Страница 7 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Запишите число, которое в натуральном ряду следует за числом:

1) 72;

2) 121;

3) 6459.

1) В натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Чтобы найти число, которое следует за числом 72, нужно к 72 прибавить 1.

Выполним сложение: $72 + 1 = 73$.

Следовательно, за числом 72 следует число 73.

Ответ: 73

2) Чтобы найти число, которое в натуральном ряду следует за числом 121, необходимо к этому числу прибавить 1.

Выполним сложение: $121 + 1 = 122$.

Таким образом, за числом 121 следует число 122.

Ответ: 122

3) Аналогично предыдущим пунктам, чтобы найти число, следующее за 6459, нужно увеличить его на единицу.

Выполним сложение: $6459 + 1 = 6460$.

Значит, за числом 6459 в натуральном ряду следует число 6460.

Ответ: 6460

6. Запишите число, которое в натуральном ряду предшествует числу:

1) $58$; 2) $631$; 3) $4500$.

Чтобы найти число, которое в натуральном ряду предшествует заданному числу, необходимо от этого числа отнять единицу. Натуральный ряд чисел — это последовательность 1, 2, 3, 4, ... и так далее, где каждое следующее число на 1 больше предыдущего.

1) 58
Число, предшествующее числу 58, находится вычитанием единицы:
$58 - 1 = 57$
Ответ: 57

2) 631
Число, предшествующее числу 631, находится вычитанием единицы:
$631 - 1 = 630$
Ответ: 630

3) 4500
Число, предшествующее числу 4500, находится вычитанием единицы:
$4500 - 1 = 4499$
Ответ: 4499

7. Запишите число, которое в натуральном ряду предшествует числу:

1) 42;

2) 215;

3) 3240.

Чтобы найти число, которое в натуральном ряду предшествует заданному числу, необходимо от заданного числа отнять единицу. Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел (1, 2, 3, ...), расположенных в порядке возрастания. Каждое число в этом ряду (кроме 1) получается прибавлением единицы к предыдущему.

1) Найдем число, которое предшествует числу 42. Для этого вычтем 1 из 42:
$42 - 1 = 41$
Таким образом, число, предшествующее 42, это 41.
Ответ: 41.

2) Найдем число, которое предшествует числу 215. Для этого вычтем 1 из 215:
$215 - 1 = 214$
Таким образом, число, предшествующее 215, это 214.
Ответ: 214.

3) Найдем число, которое предшествует числу 3240. Для этого вычтем 1 из 3240:
$3240 - 1 = 3239$
Таким образом, число, предшествующее 3240, это 3239.
Ответ: 3239.

8. Сколько чисел стоит в натуральном ряду между числами:

1) 6 и 24;

2) 18 и 81?

1) 6 и 24

Чтобы найти количество натуральных чисел, расположенных между двумя данными числами (не включая сами эти числа), нужно из большего числа вычесть меньшее и из полученной разности вычесть еще единицу. Общая формула выглядит так: $N = (b - a) - 1$, где $b$ — большее число, а $a$ — меньшее.

В данном случае $a = 6$ и $b = 24$.

Подставим значения в формулу:

$24 - 6 - 1 = 18 - 1 = 17$

Таким образом, между числами 6 и 24 находится 17 натуральных чисел. Это числа от 7 до 23 включительно.

Ответ: 17.

2) 18 и 81

Применим тот же метод для нахождения количества натуральных чисел между 18 и 81. Большее число $b = 81$, меньшее число $a = 18$.

Выполним вычисление по формуле $N = (b - a) - 1$:

$81 - 18 - 1 = 63 - 1 = 62$

Следовательно, между числами 18 и 81 находится 62 натуральных числа. Это числа от 19 до 80 включительно.

Ответ: 62.

9. На уроке физкультуры все учащиеся класса построились в одну шеренгу. Если считать слева направо, то Дима стоял в шеренге седьмым, а если справа налево, то восемнадцатым. Сколько учащихся в этом классе?

Для того чтобы найти общее количество учащихся в классе, можно рассуждать следующим образом.

Если считать учеников слева направо, то Дима стоит на 7-м месте. Это означает, что слева от Димы в шеренге стоят 6 человек.Математически это можно записать так: $7 - 1 = 6$ человек.

Если считать учеников справа налево, то Дима стоит на 18-м месте. Это означает, что справа от Димы в шеренге стоят 17 человек.Математически: $18 - 1 = 17$ человек.

Теперь, чтобы узнать общее количество учащихся в классе, нужно сложить количество учеников, стоящих слева от Димы, самого Диму (как одного ученика) и количество учеников, стоящих справа от него.

Общее количество учащихся = (количество слева) + Дима + (количество справа).
$6 + 1 + 17 = 24$ учащихся.

Есть и второй, более быстрый способ решения. Можно сложить порядковый номер Димы при счете с обеих сторон ($7$ и $18$). При таком сложении все ученики будут посчитаны один раз, а сам Дима — дважды. Поэтому из полученной суммы нужно вычесть единицу.

Общее количество учащихся = (порядковый номер слева) + (порядковый номер справа) - 1.
$7 + 18 - 1 = 25 - 1 = 24$ учащихся.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 24.

10. Сколько чисел стоит в натуральном ряду между числами:

1) 13 и 28;

2) 29 и 111?

1) Чтобы определить количество натуральных чисел, находящихся между двумя заданными числами (в данном случае 13 и 28), нужно из большего числа вычесть меньшее и от результата отнять единицу. Это необходимо, так как мы не учитываем сами граничные числа.
Общая формула для нахождения количества чисел между $a$ и $b$ (где $b > a$) выглядит так: $b - a - 1$.
Применим эту формулу для чисел 13 и 28:
$28 - 13 - 1 = 15 - 1 = 14$
Таким образом, между числами 13 и 28 находится 14 натуральных чисел (14, 15, ..., 27).
Ответ: 14

2) Используем тот же самый метод для нахождения количества натуральных чисел между 29 и 111.
Применим формулу $b - a - 1$, где $a = 29$ и $b = 111$:
$111 - 29 - 1 = 82 - 1 = 81$
Следовательно, между числами 29 и 111 находится 81 натуральное число.
Ответ: 81

11. На уроке физкультуры все 26 учащихся класса построились в одну шеренгу. Известно, что Петя стоит четырнадцатым, считая слева направо, а Лена — двадцатой, считая справа налево. Сколько учащихся стоит между Петей и Леной?

Для решения задачи необходимо определить позицию обоих учеников с одной и той же стороны, например, слева. Общее количество учеников в шеренге — 26.

Позиция Пети, считая слева, известна по условию — он стоит 14-м.

Теперь определим позицию Лены, считая слева. Известно, что она стоит 20-й, считая справа. Чтобы найти ее порядковый номер слева, можно из общего числа учеников вычесть ее номер справа и прибавить единицу (так как при вычитании мы исключаем и саму Лену).

Позиция Лены слева = (Всего учеников) - (Позиция Лены справа) + 1
$26 - 20 + 1 = 7$

Итак, Лена стоит на 7-м месте, считая слева, а Петя — на 14-м. Это значит, что Лена стоит левее Пети.

Чтобы найти количество учеников, стоящих между ними, нужно из номера Пети вычесть номер Лены и отнять еще единицу, чтобы исключить из подсчета самого Петю.

Количество учеников между ними = (Позиция Пети слева) - (Позиция Лены слева) - 1
$14 - 7 - 1 = 6$

Таким образом, между Петей и Леной стоит 6 учеников.

Альтернативный способ решения:

Можно сложить позиции учеников с разных концов: $14$ (Петя слева) и $20$ (Лена справа).
$14 + 20 = 34$
Сумма получилась больше общего числа учеников ($34 > 26$). Это означает, что ученики, стоящие между Петей и Леной, а также сами Петя и Лена, были посчитаны дважды. Чтобы найти количество этих "дважды посчитанных" учеников, вычтем из полученной суммы общее количество учеников:
$34 - 26 = 8$
Эта группа из 8 человек включает в себя Петю, Лену и всех учеников между ними. Чтобы узнать, сколько учеников стоит только между ними, вычтем из этого числа самих Петю и Лену (2 человека):
$8 - 2 = 6$

Ответ: 6

12. Некоторое натуральное число, большее 3, обозначили буквой $a$. Запишите для числа $a$ два предыдущих и три последующих натуральных числа.

По условию, нам дано натуральное число $a$, которое больше 3. Это означает, что $a \ge 4$. Нам нужно записать два натуральных числа, которые идут непосредственно перед $a$, и три натуральных числа, которые идут непосредственно после $a$.

Два предыдущих натуральных числа

Чтобы найти предыдущее натуральное число, нужно отнять от данного числа единицу. Чтобы найти два предыдущих числа для $a$, мы должны выполнить это действие дважды.

Первое предыдущее число: $a - 1$.

Второе предыдущее число: $(a - 1) - 1 = a - 2$.

Поскольку $a > 3$, то $a - 1 > 2$ и $a - 2 > 1$. Это гарантирует, что оба найденных числа являются натуральными.

Ответ: $a - 2, a - 1$.

Три последующих натуральных числа

Чтобы найти последующее натуральное число, нужно прибавить к данному числу единицу. Чтобы найти три последующих числа для $a$, мы должны выполнить это действие трижды.

Первое последующее число: $a + 1$.

Второе последующее число: $(a + 1) + 1 = a + 2$.

Третье последующее число: $(a + 2) + 1 = a + 3$.

Ответ: $a + 1, a + 2, a + 3$.

13. Установите закономерность, на основании которой составлена за-пись, и укажите три последующих числа:

1) $1, 3, 5, 7, \dots$;

2) $2, 5, 8, 11, \dots$;

3) $2, 5, 7, 10, 12, 15, \dots$;

4) $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$.

Данная последовательность представляет собой арифметическую прогрессию, состоящую из последовательных нечетных чисел. Каждый следующий член получается путем прибавления числа 2 к предыдущему. Разность прогрессии $d = 3 - 1 = 2$.

Чтобы найти три последующих числа, продолжим прибавлять 2:

$7 + 2 = 9$

$9 + 2 = 11$

$11 + 2 = 13$

Ответ: 9, 11, 13.

В этой последовательности разность между соседними членами постоянна: $5 - 2 = 3$, $8 - 5 = 3$, $11 - 8 = 3$. Следовательно, это арифметическая прогрессия с разностью $d = 3$.

Чтобы найти три последующих числа, продолжим прибавлять 3:

$11 + 3 = 14$

$14 + 3 = 17$

$17 + 3 = 20$

Ответ: 14, 17, 20.

Здесь наблюдается чередующаяся закономерность. Разница между соседними членами меняется: $5 - 2 = 3$, $7 - 5 = 2$, $10 - 7 = 3$, $12 - 10 = 2$, $15 - 12 = 3$. К числам последовательно прибавляются 3 и 2.

Продолжим эту закономерность:

Последним действием было прибавление 3 ($12 + 3 = 15$). Следующим шагом будет прибавление 2: $15 + 2 = 17$.

Затем снова прибавляем 3: $17 + 3 = 20$.

И снова прибавляем 2: $20 + 2 = 22$.

Ответ: 17, 20, 22.

Эта последовательность является знаменитой последовательностью Фибоначчи. Начиная с третьего члена, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих.

$1 + 1 = 2$; $1 + 2 = 3$; $2 + 3 = 5$; $3 + 5 = 8$; $5 + 8 = 13$; $8 + 13 = 21$.

Найдем три последующих числа по тому же правилу:

$13 + 21 = 34$

$21 + 34 = 55$

$34 + 55 = 89$

Ответ: 34, 55, 89.

14. Установите закономерность, на основании которой составлена за- пись, и укажите три следующих числа:

1) $2, 4, 6, 8, \dots;$

2) $7, 11, 15, 19, \dots;$

3) $5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, \dots.$

1) 2, 4, 6, 8, ...;

Данная последовательность представляет собой ряд четных чисел, или арифметическую прогрессию. Найдем разность между соседними членами последовательности, чтобы определить закономерность:
$d = 4 - 2 = 2$
$d = 6 - 4 = 2$
$d = 8 - 6 = 2$
Закономерность состоит в том, что каждое последующее число получается путем прибавления 2 к предыдущему. Найдем следующие три числа:
Пятый член: $8 + 2 = 10$
Шестой член: $10 + 2 = 12$
Седьмой член: $12 + 2 = 14$
Ответ: 10, 12, 14.

2) 7, 11, 15, 19, ...;

Эта последовательность также является арифметической прогрессией. Найдем ее разность:
$d = 11 - 7 = 4$
$d = 15 - 11 = 4$
$d = 19 - 15 = 4$
Закономерность заключается в том, что каждое следующее число на 4 больше предыдущего. Найдем следующие три члена последовательности:
Пятый член: $19 + 4 = 23$
Шестой член: $23 + 4 = 27$
Седьмой член: $27 + 4 = 31$
Ответ: 23, 27, 31.

3) 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, ...;

В данной последовательности используется чередующаяся закономерность. Найдем разность между соседними членами:
$6 - 5 = 1$
$8 - 6 = 2$
$9 - 8 = 1$
$11 - 9 = 2$
$12 - 11 = 1$
$14 - 12 = 2$
Закономерность заключается в поочередном прибавлении к каждому члену сначала 1, а затем 2. Последним действием было прибавление 2 ($12 + 2 = 14$), значит, следующим будет прибавление 1. Найдем следующие три числа:
Восьмой член: $14 + 1 = 15$
Девятый член: $15 + 2 = 17$
Десятый член: $17 + 1 = 18$
Ответ: 15, 17, 18.

15. Вычислите:

1) $238 + 435;$

2) $4385 + 2697;$

3) $843 - 457;$

4) $2000 - 546;$

5) $23 \cdot 46;$

6) $645 \cdot 36.$

1) Выполним сложение чисел $238$ и $435$ в столбик.
Сначала складываем единицы: $8 + 5 = 13$. Пишем $3$ в разряд единиц, $1$ десяток запоминаем.
Затем складываем десятки: $3 + 3 + 1 = 7$. Пишем $7$ в разряд десятков.
Складываем сотни: $2 + 4 = 6$. Пишем $6$ в разряд сотен.
$\begin{array}{r}+\\ \\ \end{array}\begin{array}{r}238 \\ 435 \\ \hline 673 \end{array}$
Ответ: 673

2) Выполним сложение чисел $4385$ и $2697$ в столбик.
Складываем единицы: $5 + 7 = 12$. Пишем $2$, $1$ запоминаем.
Складываем десятки: $8 + 9 + 1 = 18$. Пишем $8$, $1$ запоминаем.
Складываем сотни: $3 + 6 + 1 = 10$. Пишем $0$, $1$ запоминаем.
Складываем тысячи: $4 + 2 + 1 = 7$. Пишем $7$.
$\begin{array}{r}+\\ \\ \end{array}\begin{array}{r}4385 \\ 2697 \\ \hline 7082 \end{array}$
Ответ: 7082

3) Выполним вычитание чисел $843$ и $457$ в столбик.
Вычитаем единицы: из $3$ вычесть $7$ нельзя, занимаем $1$ десяток. $13 - 7 = 6$.
Вычитаем десятки: в разряде десятков осталось $3$. Из $3$ вычесть $5$ нельзя, занимаем $1$ сотню. $13 - 5 = 8$.
Вычитаем сотни: в разряде сотен осталось $7$. $7 - 4 = 3$.
$\begin{array}{r}-\\ \\ \end{array}\begin{array}{r}843 \\ 457 \\ \hline 386 \end{array}$
Ответ: 386

4) Выполним вычитание чисел $2000$ и $546$ в столбик.
Для вычитания единиц занимаем $1$ тысячу. Эта тысяча превращается в $10$ сотен, одна из сотен — в $10$ десятков, а один из десятков — в $10$ единиц. В итоге имеем $1$ тысячу, $9$ сотен, $9$ десятков и $10$ единиц.
Вычитаем единицы: $10 - 6 = 4$.
Вычитаем десятки: $9 - 4 = 5$.
Вычитаем сотни: $9 - 5 = 4$.
В разряде тысяч осталась $1$.
$\begin{array}{r}-\\ \\ \end{array}\begin{array}{r}2000 \\ 546 \\ \hline 1454 \end{array}$
Ответ: 1454

5) Выполним умножение чисел $23$ и $46$ в столбик.
Сначала умножаем $23$ на $6$, получаем первое неполное произведение: $23 \cdot 6 = 138$.
Затем умножаем $23$ на $4$, получаем второе неполное произведение: $23 \cdot 4 = 92$.
Складываем неполные произведения, сдвинув второе на один разряд влево: $138 + 920 = 1058$.
$\begin{array}{r}\times\\ \\+\\ \\ \end{array}\begin{array}{r}23 \\ 46 \\ \hline 138 \\ 92\phantom{0} \\ \hline 1058\end{array}$
Ответ: 1058

6) Выполним умножение чисел $645$ и $36$ в столбик.
Умножаем $645$ на $6$, получаем первое неполное произведение: $645 \cdot 6 = 3870$.
Умножаем $645$ на $3$, получаем второе неполное произведение: $645 \cdot 3 = 1935$.
Складываем неполные произведения, сдвинув второе на один разряд влево: $3870 + 19350 = 23220$.
$\begin{array}{r}\times\\ \\+\\ \\ \end{array}\begin{array}{r}645 \\ 36 \\ \hline 3870 \\ 1935\phantom{0} \\ \hline 23220\end{array}$
Ответ: 23220

15. Вычислите:

1) $238 + 435$;

2) $4385 + 2697$;

3) $843 - 457$;

4) $2000 - 546$;

5) $23 \cdot 46$;

6) $645 \cdot 36$.

1) Вычислим сумму $238 + 435$ столбиком.
 238+ 435-----  673
Начнем с разряда единиц: $8 + 5 = 13$. Записываем 3 под единицами и запоминаем 1 (переносим в разряд десятков).
Складываем десятки: $3 + 3 + 1 = 7$. Записываем 7 под десятками.
Складываем сотни: $2 + 4 = 6$. Записываем 6 под сотнями.
Ответ: 673

2) Вычислим сумму $4385 + 2697$ столбиком.
4385+ 2697------ 7082
Начнем с разряда единиц: $5 + 7 = 12$. Записываем 2, 1 переносим в десятки.
Складываем десятки: $8 + 9 + 1 = 18$. Записываем 8, 1 переносим в сотни.
Складываем сотни: $3 + 6 + 1 = 10$. Записываем 0, 1 переносим в тысячи.
Складываем тысячи: $4 + 2 + 1 = 7$. Записываем 7.
Ответ: 7082

3) Вычислим разность $843 - 457$ столбиком.
 843- 457-----  386
Начнем с разряда единиц: от 3 отнять 7 нельзя, занимаем 1 у десятков. $13 - 7 = 6$.
В разряде десятков осталось 3. От 3 отнять 5 нельзя, занимаем 1 у сотен. $13 - 5 = 8$.
В разряде сотен осталось 7. $7 - 4 = 3$.
Ответ: 386

4) Вычислим разность $2000 - 546$ столбиком.
2000-  546------ 1454
Начнем с разряда единиц: от 0 отнять 6 нельзя. Занимаем 1 из разряда тысяч. В разряде сотен и десятков остаются девятки, а в разряде единиц — 10.
Вычитаем единицы: $10 - 6 = 4$.
Вычитаем десятки: $9 - 4 = 5$.
Вычитаем сотни: $9 - 5 = 4$.
В разряде тысяч осталась 1.
Ответ: 1454

5) Вычислим произведение $23 \cdot 46$ столбиком.
23× 46----- 138+ 92 ----- 1058
Сначала умножаем 23 на 6: $23 \times 6 = 138$. Это первое неполное произведение.
Затем умножаем 23 на 4: $23 \times 4 = 92$. Это второе неполное произведение. Записываем его под первым со сдвигом на один разряд влево.
Складываем неполные произведения: $138 + 920 = 1058$.
Ответ: 1058

6) Вычислим произведение $645 \cdot 36$ столбиком.
645× 36------ 3870+1935 ------ 23220
Сначала умножаем 645 на 6: $645 \times 6 = 3870$. Это первое неполное произведение.
Затем умножаем 645 на 3: $645 \times 3 = 1935$. Это второе неполное произведение. Записываем его под первым со сдвигом на один разряд влево.
Складываем неполные произведения: $3870 + 19350 = 23220$.
Ответ: 23220