Номер 62, страница 15, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

62 В стозначном числе 12345678901234567890...1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах. В полученном пятидесятизначном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не осталось. Какая цифра была вычеркнута последней?

Дано стозначное число, которое представляет собой десятикратное повторение последовательности цифр 1234567890. Обозначим исходные позиции цифр от 1 до 100.

Шаг 1: При первом вычеркивании убираются все цифры, стоящие на нечётных местах (1, 3, 5, ...). Остаются только цифры, которые изначально стояли на чётных местах: 2, 4, 6, 8, ..., 100. Новое число состоит из 50 цифр. Позиции этих оставшихся цифр в исходном числе делятся на 2.

Шаг 2: В полученном 50-значном числе снова вычеркиваются цифры на нечётных местах. Это эквивалентно тому, что из оставшихся после первого шага цифр мы снова выбираем те, что стоят на чётных местах. Их исходные позиции должны были быть кратны не только 2, но и 4. То есть, после второго шага останутся цифры, стоявшие на позициях 4, 8, 12, ..., 100. Новое число состоит из 25 цифр.

Общая закономерность: После каждого шага вычеркивания остаются только те цифры, чьи исходные позиции были кратны всё большей степени двойки. После n-го шага остаются цифры, чьи исходные позиции в стозначном числе были кратны $2^n$.

Процесс вычеркивания продолжается до тех пор, пока не останется одна цифра. Эта последняя оставшаяся цифра и будет вычеркнута последней. Она должна находиться на такой исходной позиции k, которая является степенью двойки, и при этом $2k > 100$. Другими словами, нам нужно найти наибольшую степень двойки, которая не превышает 100.

Найдем степени двойки:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$ (это уже больше 100)

Таким образом, наибольшая степень двойки, не превосходящая 100, это $64$. Это означает, что последней оставшейся цифрой будет та, что стояла в исходном числе на 64-й позиции.

Теперь найдем, какая цифра находится на 64-й позиции в числе 12345678901234567890... . Последовательность цифр 1234567890 имеет длину 10 и периодически повторяется. Чтобы найти цифру на 64-м месте, нужно найти остаток от деления 64 на 10.

$64 \pmod{10} = 4$.

Это означает, что цифра на 64-й позиции будет такой же, как на 4-й позиции в последовательности 1234567890, то есть цифра 4. Эта цифра и будет вычеркнута последней.

Ответ: 4