Номер 638, страница 132, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

638 Определи, делится ли число $a$ на число $b$, и, если делится, найди частное:

1) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 11$;

2) $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$, $b = 5 \cdot 13$;

3) $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17$, $b = 3 \cdot 5 \cdot 17$;

4) $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot 23$, $b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$;

5) $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$, $b = 405$;

6) $a = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 29$, $b = 2002$.

1) Даны числа $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 11$. Чтобы число $a$ делилось нацело на число $b$, необходимо, чтобы все простые множители, входящие в разложение числа $b$, также входили в разложение числа $a$. Разложение числа $b$ на простые множители содержит множитель $11$. В разложении числа $a$ множителя $11$ нет. Следовательно, число $a$ не делится на число $b$.
Ответ: не делится.

2) Даны числа $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ и $b = 5 \cdot 13$. Все простые множители числа $b$ (это $5$ и $13$) содержатся в разложении числа $a$. Следовательно, число $a$ делится на $b$. Чтобы найти частное, нужно из разложения числа $a$ "убрать" множители, входящие в разложение числа $b$, и перемножить оставшиеся множители.
$a \div b = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13}{5 \cdot 13} = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: делится, частное равно 6.

3) Даны числа $a = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17$ и $b = 3 \cdot 5 \cdot 17$. Все простые множители числа $b$ (это $3, 5, 17$) содержатся в разложении числа $a$, причём в не меньшем количестве. Следовательно, число $a$ делится на $b$. Найдем частное, убрав общие множители:
$a \div b = \frac{3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17}{3 \cdot 5 \cdot 17} = 5 \cdot 11 = 55$.
Ответ: делится, частное равно 55.

4) Даны числа $a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot 23$ и $b = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Все простые множители числа $b$ ($2, 2, 3, 5$) содержатся в разложении числа $a$. Следовательно, $a$ делится на $b$. Найдем частное:
$a \div b = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot 23}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = 3 \cdot 19 \cdot 23$.
Вычислим произведение: $3 \cdot 19 = 57$; $57 \cdot 23 = 1311$.
Ответ: делится, частное равно 1311.

5) Даны числа $a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$ и $b = 405$. Сначала разложим число $b$ на простые множители: $405 = 5 \cdot 81 = 5 \cdot 9 \cdot 9 = 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$. Итак, $b = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$.
Сравним разложения: $a = 2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$ и $b = 3^4 \cdot 5$. Все простые множители числа $b$ содержатся в разложении числа $a$. Следовательно, $a$ делится на $b$. Найдем частное:
$a \div b = \frac{2 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13}{3^4 \cdot 5} = 2 \cdot 11 \cdot 13$.
Вычислим произведение: $2 \cdot 11 = 22$; $22 \cdot 13 = 286$.
Ответ: делится, частное равно 286.

6) Даны числа $a = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 29$ и $b = 2002$. Разложим число $b$ на простые множители: $2002 = 2 \cdot 1001$. Для $1001$ проверим делимость на простые числа: $1001 \div 7 = 143$. Далее $143 = 11 \cdot 13$. Итак, $b = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.
Все простые множители числа $b$ ($2, 7, 11, 13$) содержатся в разложении числа $a$. Следовательно, $a$ делится на $b$. Найдем частное:
$a \div b = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 29}{2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13} = 3 \cdot 29 = 87$.
Ответ: делится, частное равно 87.