Номер 1.287, страница 62 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1.287. Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей надо было 4 раза пройти через ворота, в которых стояли стражники. Первому стражнику она отдала половину всех яблок, второму — половину остатка, третьему — половину нового остатка, а когда она дала четвёртому стражнику половину имевшихся у неё яблок, то ей самой осталось 10 яблок. Сколько яблок сорвала женщина в саду?

Эту задачу можно решить двумя способами: логическим (рассуждая "с конца") или алгебраическим (составив уравнение).

Способ 1: Решение с конца

Этот метод заключается в том, чтобы выполнять действия в обратном порядке. Мы знаем, что в самом конце у женщины осталось 10 яблок.

1. Перед встречей с четвёртым стражником. Женщина отдала ему половину яблок, и у неё осталось 10. Это означает, что 10 яблок — это вторая половина. Следовательно, до встречи с ним у неё было в два раза больше:

$10 \times 2 = 20$ яблок.

2. Перед встречей с третьим стражником. У неё было 20 яблок после того, как она отдала половину третьему стражнику. Значит, до встречи с ним у неё было:

$20 \times 2 = 40$ яблок.

3. Перед встречей со вторым стражником. По той же логике, 40 яблок — это половина того, что было до встречи со вторым стражником. Значит, у неё было:

$40 \times 2 = 80$ яблок.

4. Перед встречей с первым стражником. 80 яблок — это то, что осталось после того, как она отдала половину всех яблок первому стражнику. Следовательно, изначально она сорвала:

$80 \times 2 = 160$ яблок.

Ответ: 160 яблок.

Способ 2: Решение с помощью уравнения

Пусть $x$ — это первоначальное количество яблок, которое сорвала женщина.

После встречи с первым стражником у неё осталась половина от всех яблок: $\frac{1}{2}x$.

После встречи со вторым стражником у неё осталась половина от предыдущего остатка: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}x) = \frac{1}{4}x$.

После встречи с третьим стражником у неё осталась половина от нового остатка: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4}x) = \frac{1}{8}x$.

После встречи с четвёртым стражником у неё осталась половина от того, что было: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{8}x) = \frac{1}{16}x$.

По условию задачи, этот конечный остаток равен 10 яблокам. Мы можем составить уравнение:

$\frac{x}{16} = 10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 16:

$x = 10 \times 16$

$x = 160$

Ответ: 160 яблок.