Страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Выполните сложение:

1) $18 + 14$;

2) $180 + 140$;

3) $180 + 14$;

4) $18 + 140$.

1) Чтобы сложить числа 18 и 14, можно выполнить сложение в столбик или по разрядам. Сложим единицы: $8 + 4 = 12$. Цифру 2 записываем в разряд единиц ответа, а 1 десяток запоминаем. Теперь сложим десятки: $1 + 1 = 2$. Прибавляем к результату запомненный десяток: $2 + 1 = 3$. Записываем 3 в разряд десятков ответа. Получаем: $18 + 14 = 32$.
Ответ: 32.

2) Для сложения чисел 180 и 140 можно также использовать поразрядное сложение. Складываем единицы: $0 + 0 = 0$. Складываем десятки: $8 + 4 = 12$. Записываем 2 в разряд десятков, а 1 (сотню) запоминаем. Складываем сотни: $1 + 1 = 2$. Прибавляем запомненную сотню: $2 + 1 = 3$. Записываем 3 в разряд сотен. В результате получаем: $180 + 140 = 320$.
Ответ: 320.

3) Выполним сложение 180 и 14. Складываем единицы: $0 + 4 = 4$. Складываем десятки: $8 + 1 = 9$. В разряде сотен у первого числа стоит 1, а у второго числа сотен нет, поэтому в результате будет 1 сотня. Совместив полученные цифры, получаем: $180 + 14 = 194$.
Ответ: 194.

4) Выполним сложение 18 и 140. Согласно переместительному свойству сложения, от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $18 + 140 = 140 + 18$. Складываем единицы: $8 + 0 = 8$. Складываем десятки: $1 + 4 = 5$. В разряде сотен остается 1. Таким образом, получаем: $18 + 140 = 158$.
Ответ: 158.

2. Чему равна сумма наибольшего трёхзначного и наименьшего четырёхзначного чисел?

Для ответа на этот вопрос нужно последовательно выполнить несколько шагов:

1. Определить наибольшее трёхзначное число.
Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999. Наибольшее число в любом разряде достигается, когда все его цифры максимальны. Максимальная цифра — это 9. Следовательно, наибольшее трёхзначное число состоит из трёх девяток — 999.

2. Определить наименьшее четырёхзначное число.
Четырёхзначные числа — это числа от 1000 до 9999. Наименьшее число в этом диапазоне — это 1000. Оно состоит из наименьшей возможной цифры в старшем разряде (1, так как 0 не может быть первой цифрой) и наименьших возможных цифр (0) в остальных разрядах.

3. Найти сумму этих двух чисел.
Теперь необходимо сложить найденные числа: 999 (наибольшее трёхзначное) и 1000 (наименьшее четырёхзначное).
Выполняем сложение: $999 + 1000 = 1999$.

Таким образом, сумма наибольшего трёхзначного и наименьшего четырёхзначного чисел равна 1999.

Ответ: 1999

3. В пять одинаковых пакетов разложили поровну 10 кг конфет.
Сколько таких пакетов необходимо взять, чтобы разложить 30 кг конфет?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: По действиям

1. Сначала найдем, сколько килограммов конфет помещается в один пакет. Для этого разделим общую массу конфет на количество пакетов:
$10 \text{ кг} \div 5 \text{ пакетов} = 2 \text{ кг}$
Таким образом, в каждом пакете находится 2 кг конфет.
2. Теперь, зная вместимость одного пакета, рассчитаем, сколько пакетов потребуется для 30 кг конфет. Для этого новую общую массу конфет разделим на массу конфет в одном пакете:
$30 \text{ кг} \div 2 \text{ кг} = 15 \text{ пакетов}$

Ответ: 15 пакетов.

Способ 2: С помощью отношения

1. Сначала выясним, во сколько раз 30 кг конфет больше, чем 10 кг конфет:
$30 \text{ кг} \div 10 \text{ кг} = 3 \text{ раза}$
2. Так как масса конфет увеличилась в 3 раза, то и количество пакетов для их размещения должно увеличиться во столько же раз. Умножим исходное количество пакетов на 3:
$5 \text{ пакетов} \times 3 = 15 \text{ пакетов}$

Ответ: 15 пакетов.

138. Запишите показания термометров, изображённых на рисунке 74.

Для того чтобы определить температуру, которую показывает каждый термометр, необходимо сначала найти цену деления его шкалы, а затем вычислить показание.

1)

Сначала определим цену одного деления на шкале первого термометра. Для этого выберем два соседних подписанных штриха, например, $0$ и $5$. Разница значений температуры между ними составляет $5 - 0 = 5$ градусов. Количество делений (промежутков) между этими штрихами равно $5$. Цена деления вычисляется как отношение разницы температур к количеству делений: $C = (5 \text{°C} - 0 \text{°C}) \div 5 = 1 \text{°C}$. Верхний конец столбика жидкости находится на $3$ деления выше отметки $5 \text{°C}$. Следовательно, показание термометра равно: $5 \text{°C} + 3 \times 1 \text{°C} = 8 \text{°C}$.

Ответ: $8 \text{°C}$.

2)

Определим цену деления на шкале второго термометра. Возьмем штрихи с отметками $-10$ и $-5$. Разница значений составляет $-5 \text{°C} - (-10 \text{°C}) = 5 \text{°C}$. Количество делений между ними — $5$. Цена деления равна: $C = 5 \text{°C} \div 5 = 1 \text{°C}$. Столбик жидкости остановился на $2$ деления ниже отметки $-5 \text{°C}$. Следовательно, показание термометра равно: $-5 \text{°C} - 2 \times 1 \text{°C} = -7 \text{°C}$.

Ответ: $-7 \text{°C}$.

3)

Определим цену деления на шкале третьего термометра. Возьмем штрихи с отметками $20$ и $30$. Разница значений составляет $30 \text{°C} - 20 \text{°C} = 10 \text{°C}$. Количество делений между ними — $10$. Цена деления равна: $C = 10 \text{°C} \div 10 = 1 \text{°C}$. Столбик жидкости находится ровно на отметке $30 \text{°C}$.

Ответ: $30 \text{°C}$.

4)

Определим цену деления на шкале четвертого термометра. Возьмем штрихи с отметками $-10$ и $0$. Разница значений составляет $0 \text{°C} - (-10 \text{°C}) = 10 \text{°C}$. Количество делений между ними — $10$. Цена деления равна: $C = 10 \text{°C} \div 10 = 1 \text{°C}$. Столбик жидкости находится на $4$ деления ниже отметки $0 \text{°C}$. Следовательно, показание термометра равно: $0 \text{°C} - 4 \times 1 \text{°C} = -4 \text{°C}$.

Ответ: $-4 \text{°C}$.

139. Какую температуру будет показывать термометр, изображённый на рисунке 74, в, если его столбик: 1) опустится на шесть делений; 2) поднимется на четыре деления?

Рис. 74

1) опустится на шесть делений;

Температура будет: $18^\circ\text{C} - 6^\circ\text{C} = 12^\circ\text{C}$.

2) поднимется на четыре деления?

Температура будет: $18^\circ\text{C} + 4^\circ\text{C} = 22^\circ\text{C}$.

Для решения задачи сначала определим цену деления шкалы термометра "в" и его начальные показания.

1. Определение цены деления. На шкале термометра между метками $10$ °C и $20$ °C находится $10$ делений. Следовательно, цена одного деления (ЦД) рассчитывается так:
$ЦД = (20\ °C - 10\ °C) / 10 = 10\ °C / 10 = 1\ °C$.
Таким образом, одно деление на шкале соответствует изменению температуры на $1$ °C.

2. Определение начальной температуры. Столбик жидкости в термометре "в" находится на отметке, которая на два деления ниже $20$ °C. Значит, начальная температура $T_{нач}$ равна:
$T_{нач} = 20\ °C - 2 \times 1\ °C = 18\ °C$.

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) опустится на шесть делений
Если столбик термометра опустится на шесть делений, температура уменьшится на $6 \times 1\ °C = 6\ °C$. Новая температура $T_1$ будет:
$T_1 = T_{нач} - 6\ °C = 18\ °C - 6\ °C = 12\ °C$.
Ответ: $12\ °C$.

2) поднимется на четыре деления
Если столбик термометра поднимется на четыре деления, температура увеличится на $4 \times 1\ °C = 4\ °C$. Новая температура $T_2$ будет:
$T_2 = T_{нач} + 4\ °C = 18\ °C + 4\ °C = 22\ °C$.
Ответ: $22\ °C$.

140. Какую температуру будет показывать термометр, изображённый на рисунке 74, г, если его столбик:

Рис. 74

а

б

в

г

30

20

10

0

$^\circ C$

Для решения задачи сначала определим цену деления шкалы термометра и его начальные показания.

1. Определение цены деления. На шкале термометра (рис. 74, г) есть отметки 10 °C и 20 °C. Между этими отметками находится 10 делений. Следовательно, цена одного деления (ц.д.) равна:

ц.д. = $(20 \text{ °C} - 10 \text{ °C}) / 10 = 1 \text{ °C}$

Таким образом, одно деление на шкале соответствует изменению температуры на 1 °C.

2. Определение начальной температуры. Столбик жидкости на термометре, изображенном на рисунке 74, г, находится на отметке 20. Следовательно, начальная температура $T_{нач}$ составляет 20 °C.

$T_{нач} = 20 \text{ °C}$

Теперь рассчитаем, какую температуру будет показывать термометр в каждом из двух случаев.

Если столбик термометра поднимется на три деления, это означает, что температура увеличится. Величина увеличения температуры составит $3 \times 1 \text{ °C} = 3 \text{ °C}$.

Новая температура $T_1$ будет равна:

$T_1 = T_{нач} + 3 \text{ °C} = 20 \text{ °C} + 3 \text{ °C} = 23 \text{ °C}$

Ответ: 23 °C.

Если столбик термометра опустится на пять делений, это означает, что температура уменьшится. Величина уменьшения температуры составит $5 \times 1 \text{ °C} = 5 \text{ °C}$.

Новая температура $T_2$ будет равна:

$T_2 = T_{нач} - 5 \text{ °C} = 20 \text{ °C} - 5 \text{ °C} = 15 \text{ °C}$

Ответ: 15 °C.

141. (Домашняя практическая работа) Составьте список приборов со шкалой, имеющихся у вас дома, и укажите цену деления соответствующей шкалы.

Для определения цены деления шкалы измерительного прибора необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны числовые значения (пусть это будут значения $A$ и $B$, где $A > B$).
2. Вычесть из большего значения меньшее ($A - B$).
3. Сосчитать количество делений (промежутков) $N$ между этими двумя штрихами.
4. Разделить разность значений на количество делений. Полученное число и будет ценой деления $C$.

Формула для расчета цены деления: $C = \frac{A - B}{N}$

Ниже приведен список возможных приборов, которые могут находиться дома, и расчет цены деления их шкал.

Комнатный термометр

На шкале комнатного термометра выберем два соседних штриха с цифровыми обозначениями, например, $20^\circ\text{C}$ и $30^\circ\text{C}$.

Между этими штрихами находится 10 делений.

Найдем цену деления по формуле:

$C = \frac{30^\circ\text{C} - 20^\circ\text{C}}{10} = \frac{10^\circ\text{C}}{10} = 1^\circ\text{C}$

Ответ: цена деления шкалы комнатного термометра составляет $1^\circ\text{C}$.

Ученическая линейка

Шкала линейки размечена в сантиметрах. Возьмем два соседних числовых значения, например, $5$ см и $6$ см.

Между отметками $5$ см и $6$ см находится 10 маленьких делений.

Рассчитаем цену деления:

$C = \frac{6 \text{ см} - 5 \text{ см}}{10} = \frac{1 \text{ см}}{10} = 0,1 \text{ см}$

Так как $0,1$ см равен $1$ мм, то цена деления составляет $1$ мм.

Ответ: цена деления шкалы линейки составляет $0,1$ см (или $1$ мм).

Мерный стакан для жидкости

На шкале мерного стакана возьмем отметки $100$ мл и $150$ мл.

Предположим, что между ними находится 5 делений.

Рассчитаем цену деления:

$C = \frac{150 \text{ мл} - 100 \text{ мл}}{5} = \frac{50 \text{ мл}}{5} = 10 \text{ мл}$

Ответ: цена деления шкалы мерного стакана составляет $10$ мл.

Механические кухонные весы

На шкале весов выберем две соседние оцифрованные отметки, например, $200$ г и $300$ г.

Подсчитаем количество делений между ними, пусть их будет 5.

Определим цену деления:

$C = \frac{300 \text{ г} - 200 \text{ г}}{5} = \frac{100 \text{ г}}{5} = 20 \text{ г}$

Ответ: цена деления шкалы кухонных весов составляет $20$ г.

Манометр механического тонометра

Шкала манометра для измерения артериального давления градуирована в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.).

Возьмем две соседние числовые отметки, например, $100$ и $120$ мм рт. ст.

Между ними, как правило, находится 10 делений.

Рассчитаем цену деления:

$C = \frac{120 \text{ мм рт. ст.} - 100 \text{ мм рт. ст.}}{10} = \frac{20 \text{ мм рт. ст.}}{10} = 2 \text{ мм рт. ст.}$

Ответ: цена деления шкалы манометра составляет $2$ мм рт. ст.