Страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

158. Найдите координаты точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ на рисунке 80.

Рис. 80

$A$, $C$, $B$, $F$, $D$, $E$

$0$, $30$, $60$, $90$, $120$, $150$, $180$

Для определения координат точек на числовой оси необходимо сначала найти цену одного деления шкалы. На оси отмечены числа 0, 30, 60 и так далее. Расстояние между двумя соседними числовыми отметками, например, между 0 и 30, равно 30. Этот отрезок разделен на три равные части (деления). Следовательно, цена одного деления составляет:

$(30 - 0) : 3 = 10$

Таким образом, каждое малое деление на шкале соответствует 10 единицам. Теперь, зная это, мы можем найти координаты каждой точки.

A

Точка A находится на первом делении справа от 0. Ее координата равна:

$0 + 1 \cdot 10 = 10$

Ответ: $A(10)$

B

Точка B совпадает с числовой отметкой 90 на координатной оси.

Ответ: $B(90)$

C

Точка C находится на втором делении справа от отметки 30, или на одно деление слева от отметки 60. Ее координата равна:

$60 - 1 \cdot 10 = 50$

Ответ: $C(50)$

D

Точка D находится на втором делении справа от отметки 120, или на одно деление слева от отметки 150. Ее координата равна:

$150 - 1 \cdot 10 = 140$

Ответ: $D(140)$

E

Точка E находится на первом делении справа от отметки 180. Ее координата равна:

$180 + 1 \cdot 10 = 190$

Ответ: $E(190)$

F

Точка F находится на первом делении справа от отметки 120. Ее координата равна:

$120 + 1 \cdot 10 = 130$

Ответ: $F(130)$

159. Найдите координаты точек $M, N, P, T, K, S$ на рисунке 81.

Рис. 81

M: $M = 16$

P: $P = 56$

N: $N = 80$

T: $T = 128$

S: $S = 144$

K: $K = 192$

Для определения координат точек на рисунке сначала найдем цену одного деления шкалы. Расстояние между крупными отметками, например, от 0 до 40, составляет 40 единиц и разделено на 4 малых отрезка. Следовательно, цена одного деления равна:
$ (40 - 0) \div 4 = 10 $.
Теперь, зная цену деления, найдем координаты каждой из точек.

M. Точка M находится на 2 деления правее отметки 0. Ее координата вычисляется как $0 + 2 \times 10 = 20$.
Ответ: M(20).

N. Точка N совпадает с отметкой 80 на координатной прямой.
Ответ: N(80).

P. Точка P расположена на 1 деление левее отметки 80. Ее координата: $80 - 1 \times 10 = 70$.
Ответ: P(70).

T. Точка T находится на 1 деление правее отметки 120. Координата точки T: $120 + 1 \times 10 = 130$.
Ответ: T(130).

K. Точка K расположена на 2 деления правее отметки 160 (или на 2 деления левее отметки 200). Ее координата: $160 + 2 \times 10 = 180$.
Ответ: K(180).

S. Точка S находится на 1 деление левее отметки 160. Координата точки S: $160 - 1 \times 10 = 150$.
Ответ: S(150).

160. Перенесите в тетрадь рисунок 82. Отметьте на координатном луче точки B (12), C (2), D (8).

Рис. 82

Для того чтобы отметить точки $B(12)$, $C(2)$ и $D(8)$ на координатном луче, сначала необходимо определить цену одного деления (единичный отрезок), используя данные из рисунка 82.

На исходном рисунке мы видим, что точка $A$ с координатой 6 находится на расстоянии 3 делений (клеток) от начала луча, точки 0. Чтобы найти, какому значению соответствует одно деление, разделим координату точки $A$ на количество делений:

$6 \div 3 = 2$

Следовательно, одно деление на координатном луче равно 2 единицам.

Теперь, зная цену деления, мы можем найти положение каждой из заданных точек:

• Точка C с координатой 2. Чтобы найти, на каком делении она находится, разделим ее координату на цену деления: $2 \div 2 = 1$. Точка $C$ находится на 1-м делении от начала координат.
• Точка D с координатой 8. Разделим ее координату на цену деления: $8 \div 2 = 4$. Точка $D$ находится на 4-м делении от начала координат.
• Точка B с координатой 12. Разделим ее координату на цену деления: $12 \div 2 = 6$. Точка $B$ находится на 6-м делении от начала координат.

Итоговый координатный луч с отмеченными точками будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Координатный луч с отмеченными точками представлен на рисунке выше. Точка $C(2)$ расположена на 1-м делении от начала луча, точка $D(8)$ — на 4-м делении, а точка $B(12)$ — на 6-м делении.

161. Перенесите в тетрадь рисунок 83. Отметьте на координатном луче точки $E (27)$, $F (6)$, $K (15)$, $P (21)$.

Рис. 83

0 $M(9)$

Для того чтобы отметить заданные точки на координатном луче, необходимо сначала определить цену одного деления (единичный отрезок) на исходном рисунке.

На рисунке 83 мы видим, что точка $M$ имеет координату 9. Расстояние от начала координат (точки с координатой 0) до точки $M$ составляет 3 клетки. Чтобы найти, скольким единицам равна одна клетка, разделим координату точки $M$ на количество клеток до нее от начала луча:

$9 \div 3 = 3$

Следовательно, единичный отрезок, равный одной клетке, соответствует 3 единицам на координатном луче.

Теперь мы можем найти положение каждой из заданных точек на луче, разделив их координату на цену деления, то есть на 3. Это позволит нам узнать, на каком расстоянии в клетках от начала координат находится каждая точка.

Точка F (6)

Чтобы найти положение точки F, разделим её координату 6 на цену деления 3:

$6 \div 3 = 2$

Значит, точка F находится на расстоянии 2 клеток от начала координат.

Точка K (15)

Чтобы найти положение точки K, разделим её координату 15 на цену деления 3:

$15 \div 3 = 5$

Значит, точка K находится на расстоянии 5 клеток от начала координат.

Точка P (21)

Чтобы найти положение точки P, разделим её координату 21 на цену деления 3:

$21 \div 3 = 7$

Значит, точка P находится на расстоянии 7 клеток от начала координат.

Точка E (27)

Чтобы найти положение точки E, разделим её координату 27 на цену деления 3:

$27 \div 3 = 9$

Значит, точка E находится на расстоянии 9 клеток от начала координат.

Теперь отметим эти точки на координатном луче.

Ответ:

162. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку, удалённую от точки $B(5)$ на:

1) шесть единичных отрезков;

2) три единичных отрезка;

3) пять единичных отрезков.

Для решения задачи нужно начертить координатный луч (луч, имеющий начало в точке 0, единичный отрезок и направление) и отметить на нём точку $B(5)$. Затем для каждого случая найти точки, находящиеся на заданном расстоянии от точки $B$. Расстояние откладывается вправо (координата увеличивается) и влево (координата уменьшается). Координата на луче не может быть отрицательным числом.

Чтобы найти точку на координатном луче, удалённую от точки $B(5)$ на 6 единичных отрезков, нужно рассмотреть два направления. Первое направление — в сторону увеличения координат, что соответствует сложению. Координата новой точки будет $5 + 6 = 11$. Второе направление — в сторону уменьшения координат, что соответствует вычитанию. Координата новой точки будет $5 - 6 = -1$. Так как координатный луч содержит только неотрицательные числа, точка с координатой -1 на нём не располагается. Таким образом, условию удовлетворяет только одна точка.

Ответ: Точка с координатой 11.

Чтобы найти точки на координатном луче, удалённые от точки $B(5)$ на 3 единичных отрезка, нужно рассмотреть два направления. При движении вправо (сложение) координата будет $5 + 3 = 8$. При движении влево (вычитание) координата будет $5 - 3 = 2$. Обе полученные координаты, 8 и 2, являются неотрицательными, поэтому обе соответствующие точки лежат на координатном луче.

Ответ: Точки с координатами 2 и 8.

Чтобы найти точки на координатном луче, удалённые от точки $B(5)$ на 5 единичных отрезков, нужно рассмотреть два направления. При движении вправо (сложение) координата будет $5 + 5 = 10$. При движении влево (вычитание) координата будет $5 - 5 = 0$. Обе полученные координаты, 10 и 0, являются неотрицательными, поэтому обе соответствующие точки лежат на координатном луче. Точка с координатой 0 является началом луча.

Ответ: Точки с координатами 0 и 10.

163. Начертите координатный луч и отметьте на нём точку, удалённую от точки А (7) на:

1) десять единичных отрезков;

2) четыре единичных отрезка.

Для решения задачи необходимо найти координаты точек на координатном луче, которые находятся на заданном расстоянии от точки А(7). Координатный луч начинается в точке 0 и содержит только неотрицательные числа. Чтобы найти искомые точки, нужно к координате точки А(7) прибавить (движение вправо по лучу) и вычесть (движение влево по лучу) указанное расстояние, а затем проверить, принадлежит ли полученная координата лучу.

1) десять единичных отрезков

Ищем точки, расстояние от которых до точки А(7) равно 10. Для этого выполним два действия:

1. Сдвиг вправо от точки A(7) на 10 единиц: $7 + 10 = 17$. Получаем точку с координатой 17. Так как $17 \ge 0$, эта точка лежит на координатном луче.

2. Сдвиг влево от точки A(7) на 10 единиц: $7 - 10 = -3$. Координата -3 является отрицательным числом, поэтому точка с такой координатой не лежит на координатном луче.

Таким образом, существует только одна точка, удовлетворяющая условию. На координатном луче нужно отметить точку с координатой 17.

Ответ: На координатном луче следует отметить точку с координатой 17.

2) четыре единичных отрезка

Ищем точки, расстояние от которых до точки А(7) равно 4. Для этого также выполним два действия:

1. Сдвиг вправо от точки A(7) на 4 единицы: $7 + 4 = 11$. Получаем точку с координатой 11. Так как $11 \ge 0$, эта точка лежит на координатном луче.

2. Сдвиг влево от точки A(7) на 4 единицы: $7 - 4 = 3$. Получаем точку с координатой 3. Так как $3 \ge 0$, эта точка также лежит на координатном луче.

В этом случае условию удовлетворяют две точки. На координатном луче нужно отметить точки с координатами 3 и 11.

Ответ: На координатном луче следует отметить две точки с координатами 3 и 11.

164. На координатном луче отметили точки $O (0)$, $A (7)$ и $B (28)$.

1) На сколько единичных отрезков отрезок $OB$ длиннее отрезка $OA$?

2) Во сколько раз отрезок $OA$ короче отрезка $OB$?

Для решения задачи сначала найдем длины отрезков $OA$ и $OB$. Поскольку точки находятся на координатном луче, начинающемся в точке $O$ с координатой 0, длина каждого отрезка ($OA$ и $OB$) равна координате его конечной точки.

Длина отрезка $OA$ составляет $7 - 0 = 7$ единичных отрезков.

Длина отрезка $OB$ составляет $28 - 0 = 28$ единичных отрезков.

1) На сколько единичных отрезков отрезок OB длиннее отрезка OA?

Чтобы найти, на сколько один отрезок длиннее другого, необходимо из длины большего отрезка вычесть длину меньшего.

$28 - 7 = 21$

Таким образом, отрезок $OB$ длиннее отрезка $OA$ на 21 единичный отрезок.

Ответ: на 21.

2) Во сколько раз отрезок OA короче отрезка OB?

Чтобы найти, во сколько раз один отрезок короче другого, необходимо длину большего отрезка разделить на длину меньшего.

$28 \div 7 = 4$

Следовательно, отрезок $OA$ короче отрезка $OB$ в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.