Номер 645, страница 133, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Петерсон, Дорофеев

645 Барон Мюнхгаузен утверждал, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех цифр которого равно 6552. Покажи, что он сказал неправду.

Чтобы доказать, что барон Мюнхгаузен сказал неправду, необходимо проанализировать число, которое он назвал, — 6552, и свойства его множителей.

Предположим, что такое натуральное число, о котором говорит барон, существует. Обозначим его цифры как $d_1, d_2, \ldots, d_k$. Согласно утверждению, произведение всех этих цифр равно 6552. Это можно записать в виде уравнения:

$d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_k = 6552$.

Каждая цифра $d_i$ является целым числом в диапазоне от 0 до 9. Поскольку произведение $6552 \neq 0$, ни одна из цифр не может быть равна нулю. Таким образом, все цифры искомого числа должны принадлежать множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Следующим шагом разложим число 6552 на простые множители. Это поможет нам понять, из каких «строительных блоков» оно состоит.

$6552 = 2 \cdot 3276 = 2^2 \cdot 1638 = 2^3 \cdot 819$.

Число 819 делится на 9 (так как сумма его цифр $8+1+9=18$ делится на 9). $819 = 9 \cdot 91 = 3^2 \cdot 91$.

Число 91, в свою очередь, раскладывается на $7 \cdot 13$.

Таким образом, полное разложение числа 6552 на простые множители выглядит так:

$6552 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13$.

Произведение цифр $d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_k$ должно иметь такое же разложение на простые множители. В этом разложении присутствует простое число 13.

Согласно основной теореме арифметики, если простое число $p$ является делителем произведения нескольких целых чисел, то оно должно быть делителем хотя бы одного из этих чисел. В нашем случае это означает, что если в произведении цифр есть простой множитель 13, то хотя бы одна из цифр ($d_1, d_2, \ldots, d_k$) должна делиться на 13.

Однако, как мы уже установили, все цифры являются однозначными числами из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Ни одно из этих чисел не делится на 13. Самое большое простое число, которое может быть множителем одной из цифр, — это 7.

Мы пришли к противоречию: с одной стороны, произведение цифр должно быть кратно 13, а с другой — ни одна из цифр не может быть кратна 13. Следовательно, наше первоначальное предположение о существовании такого числа неверно. Значит, барон Мюнхгаузен не мог найти такое число.

Ответ: Барон Мюнхгаузен сказал неправду. Чтобы произведение цифр натурального числа равнялось 6552, необходимо, чтобы это произведение было кратно 13, так как разложение числа на простые множители $6552 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13$. Однако цифры — это целые числа от 0 до 9. Ни одна из цифр не делится на 13, поэтому их произведение также не может делиться на 13. Следовательно, такого натурального числа не существует.