Страница 54 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Чему равна длина отрезка $AD$, изображённого на рисунке 88, если $AC = 18$ см, $BD = 20$ см, $BC = 6$ см?

А) 38 см

Б) 32 см

В) 28 см

Г) 26 см

Рис. 88

Для того чтобы найти длину отрезка $AD$, можно рассмотреть его как сумму длин составляющих его отрезков. Из рисунка видно, что точки расположены на прямой последовательно: A, B, C, D.

Длину всего отрезка $AD$ можно представить как сумму длин отрезков $AC$ и $CD$ или как сумму длин отрезков $AB$ и $BD$. $AD = AC + CD$ $AD = AB + BD$ Также можно представить $AD$ как сумму трёх отрезков: $AD = AB + BC + CD$.

Рассмотрим первый способ решения, через нахождение длин отрезков $AB$ и $CD$.

1. Найдём длину отрезка AB.
Отрезок $AC$ состоит из отрезков $AB$ и $BC$. Следовательно, $AC = AB + BC$.
Чтобы найти $AB$, нужно из длины $AC$ вычесть длину $BC$:
$AB = AC - BC$
Подставим известные значения: $AC = 18$ см и $BC = 6$ см.
$AB = 18 - 6 = 12$ см.

2. Найдём длину отрезка CD.
Аналогично, отрезок $BD$ состоит из отрезков $BC$ и $CD$. Следовательно, $BD = BC + CD$.
Чтобы найти $CD$, нужно из длины $BD$ вычесть длину $BC$:
$CD = BD - BC$
Подставим известные значения: $BD = 20$ см и $BC = 6$ см.
$CD = 20 - 6 = 14$ см.

3. Найдём длину отрезка AD.
Теперь, когда известны длины всех частей, можем найти общую длину отрезка $AD$, сложив их:
$AD = AB + BC + CD$
$AD = 12 + 6 + 14 = 32$ см.

Альтернативный способ.
Можно заметить, что если сложить длины отрезков $AC$ и $BD$, то их общая часть, отрезок $BC$, будет посчитан дважды. $AC + BD = (AB + BC) + (BC + CD) = AB + 2 \cdot BC + CD$
Чтобы получить длину $AD = AB + BC + CD$, нужно из этой суммы вычесть длину $BC$ один раз:
$AD = AC + BD - BC$
Подставим известные значения:
$AD = 18 + 20 - 6 = 38 - 6 = 32$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученное значение с вариантами ответа, мы видим, что оно соответствует варианту Б).

Ответ: 32 см.

6. Какая из отмеченных точек не принадлежит лучу $BD$, изображённому на рисунке 89?

А) $B$

Б) $E$

В) $M$

Г) $K$

Рис. 89

По определению, луч — это часть прямой, которая имеет начало в некоторой точке и продолжается бесконечно в одном направлении. Луч BD начинается в точке B и проходит через точку D, продолжаясь в том же направлении. Это означает, что лучу BD принадлежат точка B и все точки, лежащие на прямой по ту же сторону от точки B, что и точка D.

На рисунке 89 видно, что точки D, K и E находятся правее точки B, а точка M — левее.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

А) B. Точка B является началом луча BD, следовательно, она принадлежит этому лучу.

Б) E. Точка E находится на прямой в том же направлении от точки B, что и точка D. Следовательно, точка E принадлежит лучу BD.

В) M. Точка M находится на прямой с противоположной стороны от начала луча B. Следовательно, точка M не принадлежит лучу BD.

Г) K. Точка K находится на прямой в том же направлении от точки B, что и точка D. Следовательно, точка K принадлежит лучу BD.

Таким образом, единственная из отмеченных точек, которая не принадлежит лучу BD, — это точка M.

Ответ: В) M

7. Чему равна координата точки $M$, изображённой на рисунке 90?

А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 8

Рис. 90

0 1 $M$

Чтобы определить координату точки $M$ на числовой оси, необходимо сначала найти цену одного деления этой оси.

Из рисунка видно, что отрезок между отметками 0 и 1, который является единичным отрезком, разделен на 2 равные части. Следовательно, цена (или длина) одного деления равна:

$1 \div 2 = 0.5$

Далее, посчитаем количество делений от начала координат (точки 0) до точки $M$. Считая отрезки вправо от 0, мы видим, что точка $M$ находится на 14-м делении.

Координата точки $M$ вычисляется как произведение количества делений от начала отсчета на цену одного деления:

$14 \times 0.5 = 7$

Таким образом, координата точки $M$ равна 7.

Ответ: 7

8. Чему равна координата точки K, изображённой на рисунке 91?

А) 70

Б) 75

В) 80

Г) 85

Рис. 91

На числовой прямой отмечены: 0, 30, 60, 90, а также точка K.

Для того чтобы определить координату точки K, изображенной на рисунке, необходимо сначала найти цену одного деления шкалы.

На шкале отмечены числа 0, 30, 60, 90. Расстояние между соседними крупными отметками составляет 30 единиц. Например, разница между 60 и 30 равна $60 - 30 = 30$.

Каждый такой отрезок (например, от 30 до 60) разделен на 3 равные части (деления). Чтобы найти, чему равна одна такая часть, разделим длину отрезка на количество частей:

$30 \div 3 = 10$

Следовательно, цена одного деления шкалы равна 10.

Точка K находится на первом делении после отметки 60. Чтобы найти её координату, нужно к координате 60 прибавить цену одного деления:

$60 + 10 = 70$

Таким образом, координата точки K равна 70, что соответствует варианту А).

Ответ: 70

9. Какую из данных цифр можно подставить вместо звёздочки

в запись $1472 > 14*4$, чтобы образовалось верное неравенство?

А) 8

Б) 7

В) 6

Г) 9

Для того чтобы неравенство $1472 > 14*4$ было верным, число в левой части должно быть больше числа в правой части.

Сравним числа поразрядно, начиная со старшего разряда (тысяч):

• Цифры в разряде тысяч одинаковы: $1 = 1$.
• Цифры в разряде сотен одинаковы: $4 = 4$.

Поскольку старшие разряды равны, сравнение переходит к разряду десятков. Чтобы левое число было больше, его цифра в разряде десятков должна быть больше или равна цифре в разряде десятков правого числа.

В числе $1472$ в разряде десятков стоит цифра 7.

Рассмотрим два возможных случая для цифры, стоящей на месте звёздочки (*):

1. Если цифра на месте звёздочки будет меньше 7 (т.е., $* < 7$), то число $1472$ будет больше, чем $14*4$, так как его цифра в разряде десятков больше. Например, $1472 > 1464$.

2. Если цифра на месте звёздочки будет равна 7 (т.е., $* = 7$), то неравенство примет вид $1472 > 1474$. В этом случае нужно сравнить разряд единиц: $2 < 4$, значит, $1472 < 1474$. Это делает исходное неравенство ложным.

Если же цифра на месте звёздочки будет больше 7 (т.е., $* > 7$), то число $14*4$ будет заведомо больше, чем $1472$.

Таким образом, чтобы неравенство $1472 > 14*4$ было верным, на месте звёздочки должна стоять цифра, строго меньшая 7.

Проверим предложенные варианты:

А) 8: Условие $8 < 7$ не выполняется.

Б) 7: Условие $7 < 7$ не выполняется.

В) 6: Условие $6 < 7$ выполняется.

Г) 9: Условие $9 < 7$ не выполняется.

Единственная подходящая цифра — это 6. При её подстановке получаем верное неравенство: $1472 > 1464$.

Ответ: В) 6.

10. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче левее числа 15?

А) $13$

Б) $14$

В) $15$

Г) бесконечно много

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов. Ряд натуральных чисел начинается с 1: $1, 2, 3, 4, 5, ...$ и так далее до бесконечности.

На координатном луче числа, расположенные левее, всегда меньше чисел, расположенных правее. Вопрос состоит в том, чтобы найти количество натуральных чисел, которые строго меньше 15.

Это можно записать в виде неравенства: $n < 15$, где $n$ — натуральное число.

Выпишем все натуральные числа, которые удовлетворяют этому условию:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Число 15 не включается, так как мы ищем числа, расположенные строго левее. Число 0 не является натуральным числом, поэтому оно также не учитывается.

Посчитаем количество чисел в этом ряду. Их ровно 14. Этот результат соответствует варианту ответа Б).

Ответ: 14

11. Дома на улице пронумерованы подряд числами от 1 до 25. Сколько раз цифра 2 встречается в нумерации?

А) 5 Б) 7 В) 8 Г) 9

Для решения этой задачи необходимо посчитать, сколько раз цифра 2 встречается в числах от 1 до 25 включительно.

Проще всего сделать это, разделив подсчет на два этапа: сначала посчитаем, сколько раз цифра 2 встречается в разряде единиц, а затем — в разряде десятков.

1. Цифра 2 в разряде единиц

Выпишем все числа от 1 до 25, которые оканчиваются на 2:
2, 12, 22.
В этом случае цифра 2 встречается 3 раза.

2. Цифра 2 в разряде десятков

Выпишем все числа от 1 до 25, которые начинаются с цифры 2 (то есть относятся к третьему десятку):
20, 21, 22, 23, 24, 25.
В этом случае цифра 2 в разряде десятков встречается 6 раз.

Теперь нужно сложить количество раз, которое цифра 2 встретилась в обоих случаях. Обратите внимание, что в числе 22 цифра "2" встречается дважды, и наш метод подсчета это правильно учитывает: один раз мы посчитали ее в разряде единиц, а второй раз — в разряде десятков.

Общее количество вхождений цифры 2 равно сумме результатов:
$3 + 6 = 9$.

Проверка прямым подсчетом

Перечислим все числа от 1 до 25, содержащие цифру 2, и посчитаем ее в каждом из них:
Число 2: одна цифра «2».
Число 12: одна цифра «2».
Число 20: одна цифра «2».
Число 21: одна цифра «2».
Число 22: две цифры «2».
Число 23: одна цифра «2».
Число 24: одна цифра «2».
Число 25: одна цифра «2».
Суммируем все случаи: $1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 9$.

Оба способа дают одинаковый результат. В нумерации домов от 1 до 25 цифра 2 встречается 9 раз.

Ответ: 9

12. Укажите верное неравенство:

А) $6 \text{ ц} < 598 \text{ кг}$

Б) $7 \text{ ц } 32 \text{ кг} > 723 \text{ кг}$

В) $2 \text{ км } 85 \text{ м} > 2122 \text{ м}$

Г) $1 \text{ км } 42 \text{ м} > 1200 \text{ м}$

Чтобы найти верное неравенство, необходимо привести все величины к единой единице измерения в каждом из вариантов и затем сравнить их.

Для этого воспользуемся следующими соотношениями:

• 1 центнер (ц) = 100 килограмм (кг)
• 1 километр (км) = 1000 метров (м)

А) 6 ц < 598 кг

Переведем 6 центнеров в килограммы. $6 \text{ ц} = 6 \times 100 \text{ кг} = 600 \text{ кг}$. Теперь сравним значения: $600 \text{ кг} < 598 \text{ кг}$. Данное неравенство является неверным, так как 600 больше 598. Ответ: Неверно.

Б) 7 ц 32 кг > 723 кг

Переведем 7 центнеров 32 килограмма в килограммы. $7 \text{ ц } 32 \text{ кг} = (7 \times 100) \text{ кг} + 32 \text{ кг} = 700 \text{ кг} + 32 \text{ кг} = 732 \text{ кг}$. Теперь сравним значения: $732 \text{ кг} > 723 \text{ кг}$. Данное неравенство является верным, так как 732 действительно больше 723. Ответ: Верно.

В) 2 км 85 м > 2122 м

Переведем 2 километра 85 метров в метры. $2 \text{ км } 85 \text{ м} = (2 \times 1000) \text{ м} + 85 \text{ м} = 2000 \text{ м} + 85 \text{ м} = 2085 \text{ м}$. Теперь сравним значения: $2085 \text{ м} > 2122 \text{ м}$. Данное неравенство является неверным, так как 2085 меньше 2122. Ответ: Неверно.

Г) 1 км 42 м > 1200 м

Переведем 1 километр 42 метра в метры. $1 \text{ км } 42 \text{ м} = (1 \times 1000) \text{ м} + 42 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 42 \text{ м} = 1042 \text{ м}$. Теперь сравним значения: $1042 \text{ м} > 1200 \text{ м}$. Данное неравенство является неверным, так как 1042 меньше 1200. Ответ: Неверно.

Таким образом, единственное верное неравенство — это неравенство под буквой Б.