Номер 181, страница 48, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

К 181 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора.

1) В несколько коробок разложили поровну 36 карандашей. Если бы коробок было на 2 меньше, то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше. Сколько было коробок и сколько карандашей в каждой коробке?

2) В секции фигурного катания 60 человек. Для занятий их разделили поровну на несколько групп. Если бы групп было на одну больше, то в каждой было бы на 3 человека меньше. Сколько было групп и сколько человек в каждой группе?

3) Петя взял у друга интересную книгу и обещал её вернуть через несколько дней. Однако он успевал читать в день на 10 страниц больше, чем предполагал, и поэтому сумел вернуть книгу на день раньше срока. За сколько дней Петя прочитал книгу, если в книге 120 страниц и скорость его чтения не менялась?

4) Мастерской надо было сшить 150 костюмов за определённый срок. Но она шила в день на один костюм больше и поэтому закончила работу на 5 дней раньше срока. Сколько костюмов в день шила эта мастерская, работая с постоянной производительностью?

1)

Переведем условие на математический язык. Пусть $x$ — первоначальное количество коробок, а $y$ — количество карандашей в каждой коробке. Тогда общее количество карандашей равно $x \cdot y = 36$.

Если бы коробок было на 2 меньше ($x-2$), то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше ($y+3$). Общее количество карандашей при этом не изменилось бы: $(x-2) \cdot (y+3) = 36$.

Решим задачу методом перебора. Количество коробок $x$ должно быть целым числом и делителем числа 36. Также, по условию, $x > 2$.

Выпишем делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Возможные значения для $x$: 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Проверим каждое значение:

• Если $x = 3$, то $y = 36 / 3 = 12$. Проверяем второе условие: $(3-2) \cdot (12+3) = 1 \cdot 15 = 15$. Не равно 36.
• Если $x = 4$, то $y = 36 / 4 = 9$. Проверяем второе условие: $(4-2) \cdot (9+3) = 2 \cdot 12 = 24$. Не равно 36.
• Если $x = 6$, то $y = 36 / 6 = 6$. Проверяем второе условие: $(6-2) \cdot (6+3) = 4 \cdot 9 = 36$. Равенство выполняется.

Дальнейший перебор не требуется, так как мы нашли решение. Было 6 коробок, и в каждой коробке было по 6 карандашей.
Ответ: было 6 коробок и 6 карандашей в каждой коробке.

2)

Переведем условие на математический язык. Пусть $x$ — первоначальное количество групп, а $y$ — количество человек в каждой группе. Всего в секции 60 человек, значит $x \cdot y = 60$.

Если бы групп было на одну больше ($x+1$), то в каждой было бы на 3 человека меньше ($y-3$). Общее количество человек осталось бы прежним: $(x+1) \cdot (y-3) = 60$.

Решим задачу методом перебора. Количество групп $x$ должно быть целым числом и делителем числа 60. По условию, количество человек в новой группе ($y-3$) должно быть положительным, значит $y > 3$, что в свою очередь означает $60/x > 3$, или $x < 20$.

Выпишем делители числа 60, которые меньше 20: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15.

Проверим эти значения:

• Если $x = 1$, то $y = 60 / 1 = 60$. Проверяем: $(1+1) \cdot (60-3) = 2 \cdot 57 = 114$. Не равно 60.
• Если $x = 2$, то $y = 60 / 2 = 30$. Проверяем: $(2+1) \cdot (30-3) = 3 \cdot 27 = 81$. Не равно 60.
• Если $x = 3$, то $y = 60 / 3 = 20$. Проверяем: $(3+1) \cdot (20-3) = 4 \cdot 17 = 68$. Не равно 60.
• Если $x = 4$, то $y = 60 / 4 = 15$. Проверяем: $(4+1) \cdot (15-3) = 5 \cdot 12 = 60$. Равенство выполняется.

Таким образом, было 4 группы по 15 человек.
Ответ: было 4 группы и 15 человек в каждой группе.

3)

Переведем условие на математический язык. Пусть Петя планировал читать книгу $x$ дней по $y$ страниц в день. Всего в книге 120 страниц, значит $x \cdot y = 120$.

На самом деле он читал на 10 страниц в день больше ($y+10$), поэтому закончил на день раньше ($x-1$). Получаем уравнение: $(x-1) \cdot (y+10) = 120$.

Решим задачу методом перебора. Количество дней $x$ должно быть целым числом, делителем 120, и, по условию, $x > 1$.

Возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, и т.д.

Проверим эти значения:

• Если $x=2$, то $y=120/2=60$. Проверяем: $(2-1) \cdot (60+10) = 1 \cdot 70 = 70$. Не равно 120.
• Если $x=3$, то $y=120/3=40$. Проверяем: $(3-1) \cdot (40+10) = 2 \cdot 50 = 100$. Не равно 120.
• Если $x=4$, то $y=120/4=30$. Проверяем: $(4-1) \cdot (30+10) = 3 \cdot 40 = 120$. Равенство выполняется.

Планируемое количество дней было 4. Петя прочитал книгу на день раньше, то есть за $4 - 1 = 3$ дня.
Ответ: Петя прочитал книгу за 3 дня.

4)

Переведем условие на математический язык. Пусть мастерская планировала шить костюмы $x$ дней, производя по $y$ костюмов в день. Всего надо было сшить 150 костюмов: $x \cdot y = 150$.

На самом деле мастерская шила на один костюм в день больше ($y+1$) и закончила на 5 дней раньше ($x-5$). Получаем уравнение: $(x-5) \cdot (y+1) = 150$.

Решим задачу методом перебора. Количество дней $x$ должно быть целым числом, делителем 150, и, по условию, $x > 5$.

Выпишем делители числа 150: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

Возможные значения для $x$: 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

Проверим эти значения:

• Если $x = 6$, то $y = 150/6=25$. Проверяем: $(6-5) \cdot (25+1) = 1 \cdot 26 = 26$. Не равно 150.
• Если $x = 10$, то $y = 150/10=15$. Проверяем: $(10-5) \cdot (15+1) = 5 \cdot 16 = 80$. Не равно 150.
• Если $x = 15$, то $y = 150/15=10$. Проверяем: $(15-5) \cdot (10+1) = 10 \cdot 11 = 110$. Не равно 150.
• Если $x = 25$, то $y = 150/25=6$. Проверяем: $(25-5) \cdot (6+1) = 20 \cdot 7 = 140$. Не равно 150.
• Если $x = 30$, то $y = 150/30=5$. Проверяем: $(30-5) \cdot (5+1) = 25 \cdot 6 = 150$. Равенство выполняется.

Планировалось шить по 5 костюмов в день. Фактически мастерская шила на один костюм больше, то есть $5+1=6$ костюмов в день.
Ответ: мастерская шила 6 костюмов в день.