Номер 167, страница 46 - гдз по математике 5 класс учебник Мерзляк, Полонский

Раздел I. Натуральные числа и действия над ними. Глава 1. Натуральные числа. Параграф 6. Шкала. Координатная прямая. Упражнения - номер 167, страница 46.

Условие.

167. Кузнечик за один прыжок перемещается вдоль координатного луча вправо на пять единичных отрезков или влево на три единичных отрезка. Первый прыжок кузнечик совершает вправо на пять единичных отрезков. Сможет ли он за несколько прыжков из точки $O(0)$ попасть:

1) в точку $A(7)$;

2) в точку $B(8)$?

Решение.

Решение 2.

Пусть кузнечик, помимо обязательного первого прыжка, совершил еще $x$ прыжков вправо (на 5 единиц) и $y$ прыжков влево (на 3 единицы), где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.

Начальная позиция кузнечика — точка $O(0)$. Первый прыжок всегда вправо на 5 единиц, поэтому после первого прыжка он окажется в точке с координатой 5.

Дальнейшее положение кузнечика можно описать формулой, где $P$ — итоговая координата:$P = 5 + 5x - 3y$

1) в точку А (7);
Чтобы кузнечик попал в точку A(7), его итоговая координата $P$ должна быть равна 7. Подставим это значение в нашу формулу:$7 = 5 + 5x - 3y$$7 - 5 = 5x - 3y$$2 = 5x - 3y$

Нам нужно найти, существуют ли для этого уравнения целые неотрицательные решения $x$ и $y$. Методом подбора легко найти такое решение. Например, если $x=1$:$2 = 5 \cdot 1 - 3y$$2 = 5 - 3y$$3y = 5 - 2$$3y = 3$$y = 1$

Мы нашли решение: $x=1$ и $y=1$. Оба числа являются целыми и неотрицательными. Это означает, что после обязательного первого прыжка вправо, кузнечику нужно совершить еще один прыжок вправо (+5) и один прыжок влево (-3).Последовательность прыжков: $0 \xrightarrow{+5} 5 \xrightarrow{+5} 10 \xrightarrow{-3} 7$.Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку А(7).
Ответ: сможет.

2) в точку B (8)?
Аналогично, чтобы попасть в точку B(8), итоговая координата $P$ должна быть равна 8.$8 = 5 + 5x - 3y$$8 - 5 = 5x - 3y$$3 = 5x - 3y$

Преобразуем уравнение:$5x = 3 + 3y$$5x = 3(1+y)$

Левая часть уравнения, $5x$, делится на 5. Следовательно, и правая часть, $3(1+y)$, также должна делиться на 5. Так как число 3 не делится на 5, то на 5 должен делиться множитель $(1+y)$.

Найдем наименьшее целое неотрицательное $y$, для которого это условие выполняется.Если $y=0$, $1+y=1$ (не делится на 5).Если $y=1$, $1+y=2$ (не делится на 5)....Если $y=4$, $1+y=5$ (делится на 5).

Подставим $y=4$ в уравнение, чтобы найти $x$:$5x = 3(1+4)$$5x = 3 \cdot 5$$5x = 15$$x = 3$

Мы нашли решение: $x=3$ и $y=4$. Это означает, что после обязательного первого прыжка, кузнечику нужно совершить еще 3 прыжка вправо и 4 прыжка влево.Например, такая последовательность: $0 \xrightarrow{+5} 5 \xrightarrow{+5} 10 \xrightarrow{+5} 15 \xrightarrow{+5} 20 \xrightarrow{-3} 17 \xrightarrow{-3} 14 \xrightarrow{-3} 11 \xrightarrow{-3} 8$.Следовательно, кузнечик сможет попасть в точку B(8).
Ответ: сможет.