих учеников.

Ответ: Да, найдутся.

1. Назовите 14 первых натуральных чисел.

1. Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов. Ряд натуральных чисел начинается с 1 и продолжается до бесконечности (1, 2, 3, ...). Чтобы назвать первые 14 натуральных чисел, необходимо перечислить их в порядке возрастания, начиная с 1 и заканчивая 14.

Таким образом, первые 14 натуральных чисел это:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

2. Какого числа не хватает в записи натурального ряда чисел:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, \dots?$

2. Натуральный ряд чисел — это последовательность всех натуральных (целых положительных) чисел, расположенных в порядке возрастания. Стандартный натуральный ряд начинается с $1$ и выглядит так: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...$

В задаче представлен следующий ряд: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, ...$

Сравнивая эти два ряда, можно заметить, что после числа $7$ в заданном ряду сразу следует число $9$. Таким образом, в последовательности пропущено число, которое в натуральном ряду стоит между $7$ и $9$. Это число — $8$.

Ответ: $8$

3. Среди чисел 5, $\frac{1}{6}$, 8, 129, 0, $\frac{3}{7}$, 4128, $\frac{1}{5}$ укажите натуральные.

Натуральные числа — это числа, используемые при счёте предметов. Это множество целых положительных чисел, начиная с 1. Математически это множество можно записать как $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Рассмотрим каждое число из данного списка: $5, \frac{1}{6}, 8, 129, 0, \frac{3}{7}, 4128, \frac{1}{5}$.

• $5$ — целое положительное число, следовательно, является натуральным.
• $\frac{1}{6}$ — это дробь, не целое число, поэтому не является натуральным.
• $8$ — целое положительное число, следовательно, является натуральным.
• $129$ — целое положительное число, следовательно, является натуральным.
• $0$ — не является натуральным числом, так как натуральные числа используются для счета и начинаются с 1 (в большинстве определений).
• $\frac{3}{7}$ — это дробь, не целое число, поэтому не является натуральным.
• $4128$ — целое положительное число, следовательно, является натуральным.
• $\frac{1}{5}$ — это дробь, не целое число, поэтому не является натуральным.

Таким образом, из предложенного списка натуральными являются числа: 5, 8, 129, 4128.

Ответ: 5, 8, 129, 4128.

4. Запишите число, которое в натуральном ряду следует за числом:

1) 34;

2) 246;

3) 8297.

В натуральном ряду чисел каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Чтобы найти число, которое следует за данным, нужно к этому числу прибавить 1.

1) Найдем число, которое следует за числом 34. Для этого к 34 прибавим 1.
$34 + 1 = 35$
Ответ: 35

2) Найдем число, которое следует за числом 246. Для этого к 246 прибавим 1.
$246 + 1 = 247$
Ответ: 247

3) Найдем число, которое следует за числом 8297. Для этого к 8297 прибавим 1.
$8297 + 1 = 8298$
Ответ: 8298