Номер 85, страница 24 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 3. Отрезок. Длина отрезка. Упражнения - номер 85, страница 24.

Условие.

85. Известно, что $AE = 12$ см, $AQ = QB$, $BM = MC$, $CK = KD$, $DR = RE$, $MK = 4$ см (рис. 35). Найдите длину отрезка $QR$.

Рис. 35

A Q B M C K D R E

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, точки Q, M, K, R являются серединами отрезков AB, BC, CD и DE соответственно. Это означает, что:
$AQ = QB$
$BM = MC$
$CK = KD$
$DR = RE$

Длина всего отрезка AE может быть выражена как сумма длин составляющих его отрезков AB, BC, CD и DE:
$AE = AB + BC + CD + DE$

Используя свойство середин отрезков, выразим длины этих отрезков через их половины:
$AB = AQ + QB = 2 \cdot QB$
$BC = BM + MC = 2 \cdot MC$
$CD = CK + KD = 2 \cdot KD$
$DE = DR + RE = 2 \cdot DR$

Подставим эти выражения в формулу для длины AE и используем известное значение $AE = 12$ см:
$AE = 2 \cdot QB + 2 \cdot MC + 2 \cdot KD + 2 \cdot DR = 2 \cdot (QB + MC + KD + DR)$
$12 = 2 \cdot (QB + MC + KD + DR)$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$QB + MC + KD + DR = 6$ см. (1)

Теперь выразим длину искомого отрезка QR. Отрезок QR состоит из отрезков QB, BC, CD и DR:
$QR = QB + BC + CD + DR$

Заменим отрезки BC и CD на удвоенные длины их половин MC и CK (так как из $CK=KD$ следует $CD=2 \cdot CK$):
$QR = QB + (2 \cdot MC) + (2 \cdot CK) + DR = QB + DR + 2 \cdot (MC + CK)$

По условию, длина отрезка MK равна 4 см. Отрезок MK состоит из отрезков MC и CK:
$MK = MC + CK = 4$ см.

Подставим значение MK в выражение для QR:
$QR = QB + DR + 2 \cdot MK = QB + DR + 2 \cdot 4 = (QB + DR) + 8$

Для того чтобы найти QR, нам нужно найти сумму $QB + DR$. Вернемся к уравнению (1):
$QB + MC + KD + DR = 6$
Сгруппируем слагаемые: $(QB + DR) + (MC + KD) = 6$.

Мы знаем, что $CK = KD$ и $MC + CK = 4$ см. Заменив в последнем равенстве CK на KD, получим:
$MC + KD = 4$ см.

Теперь подставим это значение в сгруппированное уравнение:
$(QB + DR) + 4 = 6$
Отсюда находим сумму $QB + DR$:
$QB + DR = 6 - 4 = 2$ см.

Наконец, подставим найденное значение в формулу для QR:
$QR = (QB + DR) + 8 = 2 + 8 = 10$ см.

Ответ: 10 см.