Номер 182, страница 48, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

182 Обозначь $x$ цифру десятков, а $y$ – цифру единиц двузначного числа. Построй математическую модель задачи и реши её методом перебора.

1) Задумано двузначное число, которое на 66 больше произведения своих цифр. Какое число задумано?

2) Двузначное число на 25 больше произведения своих цифр. Какое это число?

3) Сумма цифр двузначного числа на 19 меньше их произведения. Найди это число.

4) Задумано двузначное число, сумма цифр которого в 2 раза меньше самого числа. Какое число задумано?

5) Если двузначное число уменьшить на 45, то получится двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найди это число.

6) Если двузначное число увеличить на 27, то получится двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Какое это число?

1)

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10x + y$, где $x$ — цифра десятков ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $y$ — цифра единиц ($y \in \{0, 1, ..., 9\}$). Произведение его цифр равно $xy$.

Согласно условию, число на 66 больше произведения своих цифр. Составим математическую модель:

$10x + y = xy + 66$

Выразим $y$ через $x$:

$10x - 66 = xy - y$

$10x - 66 = y(x - 1)$

Поскольку $x$ — цифра десятков, $x \ge 1$. Если $x=1$, то $10 - 66 = y(1-1)$, что приводит к неверному равенству $-56 = 0$. Значит, $x \ne 1$.

$y = \frac{10x - 66}{x - 1} = \frac{10(x-1) - 56}{x-1} = 10 - \frac{56}{x-1}$

Чтобы $y$ был целым числом, $(x-1)$ должен быть делителем числа 56. Также $x$ — это цифра от 2 до 9, значит $(x-1)$ может принимать значения от 1 до 8. Делители 56 в этом диапазоне: 1, 2, 4, 7, 8.

Переберём возможные значения $x$:

• Если $x-1 = 1$, то $x=2$. Тогда $y = 10 - \frac{56}{1} = -46$. Не является цифрой.
• Если $x-1 = 2$, то $x=3$. Тогда $y = 10 - \frac{56}{2} = -18$. Не является цифрой.
• Если $x-1 = 4$, то $x=5$. Тогда $y = 10 - \frac{56}{4} = -4$. Не является цифрой.
• Если $x-1 = 7$, то $x=8$. Тогда $y = 10 - \frac{56}{7} = 10 - 8 = 2$. Это цифра. Получаем число 82. Проверка: $82 = 8 \cdot 2 + 66 \implies 82 = 16 + 66 \implies 82 = 82$. Верно.
• Если $x-1 = 8$, то $x=9$. Тогда $y = 10 - \frac{56}{8} = 10 - 7 = 3$. Это цифра. Получаем число 93. Проверка: $93 = 9 \cdot 3 + 66 \implies 93 = 27 + 66 \implies 93 = 93$. Верно.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два числа.

Ответ: 82 или 93.

2)

Пусть искомое число — $10x + y$. Произведение его цифр — $xy$.

По условию, число на 25 больше произведения своих цифр. Математическая модель:

$10x + y = xy + 25$

Выразим $y$ через $x$, предполагая $x \ne 1$ (при $x=1$ получается $-15=0$):

$y = \frac{10x - 25}{x - 1} = \frac{10(x-1) - 15}{x-1} = 10 - \frac{15}{x-1}$

Для целочисленного решения $(x-1)$ должен быть делителем 15. Возможные значения для $(x-1)$, где $x \in \{2, ..., 9\}$: 1, 3, 5.

Переберём эти случаи:

• Если $x-1 = 1$, то $x=2$. Тогда $y = 10 - \frac{15}{1} = -5$. Не является цифрой.
• Если $x-1 = 3$, то $x=4$. Тогда $y = 10 - \frac{15}{3} = 10 - 5 = 5$. Это цифра. Получаем число 45. Проверка: $45 = 4 \cdot 5 + 25 \implies 45 = 20 + 25 \implies 45 = 45$. Верно.
• Если $x-1 = 5$, то $x=6$. Тогда $y = 10 - \frac{15}{5} = 10 - 3 = 7$. Это цифра. Получаем число 67. Проверка: $67 = 6 \cdot 7 + 25 \implies 67 = 42 + 25 \implies 67 = 67$. Верно.

Ответ: 45 или 67.

3)

Сумма цифр двузначного числа ($10x+y$) равна $x+y$, а их произведение — $xy$.

По условию, сумма цифр на 19 меньше их произведения. Модель:

$x + y = xy - 19$

Преобразуем уравнение:

$xy - x - y = 19$

$xy - x - y + 1 = 19 + 1$

$(x-1)(y-1) = 20$

Так как $x \in \{1, ..., 9\}$ и $y \in \{0, ..., 9\}$, то $(x-1) \in \{0, ..., 8\}$ и $(y-1) \in \{-1, ..., 8\}$.

Рассмотрим пары множителей числа 20, которые удовлетворяют этим условиям:

• $x-1=4, y-1=5 \implies x=5, y=6$. Число 56. Проверка: $5+6=11$, $5 \cdot 6=30$. $11 = 30-19$. Верно.
• $x-1=5, y-1=4 \implies x=6, y=5$. Число 65. Проверка: $6+5=11$, $6 \cdot 5=30$. $11 = 30-19$. Верно.

Другие пары целых множителей (например, $2 \cdot 10$ или $1 \cdot 20$) дают значения для $x$ или $y$ вне диапазона цифр.

Ответ: 56 или 65.

4)

Искомое число — $10x + y$. Сумма его цифр — $x+y$.

По условию, сумма цифр в 2 раза меньше самого числа. Это означает, что число в 2 раза больше суммы цифр. Модель:

$10x + y = 2(x+y)$

Решим уравнение:

$10x + y = 2x + 2y$

$10x - 2x = 2y - y$

$8x = y$

Теперь методом перебора найдём подходящие цифры $x$ и $y$:

• Если $x=1$, то $y = 8 \cdot 1 = 8$. Это цифра. Число 18. Проверка: сумма цифр $1+8=9$. Число 18. $18 = 2 \cdot 9$. Верно.
• Если $x=2$, то $y = 8 \cdot 2 = 16$. Не является цифрой.

Для $x>1$ значение $y$ будет больше 9. Следовательно, есть только одно решение.

Ответ: 18.

5)

Пусть исходное число — $10x+y$. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — $10y+x$.

По условию, при уменьшении исходного числа на 45 получается обратное число. Модель:

$(10x+y) - 45 = 10y+x$

Решим уравнение:

$10x - x + y - 10y = 45$

$9x - 9y = 45$

$9(x-y) = 45$

$x-y = 5$

Переберём пары цифр $(x, y)$, удовлетворяющие этому равенству. Учитываем, что $x$ и $y$ не могут быть нулём, так как оба числа (исходное и обратное) двузначные.

• Если $y=1$, то $x=6$. Число 61. Проверка: $61-45=16$. Верно.
• Если $y=2$, то $x=7$. Число 72. Проверка: $72-45=27$. Верно.
• Если $y=3$, то $x=8$. Число 83. Проверка: $83-45=38$. Верно.
• Если $y=4$, то $x=9$. Число 94. Проверка: $94-45=49$. Верно.

При $y \ge 5$ значение $x$ перестаёт быть цифрой.

Ответ: 61, 72, 83 или 94.

6)

Исходное число — $10x+y$, обратное число — $10y+x$.

По условию, при увеличении исходного числа на 27 получается обратное число. Модель:

$(10x+y) + 27 = 10y+x$

Решим уравнение:

$27 = 10y - y + x - 10x$

$27 = 9y - 9x$

$27 = 9(y-x)$

$y-x = 3$

Переберём пары цифр $(x, y)$, удовлетворяющие этому равенству. $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

• Если $x=1$, то $y=4$. Число 14. Проверка: $14+27=41$. Верно.
• Если $x=2$, то $y=5$. Число 25. Проверка: $25+27=52$. Верно.
• Если $x=3$, то $y=6$. Число 36. Проверка: $36+27=63$. Верно.
• Если $x=4$, то $y=7$. Число 47. Проверка: $47+27=74$. Верно.
• Если $x=5$, то $y=8$. Число 58. Проверка: $58+27=85$. Верно.
• Если $x=6$, то $y=9$. Число 69. Проверка: $69+27=96$. Верно.

При $x \ge 7$ значение $y$ перестаёт быть цифрой.

Ответ: 14, 25, 36, 47, 58 или 69.